八年级上册数学：专题24 二次根式【八大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题2.4二次根式【八大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1判断二次根式】.........................................................................1

【题型2根据二次根式有意义的条件求参数范围】..................................................3

【题型3利用二次根式被开方数的非负性求值】....................................................4

【题型4根据二次根式是整数求字母的值】........................................................6

【题型5数轴与二次根式的化简的综合运用】......................................................7

【题型6逆用（«）2=a（a>0）在实数范围内分解因式】..........................................10

【题型7根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】...............................................11

【题型8复合型二次根式的化简求值】...........................................................13

，举一反三

【知识点1二次根式的定义】

形如F（a>0）的式子叫做二次根式，F叫做二次根号，a叫做被开方数.

【题型1判断二次根式】

【例1】（2023春•八年级单元测试）。是任意实数，下列各式中：①付”；②板二时；③而K：

④VQ2+6Q+9；⑤必［3,一定是二次根式的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可.

【详解】•・•二次根式6必须满足a>0

・•・只有②③④可以确定被开方数书负

一定是二次根式的个数是3个

故选C

【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键.

【变式1-1］（2023春•湖北孝感•八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.4aB.V2C.D.

【答案】C

【分析】一般地，我们把形如迎（aN0）的式子叫做二次根式，据此进行判断即可.

【详解】解；A、当QZ0时，血才是二次根式，本选项不符合题意；

B、冠中，根指数为3,故不是二次根式，本选项不符合题意；

C、是二次根式，本选项符合题意；

D、口中，一4<0,故不是二次根式，本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解决问题的关键是理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确

的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围.

【变式1-2］（2023春・全国•八年级专题练习）下列式子一定是二次根式的是（）

A.B.—\［aC.yJ~aD.Va

【答案】A

【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论.

【详解】解：A、后的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确；

B、aVO时，一VH不是二次根式，故B错误；

C、遍是三次根式，故C错误；

D、aVO时，正不是二次根式，放D错误：

故选:A.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如N0）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数.

【变式1-3］（2023春・陕西•八年级阶段练习）下列式子：巾,后,行二，VSO",VTOO,后二I,

J|a|+1中,一定是二次根式的是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【分析】解题需要分别考虑是否满足二次根式需要同时满足的两个条件：一是含有根号，二是被开方数是非

负数.

【详解】根据二次根式的定义可得夕，而不正，7100,,Jj74T是二次根式，

故选B.

【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟练掌握这•点是解题的关键.

【知识点2二次根式有意义的条件】

（1）二次根式中的被开方数是非负数：（2）二次根式具有非负性：VK>0.

【题型2根据二次根式有意义的条件求参数范围】

【例2】（2023•辽宁丹东•八年级统考期末）在函数丁=膏中，自变品工的取值范围是（）

A.-1<x<2B.-2<A<1C.1<x<2D.1<x<2

【答案】D

【分析】根据函数有意义的条件得到｛；二；j解不等式组即可得到自变量x的取值范围.

【详解】解：由题意得

解不等式组得1V》42,

故选:D.

【点睛】此题考查了自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.

【变式2-1］（2023春•湖北孝感•八年级统考期中）若式子年有意义，则》的取值范围是

【答案】X<g且％H0

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,即可求解.

【详解】解：••・式子餐有意义，

X

:.1—3%>0且汇*0,

解得：X<；且为H0,

故答案为：工工1且工中0.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的意义，掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键.

【变式2-2］（天津市南开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）下列各式中x的取值范围是％>3的

是（）

A.V3—xB.y/x—3C.V3+xD.-^==

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件逐项判断即可.

【详解】解：A,V3-x>0,Ar<3,故本选项不符合题意；

BsVx-3>0,Ax>3,故本选项符合题意；

C>V3+x>0,.*.x>-3,故本选项不符合题意：

DsVx—3>0,.*.x>3,故本选项不符合题意：

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负、分式的分母不为0是解

题的关键.

【变式2-3】(2023春・浙江绍兴•八年级校联考期中)若a2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以

是().

A.Vx—1B.V1—xC.y/x—3D.-x

【答案】A

【分析】根据二次根式的定义分析，即可得到答案.

【详解】A.当x=2时，»1=2-1=1>0,-1有意义,符合题意；

B.当x=2时，l-x=l-2=-lV0,无意义，不符合题意；

C.当x=2时，x-3=2-3=-l<0,VF=3无意义，不符合题意；

D.当人=2时，-x=-2V0,无意义，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解.

