浙江省桐乡市2025年高二下数学期末质量检测试题含解析

浙江省桐乡市2025年高二下数学期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．盒子里共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球个白球，从盒子中任取个球，则恰好取到个红球个白球的概率为（）．A． B． C． D．2．若命题，则为（）A． B． C． D．3．已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线5．某个命题与正整数有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立。现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得A．当n=7时该命题不成立 B．当n=7时该命题成立C．当n=9时该命题不成立 D．当n=9时该命题成立6．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与307．若1a<1bA．a2<b2 B．ab<8．现有小麦、大豆、玉米、高粱种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有（）A．36种 B．48种 C．24种 D．30种9．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（）A． B． C． D．10．已知函数为内的奇函数，且当时，，记，则间的大小关系是（）A． B．C． D．11．使函数y＝xsinx＋cosx是增函数的区间可能是()A． B．(π，2π)C． D．(2π，3π)12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是________.①当且时,为等腰梯形;②当,分别为,的中点时，几何体的体积为;③当为中点且时，与的交点为,满足;④当且时,的面积.14．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为______15．若展开式中的第7项是常数项，则n的值为______．16．计算的结果为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，.（1）求证：；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知F(x)＝，x∈(－1，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1，5]上的最值．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20．（12分）已知．（1）设，①求；②若在中，唯一的最大的数是，试求的值；（2）设，求．21．（12分）若一圆锥的底面半径为4，体积是.（1）求该圆锥的母线长；（2）已知该圆锥的顶点为，并且、为圆锥的两个母线，求线段长度为何值时，△的面积取得最大值？22．（10分）已知函数.（1）求的最大值；（2）若恒成立，求的值；（3）在（2）的条件下,设在上的最小值为求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意得所求概率为．选．2、B【解析】

利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：，则￢p为：∀x∈Z，ex≥1，故选：B．本题考查特称命题与全称命题的否定，是基础题．3、B【解析】

利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，则不成立，即方程没有零解.当时，，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选：B.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4、B【解析】方程，可化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.5、A【解析】

根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以选A.【详解】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以当时命题不成立，则命题也不成立，故答案为：A(1)本题主要考查数学归纳法和逆否命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.6、B【解析】

根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.【详解】根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为，又由中位数的定义，可得数据的中位数为，故选B.本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、D【解析】

不妨令a=-1，b=-2【详解】由题1a<1b<0，不妨令a=-1，b=-2，可得a2＜ba-b=-1本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题8、B【解析】

需要先给右边的一块地种植，有种结果，再给中间上面的一块地种植，有种结果，再给中间下面的一块地种植，有种结果，最后给左边的一块地种植，有种结果，相乘即可得到结果【详解】由题意可知，本题是一个分步计数的问题先给右边的一块地种植，有种结果再给中间上面的一块地种植，有种结果再给中间下面的一块地种植，有种结果最后给左边的一块地种植，有种结果根据分步计数原理可知共有种结果故选本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏。9、D【解析】

根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解.【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为，则甲获胜有以下三种情况：第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为；第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为；第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为；综上可知甲获胜概率为，故选：D.本题考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的应用，属于基础题.10、D【解析】

根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.【详解】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，，所以在内单调递减又，故，选D.本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.11、C【解析】

求函数y＝xsinx＋cosx的导函数，根据导函数分析出它的单调增区间．【详解】由函数得，=．观察所给的四个选项中，均有，故仅需，结合余弦函数的图像可知，时有，所以答案选C．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对于函数，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，这是解题关键．此题属于基础题．12、B【解析】

对任意的，恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，参变分离得到恒成立，再根据对勾函数的性质求出在上的最小值即可．【详解】解：对任意的，，即恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，恒成立，又由对勾函数的性质可知在上单调递增，，，即．故选：．本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②【解析】

将①③④三个命题逐一画出图像进行分析,即可判断出真命题,从而得到正确的序号；②利用空间向量求点面距，进而得体积.【详解】①:作图如下所示,过作,交于,截面为即即截面为等腰梯形.故①正确.②:以为原点,、、分别为、、轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面的法向量为,则不妨设,则法向量.则点到平面的距离.故②正确.③:延长交的延长线于一点,连接交于点.故③错误④:延长交的延长线于,连接交于,则截面为四边形根据面积比等于相似比的平方得.在中,,边上的高为故④错误故答案为:①②.本题考查了正方体截面有关命题真假性的判断,考查椎体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力.对于求体积求高时,往往建立空间直角坐标系,采用法向量的思想进行求解思路比较明确.14、【解析】

由抛物线定义可得，由此可知当为与抛物线的交点时，取得最小值，进而求得点坐标.【详解】由题意得：抛物线焦点为，准线为作，垂直于准线，如下图所示：由抛物线定义知：（当且仅当三点共线时取等号）即的最小值为，此时为与抛物线的交点故答案为本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.15、【解析】

利用二项展开式得出第七项x的指数，利用指数为零，求出的值．【详解】解：的展开式的第七项为，由于第七项为常数项，则，解得，故答案为：1．本题考查二项式定理，考查对公式的理解与应用，属于基础题．16、【解析】

利用指数运算、对数运算的性质即可得出．【详解】原式

．

故答案为：．本题考查了指数运算性质，对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,,的取值范围是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式对一切实数恒成立,则,其解集为,即实数的取值范围为.18、（1）单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)；（2）最大值为，最小值为.【解析】

(1)由微积分基本定理可得出F(x)的表达式，进而求出其导数F′(x)，令F′(x)>0，F′(x)<0解次不等式即可得出F(x)的单调增区间和单调减区间．(2)由（1）可得F(x)在[1，5]上的单调性，即可得出其最值．【详解】解：(1)F′(x)＝′＝x2－4x，由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－1<x<0或x>4；由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0<x<4，所以F(x)的单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)．(2)由(1)知F(x)在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．因为F(1)＝－2＋＝，F(4)＝×43－2×42＋＝－，F(5)＝×53－2×52＋＝－6，所以F(x)在[1，5]上的最大值为，最小值为－.本题考察微积分定理以及利用导数解决函数单调性和闭区间上的最值的问题．属于中档题．19、（1）26.5（2）①0.6826②见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布，从而求出；②根据题意得，的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；.∴的分布列为01234∴．20、（1）①；②或；（2）.【解析】

（1）根据题意，得到；①令，即可求出结果；②根据二项展开式的通项公式，先得到通项为，再由题意，得到，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到，进而得出，化简，再根