八年级上册数学：专题45 一次函数的应用【八大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题4.5一次函数的应用【八大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1分配方案问题】.........................................................................1

【题型2最大利润问题】.........................................................................7

【题型3行程问题】............................................................................13

【题型4工程问题】............................................................................20

【题型5调运问题】............................................................................25

【题型6体积问题】............................................................................31

【题型7平面几何图形问题】....................................................................36

【题型8分段收费问题】........................................................................40

►举一反三

【题型1分配方案问题】

【例1】（2023春・河南商丘.八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月

20日公布，此次盛会充分展示疫恃防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服务,

针对特殊人群开展活动.活动方案如下：方案一：不购买“云VIP”，每次收费10元；方案二：购买“云VIP”,

每次另行额外收费.

设王先生“云健身”次数为工（次），按照方案一所需费用为月（元），且为=右双的中0）；按照方案二所需费

用为力（元），且为=2H其函数图象如图所示.

（2）两种方案的函数图象交于点4请求出点4的坐标并解糕点4的实际意义；

⑶若王先生准备“云健身”25次，选择方案—（选填“一”或“二”）所需费用较少；若王先生注备180元进

行“云健身”，选择方案—（选填“一”或“二”）可以获得更多的次数.

【答案】(1)10,120

⑵点A的坐标为(20,200)；点A的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元

⑶二；一

【分析】(1)分别根据题意和函数的图象求解；

(2)先根据待定系数法求出两个函数的解析式，再求出交点坐标，结合实际说出4点的意义；

(3)根据图象可知，次数大于20次时，方案二的费用较少，费用小于200时，方案一次数较多，由此求解.

【详解】(I)解：由题意得：yi=10x,

由图象得:当％=0时，y2=120f即购买“云VIP”需120X；,

故答案为:10,120；

(2)由题意得:=10%,

V(0,120),(10,160)在力=6工十。上，

(b=120

A

(160=10k2+b，

解律电蒜，

:.y2=4x4-120,

令10x=4x+120,

解得x=20,

10%=200,

•••点4的坐标为(20,200)：

点4的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元；

(3)由图象得：王先生准备“云健身”25次，选择方案二所需费用较少；

若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案一可以获得更多的次数；

故答案为：一；一.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键.

【变式1-i](2023春•四川成都・八年级校考期中)成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700

人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的1()倍丕多35人.

(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？

(2)某公司有A、8两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；

A型号客车8型号客车

载客量(人辆)4055

租金(元/辆)9001200

学校计划租用/、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元.共有几

种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？

【答案】(1)参加活动的八年级学生有670人，老师有30人

(2)共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元

【分析】(1)设带队老师有工人，则学生有2(10%+35)人，根据“八年级学生和带队老师共700人参加研学

活动”，可以列出相应的方程，然后求解即可；

(2)根据表格中的数据和题意，可以写出费用和租用4种型号车辆数的函数关系，再根据题目中的数据，可

以列出相应的不等式组，从而可以得到相应的租车方案，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的租车

费用.

【详解】(1)解：设带队老师有x人，则学生有2(10%+35)人，

由题意可得:%+2(10x4-35)=700,

解得：x=30,

•••2(10%+35)=2x(10X30+35)=670,

答：参加活动的八年级学生有670人，老师有30人；

(2)解：设租用4种型号的客车Q辆，则租用8种型号的客车(16-。)辆，总费用为w元，

由题意可得：w=900a+1200(16-a)=-300a+19200,

vw=-300<0»

•e•w随a的增大而减小，

•.•每天租车的总费用不超过16200元，学校组织八年级学生和带队老师共70()人参加研学活动，

(-300a+19200<16200

A(40a+55(16-a)>700'

解得：10WaW12,

•••Q为整数，

a=10或11或12,即共有三种租车方案，

二当a=12时，w取得最小值，此时w=15600,

28台挖掘机，已经调往甲地x台挖掘机，则还剩(28-无)台调往乙地，乙地需要25台，已经从.4省调(28-

%)台到乙地，8省共24台挖掘机，从B省调(27-x)台到甲地后还剩24-(27-x)=(x-3)台调往

乙地；从A省向甲地需耗资0.4%万元，到乙地耗资0.3(28-幻万元：从8省向甲地需耗资0.5(27-%)万元,

到乙地耗资0.2(%-3)万元，

则填表如下:

运往甲地(单位：台)运往乙地(单位；台)

A省X28-x

B省27-xx-3

运往甲地耗资(单位：万元)运往乙地耗资(单位：万元)

4省0.4x0.3(28-x)

B省0.5(27-%)0.2(%-3)

故答案为：28—不，27-x,x-3,0,3(28-X),0.5(27-x),0.2(%-3)

(2)解：由(1)可知,则34%327

tx-3>0

由题意得：y=0.4x+0.3(28-x)+0.5(27-x)+0.2(x-3)

即：y=-0.2x+21.3(3<x<27),

故'与x之间的函数关系式为：y=-0.2x4-21.3(3<x<27).