【知识点3二次根式的性质】

性质1：(VS)2=a(a>0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；

a(a>f))

性质2：V?=|a|=-,即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

.-a(a<0)

【题型3利用二次根式被开方数的非负性求值】

【例3】(2023春・福建福州•八年级统考期中)已知y=Vx-2022-d2023-x+1,其中x为整数，则y的

值为.

【答案】0或2

【分析】先根据二次根式有意义的条件得出｛:石；"；3,求出2022<x<2023,再根据％为整数，得出

x=2022或％=2023,分别代入，即可得出答案.

【详解】解：要使y=&-2022-V2023-x+1有意义，则>:，

解得：2022<x<2023,

•・•)为整数，

・・・/=2022或％=2023,

当％=2022时，y=V2022-2022-当023-2022+1=0-1+1=0；

当x=2023时，y=12023-2022-当023-2023+1=1-0+1=2；

综上分析可知：的值为0或2.

故答案为：。或2.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于零.

【变式3-1】(2023春•河北邢台•八年级校考期末)若GT+万两=0,求无-V的值.

【答案】4

【分析】结合题意，根据二次根式的性质，可分别得到x和y的方程，经计算从而完成求解.

【详解】vV^i+77^=0

.-1=0

,,(y+3=0

.(x=1

,,ly=-3

••・x-y=l-(-3)=4.

【点睛】本题考查了二次根式、一元一次方程、等式等知识；解题的关键是熟练掌握平方根、一元一次方程、

等式的性质，从而完成求解.

【变式3-2](2023春•黑龙江绥化•八年级统考期中)若y=-2,则W.

【答案吗

【分析】根据二次根式成立的条件得出关于工的不等式组，求得％=3,进而求出y=-2,代入式即可求出答

案.

【详解】Vy=Vx-3+V3-x-2,

.fx-3>0

，x=3.

.*.y=Vx—34-V3-x—2=—2.

故答案是

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和负整数指数累的性质，熟练掌握F(aNO)以及a-P=^(aWO,

ar

P为正整数)是解题的关键.

【变式3-3](2023•全国•八年级假期作业)已如实数a满足股(2008—a)2+Ja-2009-a,求a-2008?的

值是多少？

【答案】2009

【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可.

【详解】解：•・•二次根式有意义，

.\a-2009>0,即的2009,

.\2008-a<-l<0,

.,.a-2008+Va-2009=a,解得W-2009=2008,

等式两边平方，整理得a-20082=2009.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键.

【题型4根据二次根式是整数求字母的值】

【例4】（2023春•八年级单元测试）若后是整数，则整数〃的所有可能的值为.

【答案】1,4,9,36

【分析】隹是整数，则至N0,且土是完全平方数，即可求出〃的值.

ynnn

【详解】解：•・•后是整数，

/.->0,且小是完全平方数，

nn

*,*（D^=1»即72=36；

②^=4,即几=9；

=9,即=4；

=36,ERn=1；

综上所述，整数〃的所有可能的值为1,4,9,36.

故答案是：I,4,9,36.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解后是整数的条件是解题的关键.

【变式4-1］（2023春・广东惠州•八年级校考期中）已知：痢是整数，则满足条件的最小正整数?1为（）

A.2B.4C.5D.20

【答案】C

【分析】将痛化简为2行，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答.

【详解】解：V20n=2V5n,

•••领是整数，

.•・满足条件的最小正整数几为5,

故选：C.

【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键.

【变式4-21（2023春・湖北武汉•八年级统考期中）已知同二元是整数，则自然数n所有可能的值的和为_____.

【答案】26

【分析】根据二次根式的定义可知10-月工0,直接列出〃所有可能的值再求和即可.

【详解】痴二元是整数，则自然数九所有可能的值为九=1,6,9,10,

所以九所有可能的值的和为1+6+9+10=26.

故答案为：26

【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键是明确VH,a\O.

【变式4-3】（2023春・江苏•八年级专题练习）如果析是一个正整数，则整数Q的最小值是（）

A.-4B.-2C.2D.8

【答案】A

【分析】根据57+4公是一个正整数,得出Q>-；,根据Q为整数，得出。的最小值为一4,最后代入。=一4

4

验证V17+4a是一个正整数符合题意,得出答案即可.

【详解】解：・.717+40是一个正整数,

.*.17+4a>0,

・、17

4

Ta为整数，

二。的最小值为一4,

且。=一4时，417+4a=717-16=1符合题意,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出是解题的关键.

【题型5数轴与二次根式的化简的综合运用】

【例5】（2023春・广东云浮・八年级统考期中）已知实数外4c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：

\[a^+（M-a+b）2—|c—b|.

>

ac0b

【答案】—2a+c

【分析】根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再进行化简即可

【详解】解：由数轴，得Q<—1,一1<CV03>1,

-ci+b>0,c—b<0.

