广西贺州市平桂管理区平桂高级中学2024-2025学年数学高二下期末调研试题含解析

广西贺州市平桂管理区平桂高级中学2024-2025学年数学高二下期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的展开式中有理项系数之和为（）A． B． C． D．2．设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知下表所示数据的回归直线方程为y=3.4x+a，则实数ax23456y48111418A．2.6 B．-2.6 C．-2.8 D．-3.44．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．5．设集合，则（）A． B． C． D．6．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数7．己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为，其中，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A．42万元 B．45万元 C．48万元 D．51万元8．已知，取值如下表：从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则等于（）A． B． C． D．9．在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（）A．2 B． C． D．110．已知函数，下面结论错误的是()A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数11．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．中至少有两个偶数 B．中至少有两个偶数或都是奇数C．都是奇数 D．都是偶数12．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．1 B．2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在中，，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为__________．14．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.15．已知随机变量服从正态分布，，则__________．16．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数满足（其中为虚数单位）（1）求；（2）若为纯虚数，求实数的值．18．（12分）为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量（万辆）1234567的浓度（微克/立方米）28303541495662（1）求关于的线性回归方程；（提示数据：）（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时的浓度；（II）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中，.19．（12分）已知数列的前项和满足,.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.20．（12分）已知函数（1）若函数的导函数为偶函数，求的值；（2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围21．（12分）已知圆圆心为，定点，动点在圆上，线段的垂直平分线交线段于点．求动点的轨迹的方程；若点是曲线上一点，且，求的面积．22．（10分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分为五个级别，畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.早高峰时段（），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求出r的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．详解：（1+）6的展开式的通项公式为Tr+1=•，令为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为+++=25=32，故选：B．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数2、B【解析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3、B【解析】

根据最小二乘法：a=y-b【详解】由题意得：x=2+3+4+5+6∴a=11-3.4×4=-2.6本题正确选项：B本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题，关键在于明确回归直线必过x,y，因此代入点x,4、C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5、B【解析】分析：首先求得A,B，然后进行交集运算即可.详解：求解函数的定义域可得：，由函数的定义域可得：，结合交集的定义可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查函数定义域的求解，交集的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、C【解析】分析：直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.7、C【解析】

由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，则线性回归方程可求，取求得y值即可．【详解】，，样本点的中心的坐标为，代入，得．关于x得线性回归方程为．取，可得万元．故选：C．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．8、B【解析】

计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．【详解】依题意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.又直线y=0.95x+a必过中心点(),即点(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.故选B.本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键．9、B【解析】

分别将曲线，的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果【详解】根据题意，曲线曲线，则直线与圆相交，圆的半径为，圆心到直线的距离为设长为，则有，即解得（舍负）故线段的长度为故选本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题10、D【解析】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数,函数的图像关于直线对称,函数是偶函数.考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.11、B【解析】

用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：B.本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.12、D【解析】

先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.【详解】，，.故选D.本题主要考查复数的模计算，较基础.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由余弦定理求得，再结合正弦定理得，进而得，得，则面积可求【详解】由，得，解得.因为，所以，，所以.又因为，所以.因为，所以.故答案为本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题14、【解析】

由长方体对角线与棱长的关系计算．【详解】设长方体的长、宽、高分别为，则，解得，∴对角线长．故答案为．本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．15、0.22.【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．16、【解析】试题分析：至少有一次正面向上的概率为，恰有一次出现反面向上的概率为，那么满足题意的概率为．考点：古典概型与排列组合．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

(1)设，可得，解得从而可得结果；(2)由（1）知，利用为纯虚数可得，从而可得结果.【详解】（1）设，由于则：解得：（2）由（1）知又为纯虚数，本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.18、(1);(2)(ⅰ)91微克/立方米;(ⅱ)13万辆.【解析】

(1)由数据可得：，，结合回归方程计算系数可得关于的线性回归方程为.(2)(I)结合(1)中的回归方程可预测车流量为12万辆时，的浓度为91微克/立方米.(II)由题意得到关于x的不等式，求解不等式可得要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.【详解】(1)由数据可得：，，，，，故关于的线性回归方程为.(2)(I)当车流量为12万辆时，即时，.故车流量为12万辆时，的浓度为91微克/立方米.(II)根据题意信息得：，即，故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19、（1）（2）【解析】

根据公式解出即可．写出，再分组求和．【详解】（1）当时，；当时，，综上.（2）由（1）知本题考查数列通项的求法及分组求法求前n项和．属于基础题．20、（1）；（2）【解析】

（1）求出函数的导数，由于二次函数为偶函数，所以一次项系数为，进而求得a的值；（2）由题意得存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于.【详解】（1）∵，由题因为为偶函数，∴，即（2）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，∴关于的方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴.∴a的取值范围为.本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.21、；.【解析】

由已知，故，即点轨迹是以、为焦点的椭圆，根据，，得出椭圆方程；由知，又因为，得出，进而求出，算出面积即可.【详解】由已知，故点轨迹是以、为焦点的椭圆.设其方程为则即，又，故．点的轨迹的方程为：．由知.又.有，．本题考查椭圆得方程求法，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.22、（1）18（2）39.96【解析】试题分析：（1