2025届广东省汕头市高三第三次模拟考试数学试卷（含答案）

12025年高三第三次模拟考试数学科试卷本试卷共19小题，满分150分.考试用时120分钟.本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上.2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管.第一部分(选择题，共58分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={0,1,2,3},B={x|2*<8},则A∩B的元素个数为()A.{0,1,2}B.1C.2A.-2iB.-iA.1B.-1C.4.将函数y=sin(2x+φ)则4的一个可能取值为()5.已知过抛物线C:y²=4x的焦点F且倾斜角为θ的直线1交C于A,B6.函数.的部分图象大致为().27.已知α,tana=3tanβ,则α+β=()8.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O(0为球心)的球面上，△ABC为等边三角形，AB=BD=2,AD=√2,且AC⊥BD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：个频率/组距个频率/组距O2.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5收入/万元根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是()A.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元B.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间C.若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在[2.5,3.5],[6.5,7.5],[12.5,13.5]三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在[6.5,7.5]的家庭应抽24个D.从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到x₁,x₂,…x₁₂共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数.A.B.数列是公差为的等差数列C.数列的前5项和最大D.311.已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(-x),当x∈(1,2)时f(x)=2ˣ-2,则下列结论正确的有()A.f(-1)=0B.f(x)的图象关C.f(2024)>f(2025)第二部分(非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.扇形OCD,得到扇环ABDC,现将扇环ABDC围成一个圆14.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F,F₂,过点F的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点，若2sin∠ABF₂=3sin∠BAF₂,,则四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知入ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2c-b=2acosB.(2)若△ABC的面积为4√3,D为AC的中点，求BD长度的最小值.16.(15分)2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接.为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛.竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束.假定大学生张某答对这5道题的概率依次为答对互不影响.(2)记张某初赛结束时已答题的个数为X,求X的分布列及数学期望.417.(15分)如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°,AB=AC=2,AA₁=4,M18.(17分)已知函数f(x)=ax²+(a-2)x-Inx.(ii)记f(x)较小的一个零点为x₀,证明：x₀f'(x₀)>-2.19.(17分)已知椭圆E)的离心率①求tn;②记a=|PQ|,求数列的前n项和S.12025年高三第三次模拟考试数学科所以A∩B={0,1,2},有3个元素.故选：D.3.【答案】A【详解】向量a=(1,0),b=(x,1),则b-2a=(x-2,1),所以6.(b-2a)=x(x-2)+1×1=04.【答案】B【详解】将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到函数为,因为函数.为偶函数，所以∈Z,得,所以只有选项B符合题意，故选：B5.【答案】C【详解】由题意得F(1,0),设直线1:y=k联立C:y²=4x得k²x²-(2k²+4)x+k²=0,△=4k⁴+16k²+16-4k⁴=16k²+16>0,圆心O到直线l:y=k(x-1)的距离为EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up5(卷),C)所以为奇函数，故排除BC,2则x²=4或,k∈Z,解得：x=±2或x=1+2k,k∈Z,∴DE²+BE²=BD²,即DE∴DE⊥面ABC,而DEc面ADC,则面ADC⊥面ABC,若F为DC中点，连接EF,OF,易知：∠EFO即为二面角A-CD-O的平面角，由上BE⊥AC、DE⊥BE且ACIDE=E,AC,DEC面ADC,可得BE⊥面ADC,二、多选题9.【答案】BD【详解】根据频率分布直方图可得其组距为1,对于A,由平均数计算可得超过了6.5万元，即A错误；对于B,由图可知家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的占比为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,显然64%>50%,即B正确；3对B,∵f(x+2)=-f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期T=4,再根据f(x+2)=-f(-x),即f又∵当x∈(1,2)时f(x)=2*-2,∴f(2)=2²-2=2,即f(0)=-f(即f(2024)=f(0)=-2,f(2025)=f(504,当且仅当时，即x=1时等号成立，三、填空题12.【答案】xIn3-y+1=0【详解】由题设y'=3*ln3,则切线斜率k=In3,又x=0,得y=1,所以曲线y=3在点(0,1)处的切线方程是y-1=In3·(x-0),所以切线方程为xIn3-y+1=0.故答案为：xln3-y+1=013.【答案】【详解】圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个故扇形OAB所围成的大圆锥的体积为同理可得扇形OCD所围成的小圆锥的体积55所以离心率故答案为：2√2.15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2c-b=2acosB.(2)若△ABC的面积为4√3,D为AC的中点，求BD长度的最小值.【详解】(1)在△ABC中，由2c-b=2acosB及正弦定理得：而sinB>0,则---------------------4分又A∈(0,π),--------------5分所以----------6分在△ABD中，由余弦定理得.-------------10分当b=2c=4√2时取到等号，------------12分所以BD的最小值为2√2------------13分16.2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接.为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛.竞赛分为初赛和决6赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束.假定大学生张某答对这5道题的概率依次为且各题是否答对互不影响.X2345P7【详解】(1)在直三棱柱中∠BAC=90°,则AB,AA,AC两两垂直，所以AM=(2,2,0),AN=(1,0,1),C₁M=(2,-2,-2-------2分由C₁M·AM=4-4+0=0,则C₁M⊥AM------------3分由AM∩AN=A且都在平面AMN内，则C₁M⊥平面AMN;-------------5分由PN//平面ACC₁A,则m·NP=a-1=0,可得a=1,故P(1,4,0),---------7分设平面PMV的一个法向量n=(x,y,z),NP=(0,4,-1),NM=(1,2,-1)-------8分(3)由(1)知平面AMN的一个法向量为C₁M=(2,-2,-2),由(2)知AP=(1,4,0),所以点P到平面AMN的距离8(2)若f(x)有两个零点，f(x)为f(x)的导函数.【详解】(1)当a=1时，f(x)=x²-x-lnx,函数f(x)的定义域为(0,+),综上所述，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)单调递增.--------3分当时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增.--------6分所以函数f(x)有两个零点当且仅当因为g(1)=0,g(a)<0的解集为a∈(0,1)---综上所述，a的取值范围是(0,1)--------10分(ii)因为f(x)=(x²+x)a-2x-Inx,由f(1)=2a-2<0,9即证(2x₀+1)(Inx₀+2x₀)>(2x₀-1)(x₀+1).,(2)若直线L,l₂均过点P(p,0)(0<②记a₄=|PQ,求数列的前n项和Sₙ.【详解】(1)因a²=b²+c²可得：a²=2b²①,----------1分联立①,②,解得a=2√2,b=2,-----------3分(2)①当直线↓,l₂中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN与x轴重合，不符合题意，故直线↓