北京市海淀区2025届高二数学第二学期期末调研试题含解析

北京市海淀区2025届高二数学第二学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数z满足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i2．设数列的前项和为，若，，成等差数列，则的值是（）A． B． C． D．3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C． D．4．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：——结伴步行，——自行乘车，——家人接送，——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（）A．30 B．40 C．42 D．485．在△ABC中，，，，则角B的大小为（）A． B． C． D．或6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．57．若动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，则点的轨迹一定不可能是（）A．除两点外的圆 B．除两点外的椭圆C．除两点外的双曲线 D．除两点外的抛物线8．给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是A．①④ B．②④ C．①③ D．②③9．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A． B．C． D．10．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（）A．12种 B．24种 C．48种 D．60种11．椭圆C：x24+y23=1的左右顶点分别为AA．[12,34]12．已知向量，，若，则（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量，，若，则___________．14．设，则等于___________．15．若，则____16．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下：甲：7876749082乙：9070758580（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过原点的两条直线分别与曲线交于异于原点的、两点，且,其中的倾斜角为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求和的极坐标方程；（2）求的最大值.19．（12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．20．（12分）已知曲线的极坐标方程为（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；（2）若是曲线上一个动点，求的最大值，以及取得最大值时点的坐标.21．（12分）高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上总计男1087321545女546463055总计1512137845100（1）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及均值.附公式及表如下：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）[选修4-5:不等式选讲]已知函数=|x-a|+(a≠0)(1)若不等式-≤1恒成立,求实数m的最大值;(2)当a<时,函数g(x)=+|2x-1|有零点,求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】z=2i1-i=2i(1+i)本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2、B【解析】

因为成等差数列，所以，当时，；当时，，即，即，数列是首项，公比的等比数列，，故选B.3、B【解析】

解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，故选B．4、A【解析】

根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数．【详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．故选A．本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．5、A【解析】

首先根据三角形内角和为，即可算出角的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B【详解】在△ABC中有,所以,所以,又因为,所以，所以,因为，，所以由正弦定理得，因为,所以。所以选择A本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为。2、正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。6、C【解析】把三视图还原为原几何体为一个四棱锥，底面是边长为3的正方形，侧棱底面ABCD，四个侧面均为直角三角形，则此几何体各面中直角三角形的个数是4个，选C.7、D【解析】

根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点的轨迹.【详解】因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，所以，整理得，当时，方程的轨迹为双曲线；当时，且方程的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为圆，抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1,故点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D.本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求动点的轨迹方程的.8、D【解析】

根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数判断②是否正确，根据回归直线的知识判断③是否正确，根据联表独立性检验的知识判断④是否正确.【详解】残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误.相关指数越大，拟合效果越好，故②正确.回归直线方程斜率为故解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位，即③正确.越大，有把握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选D.本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题.9、D【解析】

函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.10、D【解析】

直接根据乘法原理得到答案.【详解】根据乘法原理，一共有种选法.故选：.本题考查了乘法原理，属于简单题.11、B【解析】设P点坐标为(x0,y0)，则于是kPA1∵kPA2【考点定位】直线与椭圆的位置关系12、C【解析】

根据题意得到的坐标，由可得的值.【详解】由题，，，或，故选C本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由求出，然后即可算出【详解】因为，所以解得，所以所以故答案为：本题考查的是二项分布的相关知识，较简单.14、【解析】

根据微积分基本定理可得，再结合函数解析式，根据牛顿莱布尼茨定理计算可得；【详解】解：因为所以故答案为：本题考查利用定积分求曲边形的面积，属于基础题.15、4【解析】

去括号化简，令虚部为0，可得答案.【详解】，故答案为4.本题主要考查了复数的乘法运算以及复数为实数的等价条件.16、【解析】

由，求导，再根据点处的切线与直线平行，有求解.【详解】因为，所以，因为点处的切线与直线平行，所以，解得.故答案为：本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(I)茎叶图见解析；(II)甲.【解析】试题分析：(I)由图表给出的数据画出茎叶图；(II)根据公式求出两组数据的平均数及方差,结合计算结果,甲乙平均数相同,因此选方差较小的参加比赛.试题解析：解：（Ⅰ）用茎叶图表示如下：……3分（Ⅱ），，……7分而，……11分因为，，所以在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，所以我认为应该派甲去.…………12分考点：1.茎叶图；2.平均数与方差.【方法点晴】本题考查的是茎叶图和平均数与方差的计算,属基础题目.根据计算结果选出合适的人参加数学竞赛,其中平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名学生的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名学生的成绩越稳定;要求学生结合算出的数据灵活掌握.18、（1），；（2）4【解析】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，然后由代入化简后得出曲线的极坐标方程，由直线过原点且倾斜角为可直接得出直线的极坐标方程；（2）由题干条件得出直线、的极坐标方程分别为、，然后将这两条直线的参数方程分别代入曲线的极坐标方程可得出和，利用诱导公式以及辅助角公式化简得出关于的三角函数表达式，并利用三角函数的性质求出最大值．【详解】（1）由消去参数得普通方程为，即，所以极坐标方程为，即.的极坐标方程为.（2）将代入得，将代入得因为，所以.当时，的最大值为．本题考查参数方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，利用极坐标解决实际问题时，需注意极坐标适用于曲线上的点与原点线段长度相关的问题，解法步骤如下：（1）将曲线方程用极坐标方程表示出来，并将与原点相连的直线用极坐标方程表示；（2）将直线方程与曲线的极坐标方程联立，求出线段长度关于极角的三函数；（3）利用三角恒等变换思想以及三角函数基本性质求解．19、（1）5.3155；（5）6.5.【解析】试题分析：第一问根据频率公式求得a=0.5,b=0.3，第二问在做题的过程中，利用题的条件确定销售量为1．5吨的频率为0.5，可以判断出销售量为1．5吨的天数服从于二项分布，利用公式求得结果，第二小问首先确定出两天的销售量以及与之对应的概率，再根据销售量与利润的关系，求得的分布列和，利用离散型随机变量的分布列以及期望公式求得结果．试题解析：（1）由题意知：a=5．5，b=5．3．①依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率p=5．5，设5天中该种商品有X天的销售量为1．5吨，则X～B（5，5．5），．②两天的销售量可能为5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值为5，5，6，7，8，则：，，，，，的分布列为：ξ

5

5

6

7

8

P

5．55

5．5

5．37

5．3

5．59

．考点：独立重复实验，离散型随机变量的分布列与期望．20、（1）.（2）最大值为6，.【解析】

(1)利用极坐标化直角坐标的公式求解即可;(2)设利用三角函数图象和性质解答得解.【详解】(1)把曲线的极坐标方程为,化为直角坐标方程为;(2)化出曲线的参数方程为(为参数).若是曲线上的一个动点,则,可得,其中,故当时,取得最大值为,此时,,,,.本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化,考查三角函数的恒等变换和最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,难度一般.21、（1）在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）①②答案见解析.【解析】

（1）由题意完成列联表，结合列联表计算可得，即可求得答案；（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）由表格数据可得列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男252045女154055合计4060100将列联表中的数据代入公式计算得：.所以在犯错误概率不超过的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为