湖北省随州市第一高级中学2025年高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

湖北省随州市第一高级中学2025年高二数学第二学期期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是A．120 B．96 C．36 D．242．设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则3．设全集U＝R，集合，，则集合()A． B．C． D．4．在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（）A．2 B． C． D．15．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种 B．420种 C．630种 D．840种6．若函数，则下列结论正确的是()A．，在上是增函数 B．，在上是减函数C．，是偶函数 D．，是奇函数7．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为（）A．7 B．6 C．5 D．48．直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C． D．9．函数是周期为4的偶函数,当时，,则不等式在上的解集是()A． B． C． D．10．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的列联表：看书运动合计男82028女161228合计243256根据表中数据，得到，所以我们至少有（）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：，）A．99% B．95% C．1% D．5%11．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上的点到准线的距离为__________．14．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是_________.15．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________．16．一根木棍长为4，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3的概率为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．18．（12分）如图，在正四棱柱中，已知AB＝2，，E、F分别为、上的点，且.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．19．（12分）已知函数，.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.20．（12分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米。要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个桶圆形状（如图）。（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3）21．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）已知在定义域上为减函数，若对任意的，不等式为常数）恒成立,求的取值范围.22．（10分）设函数,（1）求函数的单调区间：（2）记的最小值为，求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析：数学老师位置固定，只需要排学生的位置即可.详解：根据题意得到数学老师位置固定，其他4个学生位置任意，故方法种数有种，即24种.故答案为：D.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．2、C【解析】试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C选项，，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.3、A【解析】

求出，然后求解即可.【详解】全集，集合，则集合，所以，故选A.该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.4、B【解析】

分别将曲线，的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果【详解】根据题意，曲线曲线，则直线与圆相交，圆的半径为，圆心到直线的距离为设长为，则有，即解得（舍负）故线段的长度为故选本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题5、B【解析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一女，则有种选派方案．所以总共有种不同选派方案，故选B6、C【解析】试题分析：因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．7、D【解析】

计算，根据题意得到，设，判断数列单调递减，又，，得到答案.【详解】因为，且，所以，即每个零件合格的概率为.合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为，由，得①，令.因为，所以单调递减，又因为，，所以不等式①的解集为.本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8、C【解析】由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C．9、C【解析】若，则此时是偶函数，即若，则∵函数的周期是4，

即，作出函数在上图象如图，

若，则不等式等价为，此时

若，则不等式等价为，此时，

综上不等式在上的解集为故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．10、B【解析】

利用与临界值比较，即可得到结论.【详解】结合题意和独立性检验的结论，由，，故这种判断出错的可能性至多为，即，故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系.故选：B本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题.11、B【解析】

首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意，函数，令，所以，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，则，解答，即，故选B．本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12、A【解析】

令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.【详解】方程可化为，令，有，令可知函数的增区间为，减区间为、，则，，当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

先求出抛物线的准线方程，再求点(2,-1)到准线的距离得解.【详解】由题得抛物线的准线方程为，所以点到准线的距离为.故答案为：2本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14、【解析】试题分析：设事件表示“抽到的两张都是假钞”，事件表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即为，因为,所以，故答案为.考点：条件概率.【方法点睛】本题主要考查了条件概率的求法，考查了等可能事件的概率，体现了转化的思想，注意准确理解题意，看是在什么条件下发生的事件，本题是求条件概率，而不是古典概型，属于基础题.解答时，先设表示“抽到的两张都是假钞”，表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即为，再根据条件概率的公式求解.15、【解析】设，根据双曲线的定义，有，即.，，故三角形面积为.点睛：本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先根据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积.16、【解析】

试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果．【详解】设“长为4的木棍”对应区间，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3”为事件，则满足的区间为或，根据几何概率的计算公式可得，．故答案为．本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.（2）直线与曲线方程联立，得，求得弦长和点到直线的距离，再求的面积.【详解】（1）由已知消去得，则，所以，所以直线的极坐标方程为．（2）由，得，设，两点对应的极分别为，，则，，所以，又点到直线的距离所以本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.18、（1）见解析（2）【解析】分析：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.详解：(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．∵·＝0，·＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，∴点E到平面ACF的距离d＝＝.故点E到平面ACF的距离为.点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19、（1）的单调递增区间为和；（2）.【解析】

（1）由求得，求，由可解得函数的增区间；（2）在上恒成立，转化为求函数最值即得．【详解】（1）若，则，，函数的单调递增区间为和；（2）若函数在区间上单调递增，则，则，因，则.本题考查用导数研究函数的单调性．属于基础题．20、(1)33.26；(2)拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.【解析】

（1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标并设出椭圆的方程，将与点坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当且，时，，进而分析可得答案．【详解】（1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为．将与点坐标代入椭圆方程，得，此时此时因此隧道的拱宽约为33.26米；（2）由椭圆方程，根据题意，将代入方程可得．因为即且，，所以当取最小值时，有，得，此时，故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．21、解：（1）因为是奇函数，所以=0，即………3（2）由（1）知，………5设，则.因为函数y=