山东省青岛市2024-2025学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析

山东省青岛市2024-2025学年数学高二下期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“a>1”是“函数f(x)=ax-sinx是增函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知定义在R上的奇函数，满足，且在上是减函数，则（）A． B．C． D．3．复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（）A． B． C． D．5．由曲线，，，围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为，满足，，的点组成的图形绕y轴旋一周所得旋转体的体积为，则（）A． B． C． D．6．在棱长为的正方体中，如果、分别为和的中点，那么直线与所成角的大小为（）A． B． C． D．7．已知恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．随机变量的分布列如下：-101若，则的值是（）A． B． C． D．9．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A． B． C． D．10．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，则______.14．如图，在长方形ABCD-中，设AD=A=1，AB=2，则·等于____________15．已知，则的展开式中常数项为____16．已知是虚数单位，则复数的实部为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，且．（1）求证：；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．18．（12分）已知函数(1)求的图象在点处的切线方程；(2)求在上的最大值与最小值。19．（12分）已知命题：对，函数总有意义；命题：函数在上是增函数.若命题“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.20．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数，参考数据：，，，21．（12分）已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的取值范围。22．（10分）（江苏省南京师大附中高三高考考前模拟考试数学试题）已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f′(x)，证明：f′()＜k．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先由函数fx=ax-sinx为增函数，转化为f'【详解】当函数fx=ax-sinx为增函数，则则a≥cos因此，“a>1”是“函数fx=ax-sin本题考查充分必要条件的判断，涉及参数的取值范围，一般要由两取值范围的包含关系来判断，具体如下：（1）A⊊B，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；（2）A⊋B，则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件；（3）A=B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件；（4）A⊄B，则则“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件。2、D【解析】

根据条件，可得函数周期为4，利用函数期性和单调性之间的关系，依次对选项进行判断，由此得到答案。【详解】因为，所以，，可得的周期为4，所以，，.又因为是奇函数且在上是减函数，所以在上是减函数，所以，即，故选D.本题主要考查函数值的大小比较，根据条件求出函数的周期性，结合函数单调性和奇偶性之间的关系是解决本题的关键。3、A【解析】

复数的共轭复数为，共轭复数在复平面内对应的点为.【详解】复数的共轭复数为，对应的点为，在第一象限.故选A.本题考查共轭复数的概念，复数的几何意义.4、B【解析】

先用捆绑法将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；将这个整体与英语，物理全排列，分析排好后的空位数目，再在空位中安排数学，最后由分步计数原理计算可得.【详解】由题得语文和化学相邻有种顺序；将语文和化学看成整体与英语物理全排列有种顺序，排好后有4个空位，数学不在第一节有3个空位可选，则不同的排课法的种数是，故选B.本题考查分步计数原理，属于典型题.5、C【解析】

由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【详解】解：如图，两图形绕轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，所得截面面积，，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：．本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．6、B【解析】

作出图形，取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，计算出的三边边长，然后利用余弦定理计算出，即可得出异面直线与所成角的大小.【详解】如下图所示：取的中点，连接、，、分别为、的中点，则，且，在正方体中，，为的中点，且，则，所以，四边形为平行四边形，，则异面直线与所成的角为或其补角.在中，，，.由余弦定理得.因此，异面直线与所成角的大小为.故选B.本题考查异面直线所成角的计算，一般利用定义法或空间向量法计算，考查计算能力，属于中等题.7、A【解析】分析：先设，再求导求出函数g(x)的单调性和最小值，再数形结合分析得到a的取值范围.详解：设所以当x∈（-∞，-1）时，则函数单调递减.当x∈（-1，+∞）时，，函数单调递增.,当a<0时，y=a(2x-1)单调递减，与题设矛盾.当a=0时，，与矛盾.当a>0时，.直线y=a(2x-1)过点（）.设为曲线上任意一点，则过点的曲线的切线方程为.又因为切线过点（），所以，解得故切线的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数研究函数的问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出过点（）的切线的斜率k=或k.8、D【解析】由题设可得，，所以由随机变量的方差公式可得，应选答案D。9、C【解析】

先化简集合A，再求，进而求.【详解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由题意得，=（0,2），∴，故选C.本题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，要先化简集合，明确集合的运算法则，进而求得结果．10、D【解析】分析：根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上都有，进而将不等式变形转化可得或，解可得x的取值范围，即可得答案.详解：根据题意，设，其导数，又当时，，则有，即函数在上为减函数，又，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在区间和上都有，又由为奇函数，则在区间和上都有，或，解可得：或.则x的取值范围是.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析与的解集.11、A【解析】

由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.12、D【解析】

在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，由，由余弦定理可得，则，故选D.本题主要考查了余弦定理的应用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握余弦定理是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用两角差的正切公式展开，代入相应值可计算出的值．【详解】.本题考查两角差的正切公式的应用，解题时，首先应利用已知角去配凑所求角，然后在利用两角差的公式展开进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．14、1【解析】

选取为基底，把其它向量都用基底表示后计算．【详解】由题意．故答案为1．本题考查空间向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示后再进行计算．15、-32【解析】n＝，二项式的展开式的通项为，令＝0，则r＝3，展开式中常数项为(－2)3＝－8×4＝－32.故答案为-32.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16、【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，

复数的实部为1．

故答案为：1．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于容易题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见证明；（2）.【解析】

（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先计算的最小值，再分，，三种情况讨论即可得到答案.【详解】解：（1）由柯西不等式得．∴，当且仅当时取等号．∴；（2），要使得不等式恒成立，即可转化为，当时，，可得，当时，，可得，当时，，可得，∴的取值范围为：．本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，分类讨论能力，难度中等.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用导数求出的值，作为切线的斜率，并计算出，再利用点斜式写出切线的方程；（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数在区间上的最大值和最小值。【详解】（1），，所以，函数的图象在点处的切线的斜率为，，所以，函数的图象在点处的切线方程为，即；（2），。当时，；当时，。所以，，因为，，所以，，则，所以，函数在上的最大值为。本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。19、【解析】

由对数函数的性质，我们可以得到为真时，的取值范围；根据导数的符号与函数单调性的关系及基本不等式，我们可以求出为真时的取值范围；而根据“”为真且命题“”为假，可得真假，或假真，求出这两种情况下的的取值范围再求并集即可．【详解】解：当为真命题时，解得当为真命题时，在上恒成立，即对恒成立.又，当且仅当时等号成立，所以，所以.因为命题“”为真命题且命题“”为假命题，所以命题与命题一个为真一个为假当真假时，有解得当假真时，有解得综上，实数的取值范围是本题考查的知识点是对数函数的性质，恒成立问题，导数法确定函数的单调性，复合命题的真假，属于中档题.20、（1），可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）2台光照控制仪.【解析】

（1）由题中所给的数据计算，进而结合参考数据计算相关系数，得出答案；（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；②安装2台光照控制仪有2种情形：做出分布列即可求解．【详解】（1）由已知数据可得，所以相关系数因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；②安装2台光照控制仪的情形：当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3000﹣1000＝2000元，当30＜X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y＝2×3000＝6000元，故Y的分布列为：Y20006000P0.20.8所以E（Y）＝1000×0.2+5000×0.7+9000×0.1＝4600元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.本题考查了线性回归方程的求法及应用，分布列的求法，利润的计算，属于中档题.21、（1）（2）【解析】

（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。【详解】（1）由题意，函数，则，可得，又，所以函数在点处的切线方程为。（2）因为，令，解得，当时，，当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，若，在恒成立，即恒成立，所以，所以的取值范围是。本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。22、（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得，而，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.解：（1），，当时，，在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增；，在上单调递减，函数有极大值，