2025年新疆维吾尔自治区阿克苏市农一师高级中学数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2025年新疆维吾尔自治区阿克苏市农一师高级中学数学高二第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知,则等于(

)A． B． C． D．2．已知函数在其定义域内有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知非空集合，全集，集合,集合则（）A． B． C． D．4．已知为等差数列,,则（）A．42 B．40 C．38 D．365．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或6．在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则（）A． B． C． D．8．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（）A． B．C． D．9．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（）A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里11．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（）A． B． C． D．12．已知函数的最小正周期为，且，有成立，则图象的一个对称中心坐标是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．观察如图等式，照此规律，第个等式为______.14．定义在上的偶函数满足且在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断:①是周期函数；②关于直线对称；③是[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；⑤.其中正确的序号是_________.15．设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值______.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）若，求中含项的系数；（Ⅲ）证明：.18．（12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表：选考方案确定情况化学生物政治地理物理选考方案确定的有18人161154选考方案待确定的有14人5500历史选考方案确定的有12人35412选考方案待确定的有6人0032（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量，求的分布列及数学期望.（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果）19．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)已知点的极坐标为，的值.20．（12分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数，当时，，求的取值范围.21．（12分）知函数，，与在交点处的切线相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围.22．（10分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，且与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案.详解：由题意，根据条件概率的计算公式，则，故选C.点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2、A【解析】分析：由题意可得即有两个不等的实数解．令，求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．详解：函数在其定义域内有两个零点，

等价为即有两个不等的实数解．令，，

当时，递减；当时，递增．在处取得极大值，且为最大值．当．

画出函数的图象，

由图象可得时，和有两个交点，

即方程有两个不等实数解，有两个零点．

故选A．点睛：本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题．3、B【解析】分析：根据题意画出图形，找出与的并集，交集，判断与的关系即可详解：全集，集合,集合，，故选点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。4、B【解析】分析：由已知结合等差数列的性质可求，然后由即可求解.详解：，，，，故选：B.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．5、B【解析】

首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．【详解】命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．6、C【解析】

根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形．【详解】由题意知，由正弦定理得又展开得，又角A，B，C是三角形的内角又综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C．本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用．7、A【解析】

利用向量的线性运算可得的表示形式.【详解】，故选：A．本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.8、D【解析】

首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：因为直角三角形的斜边为，，，所以，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.所以图形总面积，，所以.故选：本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.9、D【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减，则，在区间上是增函数，再根据定义域则在区间上恒成立求解.【详解】因为函数在区间上是减函数，所以，在区间上是增函数，且在区间上恒成立.所以且，解得.故选：D本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.10、D【解析】

求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。【详解】地球表面上从甲地（北纬45°东经120°）到乙地（北纬45°西经150°），乙两地对应的AB的纬圆半径是,经度差纬90°，所以AB=R,球心角为60°，最短距离为求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。11、B【解析】

利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．【详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝.本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、A【解析】

首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的对称中心.【详解】由的最小正周期为，得，因为恒成立，所以，即，由，得，故，令，得，故图象的对称中心为，当时，图象的对称中心为.故选：A.本题考查的知识要点：正弦型函数的性质、周期性和对称中心的应用及相关的运算问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可.详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1，第2个等式开头为2，第3个等式开头为3，第4个等式开头为4，则第n个等式开头为n，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数，第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数，则第n个等式左侧有2n-1个数，据此可知第n个等式左侧为：，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9，第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49，则第n个等式右侧为，据此可得第个等式为.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14、①②⑤.【解析】,周期为2,,又，所以f(x)关于直线x=1对称，又因为f(x)为偶函数，在[-1，0]是增函数，所以在[0,1]上是减函数，由于f(x)在[1,2]上的图像与[-1,0]上的相同，因而在[1,2]也是增函数，综上正确的有①②⑤.15、【解析】

化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由的最小值为1计算出结果【详解】因为，所以在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，所以，，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力16、【解析】

先计算，在中，根据勾股定理得得到渐近线方程.【详解】如图所示：切点为，连接，过作于是中点，在中，根据勾股定理得：渐近线方程为：故答案为本题考查了双曲线的渐近线，作辅助线是解题的关键，也可以直接利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）-2019；（Ⅱ）196；（Ⅲ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）由于，代入-1即可求得答案;（Ⅱ）由于，利用二项式定理即可得到项的系数；（Ⅲ）可设，找出含项的系数，利用错位相减法数学思想两边同时乘以，再找出含项的系数，于是整理化简即可得证.【详解】解：（Ⅰ）∵，∴；∴；（Ⅱ），中项的系数为；（Ⅲ）设（且）①则函数中含项的系数为，另一方面：由①得：②①-②得：，所以，所以，则中含项的系数为，又因为，，所以，即，所以.本题主要考查二项式定理的相关应用，意在考查学生对于赋值法的理解，计算能力，分析能力及逻辑推理能力，难度较大.18、（1）180；（1）；（3）1人.【解析】

（1）利用分层抽样原理求得对应的学生人数；（1）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率，写出的分布列，计算数学期望值；（3）由化学中去除11人后余5人，结合选政治和地理的人数，可得所求．【详解】（1）由数据可知，选考方案确定的18名物理选考生中确定选考政治的有5人，选考方案确定的11名历史选考生中确定选考政治的有4人所以，估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有人（1）由数据可知，选考方案确定的11名历史考生中有3人选考化学、地理；有5人选考生物、地理；有4人选考政治、地理.由已知得的所有取值为0，1，则所以的分布列为01所以数学期望.（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为1．本题考查了分层抽样的计算，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．19、(1)，.(2).【解析】分析：(1)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求P直角坐标，再设直线的参数方程标准式，代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及利用韦达定理得结果.详解：(1)的普通方程为:；又,即曲线的直角坐标方程为:(2)解法一:在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,.解法二:，，，．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.20、（1）（2）【解析】

（1）将代入不等式，讨论范围去绝对值符号解得不等式.（2）利用绝对值三角不等式得到答案.【详解】(1)当时，综上(2)恒成立恒成立解不等式可得本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.21、(1)．(2)或．【解析】分析：（1）分别求出与在交点处切线的斜率，从而得到答案；（2）对求导，分类讨论即可.详解：(1)，，又，，与在交点处的切线相互垂直，,.又在上,，故.(2)由题知.①,即时,令,得;令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,故存在使.又，，，在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,共个零点,不符合题意,舍去.②时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，