青海省西宁市沛西中学2025年数学高二下期末联考模拟试题含解析

青海省西宁市沛西中学2025年数学高二下期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-2．已知实数成等差数列,且曲线取得极大值的点坐标为,则等于（）A．-1 B．0 C．1 D．23．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.884．已知椭圆的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．5．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N(85,9)，若已知，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为（）A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.156．已知复数，若为纯虚数，则（）A．1 B． C．2 D．47．已知i是虚数单位，若z=1+i1-2i，则z的共轭复数A．-13-i B．-18．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为()A． B．C． D．9．若点M为圆上的动点，则点M到双曲线渐近线的距离的最小值为（）A． B． C． D．10．设是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件11．设全集为R，集合，，则A． B． C． D．12．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知全集，集合，，则_______．14．函数的单调递增区间是．15．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________.16．已知边长为的正的顶点在平面内，顶点，在平面外的同一侧，点，分别为，在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，.分别为椭圆的左.右顶点，过点的直线与椭圆交于.两点.若，求直线的方程.18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点，l和C交于A，B两点，求.19．（12分）已知.（1）当时，求：①展开式中的中间一项；②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大，求展开式中含项的系数.20．（12分）（1）已知，求复数；（2）已知复数满足为纯虚数，且，求复数．21．（12分）已知二次函数,且,是否存在常数,使得不等式对一切实数恒成立?并求出的值.22．（10分）高二年级数学课外小组人:（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?（2）从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系式sin(π4+α)详解：因为cos(则0<π4+α<则sin[(故选C.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及两角差的正弦函数公式的应用，其中熟记三角恒等变换的公式是化简求值的关键，着重考查了推理与运算能力.2、B【解析】由题意得，，解得由于是等差数列，所以，选B.3、D【解析】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.故选D.考点：相互独立事件的概率.4、D【解析】

利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【详解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线的斜率为故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故选：D．本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).5、D【解析】

先求出,再求出培训成绩大于90的概率.【详解】因为培训成绩X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，所以P(X＞90)=，所以培训成绩大于90的概率为0.15.故答案为：D.（1）本题主要考查正态分布，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解答正态分布问题，不要死记硬背，要根据函数的图像和性质解答.6、B【解析】

计算，根据纯虚数的概念，可得，然后根据复数的模的计算，可得结果.【详解】为纯虚数，，，故选：B本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题.7、C【解析】

通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案.【详解】根据题意z=1+i1+2i本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小.8、D【解析】

执行循环，根据判断条件确定结束循环，输出结果.【详解】第1步：a＝7-2n＝5，a＞0成立，S＝S＋a＝5，n＝2；第2步：a＝7-2n＝3，a＞0成立，S＝S＋a＝8，n＝3；第3步：a＝7-2n＝1，a＞0成立，S＝S＋a＝1，n＝4；第4步：a＝7-2n＝－1，a＞0不成立，退出循环，输出S＝1．选D.本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基础题.9、B【解析】

首先判断圆与渐近线的位置关系为相离，然后利用圆上一点到直线距离的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，由此即可得到答案。【详解】由题知，圆的圆心，半径.由双曲线的渐近线方程为，则圆心C到双曲线渐近线的距离为，故圆C与双曲线渐近线相离，圆C上动点M到双曲线渐近线的最小距离为，故选B．本题考查点到直线的距离公式的运用，考查学生基本的计算能力，属于基础题，10、B【解析】

求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：设是实数，若“”则：，即：，不能推出“”若：“”则：，即：，能推出“”由充要条件的定义可知：是实数，则“”是“”的必要不充分条件；故选：B．本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11、B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、B【解析】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由,得：，则，故答案为.14、【解析】试题分析：因为，所以单调递增区间是考点：导数应用15、【解析】

几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.【详解】由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，故圆柱的全面积是：.本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.16、【解析】分析：由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=1，然后由a的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围．详解：如图，由CC′⊥α，A′B′⊂α，得A′B′⊥CC′，又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，设BB′=a，CC′=b，则A′B′1=4﹣a1，A′C′1=4﹣b1，设B′C′=c，则有，整理得：ab=1．∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，tanφ=，在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值1，∴当a最大为时，A′B′取最小值，tanφ的最小值为．当a减小时，tanφ增大，若a≤1，则b≥1，在Rt△A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，∴a＞1，此时A′B′＜，即tanφ．∴tanφ的范围为．即的最小值为故答案为：．点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据题意，得出及，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）由（1）设直线的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，再根据向量的数量积的运算，列出方程，求得的值，即可得到直线的方程.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，易得过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，解得，，故椭圆的方程为；（2）由（1）知，右焦点的坐标为，于是可设直线的方程为，设，，由得，由韦达定理得，，又易知，，所以，，，，因此，而，所以，解得，故直线的方程为，即.本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.18、(1)..(2).【解析】

（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）消去参数α得，即C的普通方程为.由，得，（*）将，代入（*），化简得，所以直线l的倾斜角为.（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入并化简，得，，设A，B两点对应的参数分别为，，则，，所以，，所以.本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.19、（1）①；②；（2）.【解析】

（1）当时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于求出的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含项的系数．【详解】（1）①当时，的展开式共有项，展开式中的中间一项为；②展开式的通项公式为，令，得，所求常数项的值为；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于，而展开式中各项系数之和为，各二项式系数之和为，则，即，解得.所以，展开式通项为，令，解得，因此，展开式中含项的系数为.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．20、（1）；（2）或或.【解析】

（1）设复数，根据复数的运算法则和复数相等得出关于、的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数；（2）设复数，根据为纯虚数和列出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出复数.【详解】（1）设复数，由，得，根据复数相等得，解得，因此，；（2）设复数，则，由题意可得，.，得，所以有，解得或.因此，或或.本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.21、【解析】

由，令可得，结合，又利用恒成立可得，从而可得结果.【详解】存在常数使恒成立，因为，所以