甘肃省武威八中2024-2025学年高二下数学期末学业水平测试模拟试题含解析

甘肃省武威八中2024-2025学年高二下数学期末学业水平测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则（）A． B． C． D．12．的展开式中的系数为（）A． B． C． D．3．已知直线（t为参数）上两点对应的参数值分别是，则（）A． B．C． D．4．已知．则（）A． B． C． D．5．已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为（）A．-3 B．-1 C．1 D．36．点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是（）A．１ B． C．２ D．7．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为（）A． B． C． D．9．已知函数与的图像有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数种计算器械的使用方法某研究性学习小组人分工搜集整理种计算器械的相关资料，其中一人种、另两人每人种计算器械，则不同的分配方法有（）A． B． C． D．11．函数f(x)=sin(ωx+πA．关于直线x=π12对称 B．关于直线C．关于点π12，0对称 D．12．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是____．14．“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的__________条件．15．已知是虚数单位，则复数的实部为______.16．已知，若，i是虚数单位，则____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．18．（12分）已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，求a的取值范围；(Ⅲ)若∀x1，x2∈(0,+∞)，且x119．（12分）已知正整数,.(1)若的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.20．（12分）已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）设，证明：．21．（12分）某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为公里，实线PQST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求观光长廊PQST所在的曲线的方程；（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置?22．（10分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

遇到新定义问题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．【详解】解：函数，，，因为方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，已知函数的“拐点”是，所以，即，故选：．本题考查导数的运算．导数的定义，和拐点，根据新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，属于基础题2、D【解析】

写出二项展开式的通项，令的指数等于，求出参数的值，再代入通项即可得出项的系数.【详解】二项展开式的通项为，令，得，因此，的展开式中的系数为，故选：D.本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是充分利用二项展开式的通项，考查计算能力，属于中等题.3、C【解析】试题分析：依题意，，由直线参数方程几何意义得，选C．考点：直线参数方程几何意义4、C【解析】

由二项式定理及利用赋值法即令和，两式相加可得，结合最高次系数的值即可得结果.【详解】中，取，得，取，得，所以，即，又，则，故选C．本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题.5、C【解析】

由导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，根据两直线平行斜率相等即可得到的值。【详解】因为，所以线在处的切线的斜率为，由于曲线在处的切线与直线平行，故，即，故选C．本题考查导数的几何意义，属于基础题6、B【解析】，则，即，所以，故选B．7、C【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．8、B【解析】

由题意得出正态密度曲线关于直线对称，由正态密度曲线的对称性得知所求概率为可得出结果.【详解】由题意，得，又，所以，故选B.本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性转化为已知区间的概率来计算，考查运算求解能力，属于中等题.9、B【解析】

将函数有三个公共点，转化为有三个解，再利用换元法设，整理为，画出函数图形得到答案.【详解】函数与的图像有三个不同的公共点即有三个解整理得：设，当单调递减，单调递增.如图所示：原式整理得到：图像有三个不同的公共点，即二次方程有两个解，一个小于0.一个在上或当时，当时，另一个零点在上，满足条件.故答案为B本题考查了函数的零点问题，根据条件转化为方程的解，再利用换元法简化计算，本题综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.10、A【解析】

本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.11、B【解析】

求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．【详解】函数f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为π2，可得ω函数f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ当k＝0时，函数的对称轴为：x=π故选：B．本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题12、D【解析】

利用等体积法求水面下降高度。【详解】球的体积等于水下降的体积即，．答案：D．利用等体积法求水面下降高度。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意，可得函数f（x）的图象与直线y＝+1有三个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出实数的取值范围即可．【详解】根据题意可得函数f（x）的图象与直线y＝+1有三个不同的交点，当x≤1时，函数f（x）max＝f（﹣）＝，如图所示：则0＜+1＜，所以实数a的取值范围是﹣2＜＜．故答案为（﹣2，）．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14、必要非充分【解析】

结合直线和双曲线的位置关系，先判断充分条件，再判断必要条件得解.【详解】当直线与双曲线有且只有一个公共点时，直线有可能与双曲线相切，也有可能相交（直线与双曲线的渐近线平行），所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的非充分条件；直线与双曲线相切时，直线与双曲线有且只有一个公共点，所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要条件.所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件．故答案为：必要非充分本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，

复数的实部为1．

故答案为：1．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于容易题．16、【解析】

由，得，由复数相等的条件得答案．【详解】由，得，．故答案为：1．本题考查复数相等的条件，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可．（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围．详解：（1）当时，，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大．18、（I）y=-2；（II）a≥1；（III）0≤a≤8.【解析】

(Ⅰ)求出f'(x),由f(1)的值可得切点坐标，求出f'(1)的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用单调性求得函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，即可求a的取值范围；(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2-ax+lnx，对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1【详解】(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x2因为，f(1)=-2，所以切线方程为

y=-2.(Ⅱ)函数f(x)=ax2-(a+2)x+当a>0时，f'(x)=2ax-(a+2)+1令，即f'(x)=2ax2-(a+2)x+1x当0<1a≤1，即a≥1时，f(x)所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2；当1<1a<e时，f(x)在[1,e]当1a≥e时，f(x)在所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2，不合题意.综上可得

a≥1.(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2-ax+lnx，对任意x1，x2∈(0,+∞)，而g'(x)=2ax-a+1当a=0时，g'(x)=1x>0，此时g(x)当a≠0时，只需在(0,+∞)恒成立，因为x∈(0,+∞)，只要2ax2-ax+1≥0，则需要对于函数y=2ax2-ax+1，过定点(0,1)，对称轴综上可得

0≤a≤8.本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19、(1)；(2)或.【解析】

(1)令求出的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出的值.【详解】(1)令,所以的展开式中各项系数和为：,二项式系数和为：,由题意可知：或(舍去),所以；(2)二项式的通项公式为：.因为是中的最大项,所以有：,因此或.本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力.20、（1）;（2）见解析【解析】

（1）使用零点分段法，讨论，以及的范围，然后取并集，可得结果.（2）根据（1）的结论，可得，然后使用三角不等式，可得结果.【详解】(1)当时，．由，得无实数解当时，．由，得当时，．由，得综上，（2），，即，即又，本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，还考查三角不等式的应用，掌握零点分段的解法以及常用的一些不等式，比如：基本不等式，柯西不等式，属基础题.21、（1）（2）【解析】

（1）由题意知，QS的轨迹为圆的一部分，PQ的轨迹为双曲线的一部分，ST的轨迹为双曲线的一部分，分别求出对应的轨迹方程即可；（2）由题意设点M（x，y），计算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值与对应的x、y的值．【详解】解：（1）①由题意知，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，QS的轨迹为圆的一部分，其中r＝4，圆心坐标为O，即x≥0、y≥0时，圆的方程为x2+y2＝16；②PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，PQ的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＜0、y＞0时，双曲线方程为1；③ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，ST的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＞0、y＜0时，双曲线方程为1；综上，x≥0、y≥0时，曲线方程为x2+y2＝16；x＜0、y＞0时，曲线方程为1；x＞0、y＜0时，曲线方程为1；[注]可合并为1；（2）由题意设点M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；则|MA|2y2x2+16＝232；当且仅当x＝﹣2时，|MA|取得最小值为4；此时y＝42；∴点M（﹣2，2）．本题考查了圆、双曲线的定义与标准方程的应用问题，解题的关键是利用定义求出双曲线和圆的标准方程．22、（1）见解析