北京市东城区北京第二十二中学2024-2025学年数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

北京市东城区北京第二十二中学2024-2025学年数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图象关于点对称，则在上的值域为（）A． B． C． D．2．已知一个等比数列，这个数列，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A．9 B．10 C．11 D．123．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，则球的表面积为（）A． B． C． D．4．若，则等于（）A． B． C． D．5．奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．6．已知随机变量服从二项分布，则（）A． B． C． D．7．函数()的部分图象如图所示，若，且，则（）A．1 B． C． D．8．（）A．5 B． C．6 D．9．的展开式中不含项的各项系数之和为（）A． B． C． D．10．已知，，，则下列说法正确是（）A． B．C．与的夹角为 D．11．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（）A． B． C． D．12．在的展开式中，的系数是（）A． B． C．5 D．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为6，则____．14．已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，与分别为、的离心率，则的取值范围是__________.15．甲、乙设备生产某产品共500件，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测.若样本中有12件产品由甲设备生产，则由乙设备生产的产品总数为_______件.16．设集合，则集合中满足条件“”的元素个数为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.18．（12分）已知定义在R上的函数fx（1）求b的值，并判断函数fx（2）若对任意的t∈R，不等式ft2-2t19．（12分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B其离心率，点M为椭圆上的一个动点，面积的最大值是求椭圆C的方程；若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当时，求点P的坐标．20．（12分）设函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．21．（12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（1）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（2）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：，其中.参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）已知，命题对任意，不等式成立；命题存在，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意得，函数的图象关于点对称，则，即，解得，所以，则，令，解得或，当，则，函数单调递减，当，则，函数单调递增，所以，，所以函数的值域为，故选D.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，其中解答中根据函数的图象关于点对称，列出方程组，求的得值是解得关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.2、B【解析】

根据等比数列性质列式求解【详解】选B.本题考查利用等比数列性质求值，考查基本分析求解能力，属基础题.3、D【解析】

根据题意画出图形，结合图形把三棱锥补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线，求出外接球的直径和表面积．【详解】根据题意画出图形，如图所示，

以AB、BD和CD为棱，把三棱锥补充为长方体，

则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

且长方体的对角线是外接球的直径；

，

外接球O的表面积为．

故选：D．本题考查了三棱锥外接球表面积计算问题，将三棱锥补成长方体，是求外接球直径的关键，属于中档题．4、D【解析】

中最大的数为，包含个数据，且个数据是连续的正整数，由此可得到的表示.【详解】因为，所以表示从连乘到，一共是个正整数连乘，所以.故选：D.本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：的运用.5、A【解析】

根据函数为奇函数，以及上的单调性，判断出上的单调性，求得的值，对分为四种情况讨论，由此求得不等式的解集，进而求得的解集.【详解】由于函数为奇函数，且在上递减，故在上递减，由于，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故当或即或时，.所以不等式的解集为.故本小题选A.本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.6、A【解析】

由二项分布的公式即可求得时概率值.【详解】由二项分布公式：.故选A.本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.7、D【解析】

由三角函数的图象求得，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由图象可知，，即，所以，即，又因为，则，解得，又由，所以，所以，又因为，所以图中的最高点坐标为.结合图象和已知条件可知，所以，故选D.本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、A【解析】

由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可【详解】由题故选A本题考查了复数的运算，属于基础题.9、D【解析】

采用赋值法，令得：求出各项系数之和，减去项系数即为所求【详解】展开式中，令得展开式的各项系数和为而展开式的的通项为则展开式中含项系数为故的展开式中不含项的各项系数之和为故选D.考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．10、D【解析】

根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，故错误；，故错误；，故，故，错误；，故，正确.故选：.本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力.11、A【解析】

先算出，然后套用公式，即可得到本题答案.【详解】由题，得表示“第一次和第二次都取到奇数”的概率，结果等于，又有，所以.故选：A本题主要考查条件概率的计算，属基础题.12、A【解析】