:.原式=-a+(-a+b)+(c—b)

=-a-a+b+c-b

=-2a+c.

【点睛】本题考查二.次根式的性质，化简绝对值.解题的关键是艰据点在数轴上的位置，确定式子的符号.

【变式5-1X2023春•八年级单元测试)已知：实数a"在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：J(Q++

2yj{b-iy-\a-b\.

-1a0b1

【答案】2a-3b+3

【分析】直接利用数轴得出Q+l,匕一1,Q—b的符号，再化简得出答案.

【详解】由题图可知一1<Q<0,ovb<l,

/.a4-1>0,b—1<0,a—h<0,

7(a+1)2+2yl(b—1)2—\a-b\

=a+1+2(1—b)—(b-a)

=G+1+2—2b—b+a

=2a—364-3.

【点睛】本题考查了利用数轴确定式子的符号，二次根式的性质及绝对值的意义，根据数轴确定Q+l,b-l,

Q-b的符号是解答本题的关键.

【变式5-2](2023春・全国•八年级期末)实数小儿。在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简而一+

得()

I111T

hc0a

A.b-cB.-2a—b—cC.b+cD.-b-c

【答案】A

【分析】根据数轴得到bVcVOVa,再根据二次根式的性质以及立方根的性质化简，再合

并即可.

【详解】解：由图可知，b<c<Q<a,\b\>\a\>|c|.

工a+b<0,

工V?-（孤丁+（JQ+bp

=\c\-a+（a+b）

=-c-a+a+b

=b-c

故选A.

【点睛】本题考查二次根式的性质、实数与数轴上点的对应关系，正确根据去绝对值方法和二次根式的性质

进行分析是解决本题的关键.

【变式5-3】（2023春・山东临沂・八年级统考期中）阅读材料，解答问题。

例：若代数式J（2-a〉+J（Q-4上的值是常数2,求。的取值范围.

分析：原式二|a-2|+|a—4|,而|a|表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，|Q—2|表示数a在数轴上

的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析.

解:原式二|。-2|+|0-4|在数轴上，分别讨论数〃表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4

表示的点之间，在数4表示的点右边，可得。的范围应是23E4.

_|_|_|_I_I_I------->

024

（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例.

（2）化简J（7-a）2+J（Q-10）2.

【答案】（1）数形结合思想，分类讨论思想；（2）17-2。或3或2.T7

【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论；

（2）分。<7,732010及。>10三种情况进行讨论即可.

【详解】解：（1）数形结合思想，分类讨论思想.

（2）原式=|7-a+m-ioi

①当aV7时，原式=7-。+10—4=17—2〃；

②当左方10时，原式=3；

③当a>10时，原式=4-7+a-10=2aT7.

【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论.

【题型6逆用(«)2=a(aNO)在实数范围内分解因式】

【例6】(2023春・全国•八年级专题练习)在实数范围内分解因式：x4-9x2+20=.

【答案】(x+2)(%—2)(%+质)(%—遥)

【分析】先把/当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式.

【详解】X4-9X2+20

=(X2-4)(X2-5)

=(X2-4)[X2-(V5)2]

=(x+2)(x-2)(x+V5)(x-V5)

故答案为。+2)(x-2)(x+V5)(x-V5)

【点睛】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用Q=(y)2(QZ0)把一个整数写成平

方形式再进行分解因式.

【变式6-1](2023春♦八年级单元测试)将3/一4在实数范围内分解因式得.

【答案】(百x+2)(6％-2)

【分析】利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：3%2-4=(V3x)2-22=(V3x4-2)•(V3x-2)

故答案为：(8*+2)(百工一2).

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键.

【变式6-2】(2023•全国•八年级专题练习)(2023贵州省黔东南州)在实数范围内因式分解：好一他=.

【答案】X(X2+2)(X+N/2)(X->/2)

【分析】根据提取公因式法和平方差公式，结合二次根式的性质分解因式即可.

【详解】解：X5-4X

=x(x4-4)

=x(x2+2)(/-2)

=Af(x2+2)(x+V2)(x->/2).

故答案为：》(7+2)(》+&)卜一加).

【点睛】本题主要考查因式分解•、二次根式的性质，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.

【变式6-3】(2023春・全国•八年级专题练习)在实数范围内分解因式：

(1)X2-7：

(2)x3—5x；

(3)4x2-11：

(4)x2-273%+3.

