天津市宝坻区大口屯高中2025届数学高二下期末达标测试试题含解析

天津市宝坻区大口屯高中2025届数学高二下期末达标测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则复数的虚部为.A．-2 B．-1 C．1 D．2.2．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种 B．18种 C．37种 D．48种3．某射手每次射击击中目标的概率为，这名射手进行了10次射击，设为击中目标的次数，，，则=A． B． C． D．4．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（）A． B． C． D．5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如8455用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（）A． B．C． D．6．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．二项式的展开式中，常数项为（）A．64 B．30 C．15 D．168．设全集U＝R，集合，，则集合()A． B．C． D．9．对任意非零实数，若※的运算原理如图所示，则※=（）A．1 B．2 C．3 D．410．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（）A． B． C． D．11．若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．在等差数列中，，则（）A．45 B．75 C．180 D．360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，使在上取得最大值3，最小值-29，则的值为__________．14．已知中角满足且,则__________.15．数列中，已知，50为第________项.16．已知集合2，3，，，集合A、B是集合U的子集，若，则称“集合A紧跟集合B”，那么任取集合U的两个子集A、B，“集合A紧跟集合B”的概率为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）甲部门678乙部门5.566.577.58丙部门55.566.578.5（1）求该单位乙部门的员工人数？（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．18．（12分）知数列的前项和.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，．20．（12分）已知函数.(1)若,解不等式;(2)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.21．（12分）设，，已知函数.（I）当时，求的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意，函数至少有三个零点，求实数的取值范围.22．（10分）如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据复数除法的运算法则去计算即可.【详解】因为，所以，虚部是，故选D.本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算2、C【解析】

根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27种方案；则符合条件的有64-27=37种，故选：C．本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3×4×4=48种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．3、A【解析】

利用次独立重复实验中恰好发生次的概率计算公式以及方差的计算公式，即可得到结果。【详解】由题可得随机变量服从二项分布；由，可得：，解得：故答案选A本题主要考查二项分布概率和方差的计算公式，属于基础题。4、A【解析】

先算出，然后套用公式，即可得到本题答案.【详解】由题，得表示“第一次和第二次都取到奇数”的概率，结果等于，又有，所以.故选：A本题主要考查条件概率的计算，属基础题.5、D【解析】

根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D符合，故选D.本题主要考查合情推理，属于基础题型.6、D【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.7、C【解析】

求出二项展开式的通项公式，由此求得常数项.【详解】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故常数项为，故选C.本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.8、A【解析】

求出，然后求解即可.【详解】全集，集合，则集合，所以，故选A.该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.9、A【解析】

分析：由程序框图可知，该程序的作用是计算分段函数函数值，由分段函数的解析式计算即可得结论.详解：由程序框图可知，该程序的作用是计算※函数值，※※因为，故选A.点睛：算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.10、B【解析】

x∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x）＜0，知f'（x）＞0，所以（-∞，1）上f（x）是增函数．∵f（x）=f（2-x），∴f（3）=f（2-3）=f（-1）所以f（-1）＜（0）＜，因此c＜a＜b．故选B．11、D【解析】

由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为【详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限．故选D.本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题．12、C【解析】

由，利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由，得到，则．故选C.本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题.解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若，则.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】分析：求函数的导数，可判断在上的单调性，求出函数在闭区间上的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的的导数，，由解得，此时函数单调递减.由，解得或，此时函数单调递增.即函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在处取得极大值同时也是最大值，则，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.14、【解析】分析：先化简得到，再化简得到.详解：因为，所以1-,所以，因为,所以,所以A+B=.，所以,因为sinA>0,所以.故答案为.点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.15、4【解析】

方程变为，设，解关于的二次方程可求得。【详解】，则，即设，则，有或取得，，所以是第4项。发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。16、【解析】

由题意可知集合U的子集有个，然后求出任取集合U的两个子集A、B的个数m，及时A、B的所有个数n，根据可求结果.【详解】解：集合2，3，，的子集有个，集合A、B是集合U的子集，任取集合U的两个子集A、B的所有个数共有个，，若，则B有个，若A为单元数集，则B的个数为个，同理可得，若2，，则只要1个即，则A、B的所有个数为个，集合A紧跟集合B”的概率为．故答案为本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)24人；(2)；(3)X的分布列见解析；数学期望为1【解析】

（1）分层抽样共抽取：3+6+6＝15名员工，其中该单位乙部门抽取6名员工，由此能求出该单位乙部门的员工人数．（2）基本事件总数n18，利用列举法求出A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件个数，由此能求出A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率．（3）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【详解】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6＝15名员工，其中该单位乙部门抽取6名员工，∴该单位乙部门的员工人数为：624人．（2）由题意甲部门抽取3名员工，乙部门抽取6名员工，从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，基本事件总数n18，A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有12个：（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），∴A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率p．（3）由题意从丙部门抽出的员工有6人，其中睡眠充足的员工人数有2人，从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列为：X012PE（X）1．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，涉及到古典概型及分层抽样的基本知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）；（2）。【解析】

（1）利用当时，，再验证即可.（2）由（1）知.利用裂项相消法可求数列的前项和.【详解】（1）.当时，.又符合时的形式，所以的通项公式为.（2）由（1）知.数列的前项和为.本题考查数列的通项的求法，利用裂项相消法求和，属于中档题．19、（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，．（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而．（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．20、（1）；（2）【解析】分析：第一问先将代入解析式，之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后取并集即可得结果；第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理，应用绝对值的性质，将不等式的左边求得其最小值，之后将其转化为关于b的绝对值不等式，利用平方法求得结果.详解：（1）所以解集为：.(2)所以的取值范围为：.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题，在解题的过程中，需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集，再者对于恒成立问题可以向最值来转化，而求最值时需要用到绝对值不等式的性质，之后应用平方法求解即可得结果.21、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（I）将代入函数的解析式，并将函数的解析式表示为分段函数的性质，再结合二次函数的性质得出函