河北省保定市曲阳县第一中学2025届数学高二下期末考试试题含解析

河北省保定市曲阳县第一中学2025届数学高二下期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C． D．2．有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插人另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A． B． C． D．3．已知函数，则的大致图像是（）A． B． C． D．4．已知函数，则方程的根的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．25．设等差数列{}的前项和为，若，则=A．20 B．35 C．45 D．906．下列函数一定是指数函数的是（）A． B． C． D．7．在“石头、剪刀、布”游戏中，规定“石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头”，现有小明、小泽两位同学玩这个游戏，共玩局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为，且，则（）A．1 B． C． D．28．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列满足＝f(0)，且f()＝()，则的值为()A．2209 B．3029 C．4033 D．22499．已知双曲线C:x216-yA．6x±y=0 B．C．x±2y=0 D．2x±y=010．函数在区间上的最大值为（）A．2 B． C． D．11．若，则（）A．10 B．-10 C．1014 D．103412．中，，且，点满足，则A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：（1），；（2）对任意，都有，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若，都是数域，那么也是一个数域；④若，都是数域，那么也是一个数域.其中真命题的序号为__________．14．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．15．若，则____．16．一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球.从中一次性任取个小球，将“恰好含有个红球”的概率记为，则当__________时，取得最大值．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的内角A的大小为，面积为.(1)若，求的另外两条边长；(2)设O为的外心，当时，求的值.18．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．（1）当为线段的中点时，①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.19．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均为正数.求证：20．（12分）已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于、两点，若点的直角坐标为，求的值．21．（12分）已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）已知数列满足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C．2、D【解析】

将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案．【详解】根据题意，原来有位同学，现在有插入位同学，一共有位同学，原问题可以转化为在个位置中，任选个安排后来插入位同学，有种情况，即有种排列．故选：D．本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．3、C【解析】

利用函数值的正负及在单调递减，选出正确答案.【详解】因为，排除A，D；，在同一个坐标系考查函数与的图象，可得，在恒成立，所以在恒成立，所以在单调递减排除B，故选C.根据解析式选函数的图象是高考的常考题型，求解此类问题没有固定的套路，就是要利用数形结合思想，从数到形、从形到数，充分提取有用的信息.4、A【解析】

令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.【详解】令，先解方程.（1）当时，则，得；（2）当时，则，即，解得，.如下图所示：直线，，与函数的交点个数为、、，所以，方程的根的个数为，故选A.本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．5、C【解析】

利用等差数列的前n项和的性质得到S9=，直接求解．【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a6=10，∴S9=故选：C．这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。6、D【解析】

根据指数函数定义，逐项分析即可.【详解】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；B：是幂函数，故错误；C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；D：属于指数函数，故正确.故选D.指数函数和指数型函数：形如（且）的是指数函数，形如（且且且）的是指数型函数.7、C【解析】

由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为，且，先由求出，然后即可算出【详解】由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为，且因为，所以所以故选：C本题考查的是二项分布的知识，若，则，.8、C【解析】

因为该题为选择题，可采用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数满足条件，可设函数为，从而求出，再利用题目中所给等式可证明数列为等差数列，最后利用等差数列定义求出结果。【详解】根据题意，可设，则，因为，所以，所以，所以数列数以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，故选C。本题考查选择题中的特殊法解决问题，对于选择题则可以找到满足题意的特殊值或者特殊函数直接代入进行求解。9、C【解析】

根据双曲线的性质，即可求出。【详解】令x216双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，故选C。本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。10、D【解析】

求出导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可确定最大值．【详解】，当时，；时，，∴已知函数在上是增函数，在上是减函数，.故选D．本题考查用导数求函数的最值．解题时先求出函数的导函数，由导函数的正负确定函数的增减，从而确定最值，在闭区间的最值有时可能在区间的端点处取得，要注意比较．11、C【解析】

先求出，对等式两边求导，代入数据1得到答案.【详解】取对等式两边求导取故答案为C本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.12、D【解析】分析：以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解．详解：由题意，以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设点，则，又由，所以，即，所以，所以，故选D．点睛：本题主要考查了向量的坐标表示与向量的坐标运算问题，其中恰当的建立直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②③④【解析】分析：根据“数域”的定义，对四个结论逐一验证即可，验证过程一定注意“照章办事”，不能“偷工减料”.详解：，则①正确；对于②，若是一个数域，则，于是任何一个分数，都可以构造出来，即，②正确；对于③，，③正确；定义④，④正确，故答案为①②③④.点睛：本题考查集合与元素的关系，以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.14、【解析】

根据古典概型概率计算公式求解即可.【详解】从名教师中选派名共有：种选法名男教师参加培训有种选法所求概率：本题正确结果：本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.15、【解析】

通过，即可求出的值，通过，即可求出的值，最终可求出的值．【详解】令，可得令，可得本题通过赋值法来研究二项展开式系数的和，是一道基础题．16、20【解析】分析：由题意可知，满足超几何分布，列出的公式，建立与的表达式，求最大值。详解：，取得最大值，也即是取最大，所以：解得，故。点睛：组合数的最大值，可以理解为数列的最大项来处理。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）,；（2）或【解析】

（1）由三角形面积公式得到AC边，再由余弦定理即可得出BC边；（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，设的中点为，则，结合为的外心，可得，从而可求得．【详解】（1）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以因为，所以.由余弦定理得.（2）由得，即，解得或4.设的中点为D，则，因为O为的外心，所以，于是.所以当时，，；当时，，.本题主要考查三角形的面积公式及余弦定理的应用以及向量的基本运算和性质的应用．属于中档题.18、（1）①见解析；②；（2）.【解析】

（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角．（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得设设由导数法求得范围．【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，.因为分别是棱的中点，所以（1）当为线段的中点时，则①因为所以即②因为设平面的一个法向量为由可得，取，则所以又因为是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角的平面角为，则.因为为锐角，所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为（2）因为在线段上，所以设（），解得，所以.因为设平面的一个法向量为由可得，取则所以设直线与平面所成的角为则因为所以设则所以，设则，设可求得的取值范围为，进一步可求得的取值范围为所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为.本题全面考查利用空间向量坐标法证明线线垂直，求二面角，构造函数关系，并利用导数求范围，运算难度较大．19、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）分别在、、三个范围内去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将所证结论变为证明，利用基本不等式可证得结论.【详解】（1）当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：不等式的解集为：（2）均为正数要证，只需证：即证：，，三式相加可得：（当且仅当时取等号）成立本题考查绝对值不等式的求解、利用基本不等式证明不等关系的问题，考查分类讨论的思想、分析法证明不等式和基本不等式的应用，属于常考题型.20、（1）直线l的方程为,圆C的方程为（2）【解析】

试题分析：(1)消去参数可得直线的普通方程为，极坐标方程转化为直角坐标方程可得圆C的直角坐标方程是(2)利用题意由弦长公式可得.试题解析：解：（1）∵直线l的参数方程是（是参数），∴．即直线的普通方程为．∵，∴∴圆C的直角坐标方程为，即或（2）将代入得，∴．∴．21、(1)(2)【解析】

（1）求出公比后可得的通项公式.（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）设等比数列的公比为.由，得，得，所以，解得.故数列的通项公式是.（