福建省泉州市永春县华侨中学2025届高二下数学期末考试试题含解析

福建省泉州市永春县华侨中学2025届高二下数学期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．由曲线，所围成图形的面积是（）A． B． C． D．2．在等差数列{an}中，若S9=18，Sn=240，=30，则n的值为A．14 B．15 C．16 D．173．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则（）A． B． C． D．5．已知一个等比数列，这个数列，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A．9 B．10 C．11 D．126．用数学归纳法证明，从到，不等式左边需添加的项是（）A． B．C． D．7．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应该写成（）A．假设当时，能被整除B．假设当时，能被整除C．假设当时，能被整除D．假设当时，能被整除8．若实数a,b满足a+b<0，则()A．a,b都小于0B．a,b都大于0C．a,b中至少有一个大于0D．a,b中至少有一个小于09．在的展开式中，含的项的系数是（）A．-10 B．5 C．10 D．-510．定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(x+4),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+A．1B．45C．-1D．11．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为A． B． C． D．12．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A．-10 B．6C．14 D．18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．，其共轭复数对应复平面内的点在第二象限，则实数的范围是____．14．已知双曲线的焦距为，则其离心率为__________．15．在极坐标系中，已知两点，，则线段的长度为__________.16．若向量，且，则等于________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设关于的不等式的解集为函数的定义域为.若“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围．18．（12分）设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．（1）已知点，求的最小值；（2）若，直线的斜率是，求的值；（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．19．（12分）已知函数（其中，为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数无极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：．20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若的解集为，求实数的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.21．（12分）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.22．（10分）已知点是椭圆的一个焦点,点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点,且(为坐标原点),求直线斜率的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先计算交点，再根据定积分计算面积.【详解】曲线，，交点为：围成图形的面积：故答案选A本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.2、B【解析】试题分析：由等差数列的性质知；．考点：等差数列的性质、前项和公式、通项公式．3、B【解析】

由，结合临界值表，即可直接得出结果.【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量的观测值即可，属于基础题型.4、D【解析】

根据条件概率公式可得解.【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，所以，，由条件概率可得：，故选D.本题考查条件概率，属于基础题.5、B【解析】

根据等比数列性质列式求解【详解】选B.本题考查利用等比数列性质求值，考查基本分析求解能力，属基础题.6、B【解析】分析：分析，时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：时，左边为,时，左边为,所以左边需添加的项是，选B.点睛：研究到项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.7、D【解析】注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选D．本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键．8、D【解析】假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.9、A【解析】

根据，把按二项式定理展开，可得含的项的系数，得到答案．【详解】由题意，在的展开中为，所以含的项的系数，故选A．本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、C【解析】试题分析：由于，因此函数为奇函数，，故函数的周期为4，，即，，，故答案为C考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算11、B【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x轴的距离为.12、B【解析】模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解.【详解】由已知得：，且在第二象限，所以：，解得：，所以故答案为.本题考查共轭复数的概念和其对应的点所在的象限，属于基础题.14、【解析】分析：已知双曲线的焦距为，故c=，然后根据焦点位置的不同由建立等式关系即可得出m，再求离心率即可.详解：由题可知：当m<2时，焦点在x轴上，，此时或者当m>3时，焦点在y轴，，此时，故综合得离心率为点睛：考查双曲线基本性质和标准方程，属于基础题.15、4【解析】

可将点P和点Q先化为直角坐标系下的点，从而利用距离公式求解.【详解】根据，可将化为直角坐标点为，将化为直角坐标点为，从而.本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化，距离公式，难度不大.16、1【解析】

根据题目，可知，根据空间向量的直角坐标运算律，即可求解出的值．【详解】由题意知，向量，即解得，故答案为1．本题主要考查了根据向量的垂直关系，结合数量积运算求参数．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或.【解析】试题分析：先分别求出命题和命题为真命题时的取值范围,然后根据“”为假命题,“”为真命题,得出一真一假,再求出的取值范围.试题解析：由不等式的解集为,得;由函数的定义域为,当时,不合题意,∴,解得.∵“”为假命题,“”为真命题,∴一真一假,∴或∴或.点睛：由含逻辑连结词的命题的真假求参数的取值范围的方法：（1）求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；（2）判断命题的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．18、（1）（2）（3）或【解析】

（1）因为,设,则,由两点间距离公式可求得:,即可得出的最小值;（2）因为,所以,设的直线方程:,将与联立方程组,消掉,通过韦达定理,将点坐标用表示同理可得到坐标.即可求得直线的斜率是,进而求得答案;（3）因为,故.、两点抛物线上,可得,,即可求得向量和.由,可得到关于和方程,将方程可以看作关于的一元二次方程,因为且,,故此方程有实根,,即可求得点的纵坐标的取值范围.【详解】（1）在,设,则由两点间距离公式可求得:令,(当即取等号)的最小值.（2）,,故则的直线方程:将与联立方程组,消掉则:,得:化简为:.由韦达定理可得:解得:,可得:,故同理可得:直线的斜率是故:即的值为.（3）,,故,在、两点抛物线上,,,故整理可得:、、三点互不相同,故:,可得:即:此方程可以看作关于的一元二次方程,且,,故此方程有两个不相等的实根:即故:解得:或点的纵坐标的取值范围:或.在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式.将直线与抛物线恒有交点问题,转化成求解一元二次方程有实根问题,是解本题的关键.19、（1）实数的取值范围是；（2）见解析.【解析】分析：（1）因为函数无极值，所以在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立，求导分析整理即可得到答案；（2）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证，只需证即可，构造函数=（），求导分析整理即可.详解：（Ⅰ）函数无极值，在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立；又，令，则；所以在上单调递减，在上单调递增；，当时，，即，当时，显然不成立；所以实数的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证，只需证即可.构造函数=（），则恒成立，故在单调递增，从而.即，亦即.得证.点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．20、(1).(2).【解析】分析：（1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可；（2）利用，若存在，使得不等式成立，化简函数的解析式，通过函数的最小值以及函数的单调性，列出不等式，求解即可.详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；当时，解集为，，，综上所述.(2)当时，令由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，.点睛：本题考查函数的最值的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力.21、（1）2;（2）【解析】

（1）三棱柱的体积，由此能求出结果；（2）连结是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小.【详解】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V＝S△ABC×AA12．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为1，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．22、（1）（2）【解析】

（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为，利用椭圆的定义，求得，再理由椭圆中，求得的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，在由，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。【详