湖南省永州市宁远县一中2024-2025学年高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

湖南省永州市宁远县一中2024-2025学年高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线x2A．23 B．2 C．3 D．2．已知点，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．3．已知命题,那么命题为A． B．C． D．4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.285．展开式中不含项的系数的和为A． B． C． D．26．函数的部分图像大致为（）A． B．C． D．7．已知函数，则（）A． B． C． D．8．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则等于（）A． B． C． D．9．若实数a,b满足a+b<0，则()A．a,b都小于0B．a,b都大于0C．a,b中至少有一个大于0D．a,b中至少有一个小于010．设奇函数的最小正周期为，则（）A．在上单调递减 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递增11．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．4812．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1:y=0.68x+a，计算其相关系数为r1，相关指数为R12.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l2A．r1>0,C．a=0.12 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．．14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.15．若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为．16．在直角坐标系中，若直线（为参数）过椭圆（为参数）的左顶点，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）(本小题满分12分)某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在，的学生人数为1．频率/组距频率/组距0.0120.0160.018分8060507090100x0.024（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率．18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线的交点为，求的值.19．（12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．20．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由；（3）设的两个极值点为，证明.21．（12分）2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为。关注不关注合计年轻人30中老年人合计5050100（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”是否和年龄有关？（2）现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查，若再从这6人中选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“中国湖北（潜江）龙虾节”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望。附：参考公式其中。临界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23考点：双曲线与渐近线．2、A【解析】

，，向量在方向上的投影为，故选A．3、C【解析】

全称命题的否定是特称命题,要前改量词，后面否定结论,故选C.4、B【解析】

由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。【详解】所求概率为.故选B.本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题。5、B【解析】试题分析：由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0，故选B.考点：二项展开式各项系数和；二项展开式的通项6、B【解析】

结合函数的性质，特值及选项进行排除.【详解】当时，，可以排除A,C选项；由于是奇函数，所以关于点对称，所以B对，D错.故选：B.本题主要考查函数图象的识别，由解析式选择函数图象时，要注意特值法的使用，侧重考查直观想象的核心素养.7、A【解析】

根据分段函数解析式，结合指数幂与对数的运算，即可化简求解.【详解】函数则，所以，故选：A.本题考查了分段函数的求值，指数幂与对数式的运算应用，属于基础题.8、B【解析】分析：根据题意，由焦点的位置可得，又由焦距为，即，再由双曲线的几何性质可得，即可求得.详解：根据题意，焦点在轴上的双曲线，则，即，又由焦距为，即，则有，解得.故选：B.点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围.9、D【解析】假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.10、B【解析】分析：利用辅助角公式将函数进行化简，根号函数的周期和奇偶性即可得到结论．详解：，

∵函数的周期是，，

∵）是奇函数，

即∴当时，即则在单调递减，

故选：B．点睛：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．11、B【解析】解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有2种种法；种四种花有种种法．共有2++=1．故选B12、B【解析】

根据相关性的正负判断r1和r2的正负，根据两个模型中回归直线的拟合效果得出R12和R2【详解】由图可知两变量呈现正相关，故r1>0,r2>0故A正确，B不正确.又回归直线l1:y=0.68x+a必经过样本中心点(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回归直线l2:y=bx+0.68必经过样本中心点所以b=0.44，也可直接根据图象判断0<b<0.68（比较两直线的倾斜程度），故D本题考查回归分析，考查回归直线的性质、相关系数、相关指数的特点，意在考查学生对这些知识点的理解，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：考点：定积分14、【解析】试题分析：若集合中分别有一个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；总计有种．故答案应填：．考点：组合及组合数公式．【方法点睛】解法二：集合中没有相同的元素，且都不是空集，从个元素中选出个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；总计为种方法．根据题意，中最小的数大于中最大的数，则集合中没有相同的元素，且都不是空集，按中元素数目这和的情况，分种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题．15、4【解析】试题分析：由题意，．考点：三视图与体积．16、.【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得的值.详解：由已知可得圆（为参数）化为普通方程，可得，故左顶点为，直线（为参数）化为普通方程，可得，又点在直线上，故，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形的面积为概率，且所有概率和为1，列出等量关系：，解得；（Ⅱ）根据组中值估计平均数：（Ⅲ）根据频率分布直方图中小长方形的面积为概率，所以“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率为试题解析：（Ⅰ）由题意得：，解得；（Ⅱ）所抽取的数学成绩的平均数为（Ⅲ）“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率为考点：频率分布直方图18、（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代极坐标公式得到曲线的直角坐标方程.(2)把直线的参数方程代入，得,再利用直线参数方程t的几何意义解答.详解：（1）对于曲线，两边同乘以可得，即,所以它的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入，得,所以,因为点在直线上，所以,因为,所以,所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,.当动点在定点下方时,.19、(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点．（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.试题解析：（1），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（2）∵函数在处取得极值，∴，∴，令，，可得在上递减，在上递增，∴，即．（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20、(1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析【解析】

（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.【详解】（1）由题意得：定义域为；在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根即：与在有两个不同的交点设过的的切线与相切于点则切线斜率，解得：过的的切线的斜率为：，解得：即的取值范围为：（2）令，则时，；时，在上单调递增；在上单调递减，即：即：（3）由（1）知，是方程的两根即：，设，则原不等式等价于：即：设，则，只需证：，设，在上单调递增即在上恒成立所证不等式成立本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点个数求解参数范围、通过构造函数的方式比较大小、利用导数证明不等式的问题；利用导数证明不等式的关键是能够将所证不等式