北京市第四十四中学2025届数学高二第二学期期末检测试题含解析

北京市第四十四中学2025届数学高二第二学期期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则()A． B． C． D．以上都不正确2．设等差数列的前n项和为，若，则()A．3 B．4 C．5 D．63．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间上是()A．增函数且 B．增函数且C．减函数且 D．减函数且4．己知集合，，若，则实数的取值范围_______.A． B． C． D．5．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．6．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．420种 D．840种7．已知函数的图象如图，则与的关系是：（）A． B．C． D．不能确定8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．9．已知函数，表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为，有以下命题：①的解析式为；②的极值点有且仅有一个；③的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度与时间的函数关系图象是（）A． B． C． D．12．函数的图象是()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定义域为的奇函数满足：对，都有，且时，，则__________．14．已知为第二象限角，，则____________.15．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．16．已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）“学习强国”APP是由中宣部主管，以新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示：分数频数601002020频率0.30.50.10.1（1）由频率分布表可以认为，这名党员这两天在“学习强国”上的得分近似服从正态分布，其中近似为这名党员得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），近似这名党员得分的方差，求；（2）以频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取人，记抽得这两天在“学习强国”上的得分不低于分的人数为，求的分布列与数学期望.参考数据：，若，则，，18．（12分）年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？19．（12分）如图,平面平面为等边三角形,,过作平面交分别于点,设.（1）求证：平面；（2）求的值,使得平面与平面所成的锐二面角的大小为.20．（12分）已知函数，．（）当时，证明：为偶函数；（）若在上单调递增，求实数的取值范围；（）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．21．（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求在区间上的最值.22．（10分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意可得：据此有：.本题选择B选项.2、C【解析】

由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3、B【解析】

先利用函数奇偶性求出函数在上的解析式，然后利用周期性求出函数在上的解析式，结合解析式对其单调性以及函数值符号下结论．【详解】设，则，，由于函数为上的奇函数，则，当时，，则.所以，函数在上是增函数，且当时，，，故选B.本题考查函数单调性与函数值符号的判断，解决函数问题关键在于求出函数的解析式，本题的核心在于利用奇偶性与周期性求出函数的解析式，属于中等题．4、B【解析】

首先解出集合,若满足，则当时，和恒成立，求的取值范围.【详解】，，即当时，恒成立，即，当时恒成立，即，而是增函数，当时，函数取得最小值，且当时，恒成立，，解得：综上：.故选：B本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.5、D【解析】

设，根据已知可得，由，得到，结合双曲线的定义，得出，再由已知求出，即可求解.【详解】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为.故选：D本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题.6、C【解析】

将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【详解】2男1女时：C52女1男时：C共有420种不同的安排方法故答案选C本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.7、B【解析】

通过导数的几何意义结合图像即得答案.【详解】由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.本题主要考查导数的几何意义，比较基础.8、B【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，设P（1+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d=，∈，由此能求出△ABP面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（1+，），∴点P到直线x+y+3=0的距离：d=，∵sin∈[﹣1，1]，∴d=，∴△ABP面积的最小值为△ABP面积的最大值为故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（1+，），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.9、C【解析】

首先利用导数的几何意义及函数过原点，列方程组求出的解析式，则命题①得到判断；然后令，求出的极值点，进而求得的最值，则命题②③得出判断．【详解】∵函数的图象过原点，∴．又，且在处的切线斜率均为，∴，解得，∴．所以①正确．又由得，所以②不正确．可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极大值为，极小值为，又，∴，∴的最大值与最小值之和等于零．所以③正确．综上可得①③正确．故选C．本题考查导数的几何意义的应用以及函数的极值、最值的求法，考查运算能力和应用能力，属于综合问题，解答时需注意各类问题的解法，根据相应问题的解法求解即可．10、B【解析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．11、C【解析】分析：根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图像分析判别可得结论.详解：A、B选项中：函数图象是单调递增的，与与题干不符，故排除；C、当注水开始时，函数图象往下凸，可得出下方圆台容器下粗上细，符合题意．；D、当注水时间从0到t时，函数图象往上凸，可得出下方圆台容器下细上粗，与题干不符，故排除．故选C.点睛：本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h和时间t之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想．12、B【解析】

首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．【详解】因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、D不正确．当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x-）是增函数．故选B．函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

根据是奇函数，有，再结合，推出，得到的最小正周期为8，再求解.【详解】因为定义域为的是奇函数，所以，又因为，所以，所以，即，所以的最小正周期为8，又因为时，，所以.故答案为：2本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14、【解析】

根据同角三角函数平方关系和的范围可求得，根据同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】为第二象限角，，，由得：，.故答案为：.本题考查根据同角三角函数平方关系和商数关系求解三角函数值的问题，属于基础题.15、【解析】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的2倍，所以，则，所以，解得，故，所以椭圆的标准方程为16、【解析】等腰直角翻折后是二面角的平面角，即，因此外接圆半径为，四面体的外接球半径等于，外接球的表面积为点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】

（1）利用分数统计表求得和；又，根据正态分布曲线可求得结果；（2）计算出从该地区所有党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服从于二项分布，利用二项分布概率公式求解出每个可能的取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得期望.【详解】（1）由题意得：（2）从该地区所有党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率为：由题意得，的可能取值为，且；；；；的分布列为：本题考查正态分布中的概率求解问题、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够确定服从于二项分布，属于常规题型.18、（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【解析】

（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.19、（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形相似，本题可根据得,而，因此（2）利用空间向量研究二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得等量关系，求的值试题解析：（1）证明：如图,以点为原点建立空间直角坐标系,不妨设,则,由,得,则.易知是平面的一个法向量,且,故,又因为平面,平面.（2）,设平面法向量为,则,故可取,又是平面的一个法向量,由为平面与平面所成锐二面角的度数),以及得,.解得或(舍去),故.考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20、（）证明见解析；（）；（）.【解析】试题分析：（1）当时，的定义域关于原点对称，而，说明为偶函数；（2）在上任取、，且，则恒成立，等价于恒成立，可求得的取值范围；（3）先证明不等式恒成立，等价于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得结果.试题解析：（）当时，