由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为的展开式的通项为，令，则的系数是.故选A本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3.【解析】

利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．【详解】曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为6则解得a=【点晴】注意用积分求面积的区别，图形在x轴下方时，所求积分为负值，图形在x轴上方时所求积分为正值14、【解析】

由两曲线焦点重合，得出的关系，再求出，由刚才求得的关系式消元后得，令，换元后利用函数的单调性可得范围．其中要注意变量的取值范围，否则会出错．【详解】因为椭圆：与双曲线：的标准方程分别为：和，它们的焦点重合，则,所以，∴，，另一方面，令，则，，于是，所以故答案为：本题考查椭圆与双曲线的离心率问题，利用焦点相同建立两曲线离心率的关系，再由函数的性质求得取值范围．为了研究函数的方便，可用换元法简化函数．15、300【解析】

分层抽样中，样本容量与总体容量是成比例的．由此计算．【详解】设乙设备生产的产品总数为件，则，解得．故答案为：300.本题考查分层抽样，属于基础题．16、58024【解析】

依题意得的取值是1到10的整数，满足的个数等于总数减去和的个数.【详解】集合中共有个元素，其中的只有1个元素，的有个元素，故满足条件“”的元素个数为56049－1－1024＝58024.本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用，利用正弦定理，化简即可证明（2）利用（1），得到当时，，得出，得出，然后可得【详解】证明：（1）据题意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴当时，.又，∴，∴，∴.本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题18、⑴a=b=1；⑵(-∞ 【解析】试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a 试题解析：⑴∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴，∴b=1．∴f(x)=1-2xa+2即a(2x-1)=∴a=1，∴a=b=1．⑵不等式f(t2-2t)+f(2又f(x)是R上的减函数，∴t2∴k<3t2-2t=3∴k<-1即实数k的取值范围是(-∞ 考点：函数的奇偶性和单调性.【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域[0,+∞).19、（1）（2）当时，，当时，【解析】

（1）由题意可知解方程即可得解；（2）设直线的方程为，，由直线与椭圆联立得，由根与系数的关系可得，从而得中点的坐标，进而得的垂直平分线方程，令x=0可得，再由，用坐标表示即可解.【详解】（1）由题意可知解得，，所以椭圆方程为.（2）由（1）知，设直线的方程为，，把代入椭圆方程，整理得，所以，则，所以中点的坐标为，则直线的垂直平分线方程为，得又，即，化简得，解得故当时，，当时，.本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，用到了向量问题坐标化，坐标通过设而不求的方程灵活处理，考查了学生的运算能力，属于中档题.20、（Ⅰ）8（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根据二项定理展开式展开，即可确定对应项的系数，即可求解.（Ⅱ）代入值后可求得的解析式，经过检验可知点不在曲线上，即可设切点坐标为，代入曲线方程并求得，由导数的几何意义及两点间斜率公式，可得方程，且由题意可知该方程有三个不同的实数根；分离参数并构造函数，进而求得，令求得极值点和极值，由直线截此图象有三个交点即可确定的取值范围.【详解】（Ⅰ）根据二项式定理展开式的应用，展开可得所以（Ⅱ）由题意因为点不在曲线上，所以可设切点为．则．因为，所以切线的斜率为．则，即．因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．分离参数，设函数，所以，令，可得，令，解得或，所以在单调递增，在单调递减．所以的极大值为，极小值为.用直线截此图象，当两图象有三个交点，即时，即可作曲线的三条切线.本题考查了二项式定理展开式的简单应用，两点间斜率公式及导数的几何意义应用，分离参数及构造函数研究三次函数性质的综合应用，属于中档题.21、（1）能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；（2）选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.【解析】试题分析：（1）计算k2，与2.027比较大小得出结论，（2）（i）根据分层抽样即可求出，（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可．试题解析：（1）由列联表可知，.因为，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，.则从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.22、