【答案】⑴a+夕)a-夕)

⑵%(x+V5)(x-V5)

(3)(2x+711)(2X-711)

(4)(x-V3)2

【分析】(1)首先将7化为(b)2,然后利用平方差公式，即可得解.；

(2)首先提取公因式工,将5化为(代I,然后利用平方差公式，即可得解：

(3)首先将4/化为(2%)2,11化为然后利用平方差公式，即可得解；

(4)首先将3化为(VS)?,然后利用完全平方公式，即可得解.

【详解】(1)解：%2-7=X2-(V7)2=(X+V7)(X-V7):

⑵解：x3-5x=x(x2—5)=x[x2-(V5)2]=x(x+V5)(x-V5)；

(3)解：4x2-11=(2幻2_(^n)2=(2x+Vll)(2x-Vil)；

72

(4)解：x2—2V3x4-3=x2—2>/3x+(V3)=(x—V3).

【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行分解因式，熟练掌握，即可解题.

【题型7根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】

【例7】(2023春•八年级课时练习)一次函数y=mx+九的图象如图所示，化简Tm?+2mn+九2一慎+

11=.

【答案】n-1

【分析】先根据一次函数〉=巾X+"经过第一、二、三象限，且交于），轴的正半轴，可得m>0,n<0,再

由图可知，当时，一次函数的值大于0,即有当％=1时，有y=m+〃>0,据此化简即可.

【详解】•・•一次函数y=mx+zi经过第一、二、三象限，且交于），轴的正半轴，

n<0,

由图可知，当x=l时，一次函数的值大于0,

，将x=1代入y=mx4-n中有y=m+n>0,

即：y/m2+2mn+n2—\m+1|

=、/（m+九）2-（m4-1）

=n+n—m—1

=n—1,

故答案为：n—1.

【点睛】本题考查r一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图

象与性质得*m>0,m+7i>0,是解答本题的关键.

【变式7-1]（2023春•黑龙江绥化•八年级校考阶段练习）若化简|1-R—爪2-8x+16的结果是2x-5,

则x的取值范围是

【答案】\<x<4

【分析】根据|1一x|-8一8%+16=2%一5可以得到|%—1|一|无一4|=2X-5,然后根据戈的取值范围

去绝对值即可求解.

【详解】解•：由题意可知：11-%|-Vx2-8%+16=2%-5

|1-x|-yj（x-4尸=2x-5

|x—1|—|x—4|=2%-5,

:.当为<1时

原式=l-x+x-4=-3不合题意；

:.当％>4时，

原式=%-1-%+4=3不合题意；

,当1W%W4时，

原式=x-14-x-4=2x-5符合题意；

的取值范围为：1&XW4,

故答案为：1WXW4.

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行：求解.

【变式7-21(2023春・山东烟台•八年级统考期中)已知机是鱼的小数部分，则式子-.

【答案】2-V2

【分析】首先确定血=企-1，再将其代入-并化简计算即可.

【详解】解：•・•〃?是企的小数部分，

:.ra=V2—1,

=J(V2-1-l)2=J(V2-2)2=|V2-2|=2-V2.

故答案为：2-V2.

【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出机=&-1.

【变式7-3](2023春•黑龙江绥化八年级校考阶段练习)已知时V0,化简硒=______

【答案】-aVb

【分析】根据二次根式有意义的条件得到a2b>0,利用标>o,ab<0得a<0,b>0,再根据二次根式的

性质得原式=\a\Vb,然后去绝对值即可.

【详解】解：a2b>0,

而M>o,ab<0,

a<0,b>0,

原式=

=|a|•Vb

=-aVb.

故答案为：-NB.

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握而=|a|.

【题型8复合型二次根式的化简求值】

【例8】(2023春•江苏•八年级专题练习)像劣4-2偌,,同一闻,…这样的根式叫做复合二次根式.有

一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：V4-2V3=V3-2V3+1=

Jo/3)2-2V3x1+I2=J(V5-1)2=6-1再如:15+2a=J3+2后+2=

J(方)2+2x百x&+(或产=J(g+或产=V3+或请用二述方法探索并解决下列问题：

(1)化简：V10+2V21；

(2)化简：V14-8V3；

(3)若Q+6再=(m+遍几产，且a,m,ri为正整数，求a的值.

【答案】⑴V5+近

(2)272-V6

⑶14或46.

【分析】(1)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；

(2)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；

(3)利用完全平方公式，结合整除的意义求解.

【详解】(1)解：V10+2VH=J(V3)2+2xV3xV7+(V7)2=J(V3+V7)2=V34-V7；

(2)解：V14-8V3=J(2V2)2-2x2V2xV6+(V6)2=J(2后一遍尸=2迎一述

(3)解：a+6A/5=(zn+V5zi)7=+5n7+2y/5nin,

•••a=m2+5九2且2