(3)解：依题意得：一0.2%+21.3416.2,解得：x>25.5,

又••・34x427,且％为整数，

.••x=26或27.

・••要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：

方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台：从8省往甲地调运1台，往乙地调运23台，0.4x26+0.3X

2+0.5x1+0.2x23=16.1(万元)；

方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从8省往甲地调运。台，往乙地调运24台，

0.4x27+0.3X1+0.2X24=15.9(万元)，

v15.9<16.1.

•••调运方案二的总耗资最少.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、列函数解析式、列代数式、一元一次不等式的应用等知识点，根

据已知表示出从8省调(27-％)台到甲地后还剩24—(27-x)=(x-3)台调往乙地是解题关键.

【变式1-3】(2023春・江苏苏州•八年级校联考期中)母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进小B两种礼盒，

已知4、8两种礼盒的单价之和为200元，购进2个4种礼盒和3个8种礼盒共花费520元.

(1)求4、B两种礼盒的单价；

(2)若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数据不超过A种礼盒数

量的2倍，共有儿种进货方案？

(3)已知销售一个4种礼盒可获利10元，销售一个8种礼盒可获利18元，该店主决定每售出一个B种礼盒，为

爱心公益基金捐款m元，每个力种礼盒的利润不变，在(2)的条件下，要使4、8两种礼盒全部售出后所有

方案获利均相同，m的值应是多少？此时店主获利多少元？

【答案】⑴力种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元

(2)共有三种方案

(3)m=3,此时店主获利1200元

【分析】(1)利用4、B两种礼盒的单价和为200元，2个4种礼盒和3个B种礼盒共花费520元，得出等式即可

求片、8两种礼盒的单价；

(2)利用两种礼盒恰好用去9600元，结合(1)中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可；

(3)首先表示出店主获利，进而利，书a,b关系得出符合题意的答案即可.

【详解】(1)解：设4种礼盒单价为％元，B种礼盒单价为200元，依据题意得：

2x4-3(200-%)=520,

解得：x=80,

则200-80=120(元)，

答：4种礼盒单价为80元，8种礼盒单价为120元；

(2)设购进4种礼盒a个，8种礼盒匕个，依据题意可得：

[80a+120b=9600

a<36,

(b<2a

解得：30WaW36,

・••a,b的值均为整数，

••.a的值为：30、33、36,

.,•共有三种方案；

(3)设店主获利为w元，则

w=lOcz+(18—m)b,

由80a+120b=9600,

得：a=120-gb，

则w=(3—m)b+1200,

•••要使(2)中方案获利都相同，

/.3—m=0♦

m=3,

此时店主获利1200元.

【点睛】此题主要考查了•次函数与对应的•元•次不等式及方程的应用，根据题意得出正确数量关系是解

题关键.

【题型2最大利润问题】

【例2】(2023春・江西景德镇•八年级统考期中)某公司有100个工人生产4、B、C三种型号的产品，每个工

人每天只能生产一种型号的产品，每个工人每天生产三种型号产品的数量及每个48、C型号产品获利情况

如下表所示.每天生产小B、C三种型号产品共1240个.设安排次名)工人生产A型号产品，安排y(名)工人

生产8型号产品.公司生产小B、C三种型号产品每天获总利w(元).

ABC

每个工人每天生产数量/个151210

每个产品获利/元182030

(1)分别求出y与工及w与x的函数关系式.

(2)若生产小B、C每种都不小于27人，人数安排方案有几种？写出所有安排方案.

(3)若要使每天获利最人•，应采用哪种安排方案？求出最大利润.

【答案】(l)y=-2.5%+120,w=120%+22800

(2)人数安排有3种方案，分别是A型号32人，8型号40人，C型号28人；4型号34人，8型号35人，C型号31人;

A型号36人，8型号30人，C型号34人

(3)当x取得最大值36时，w的值最大，w的最大为：27120元

【分析】(1)根据题意中的数量关系列方程即可;

（2）根据生产4、B、C每种都不小于27人，列不等式组，根据U）中的y与％的函数解析式即可求解；

（3）根据（1）中w与x的函数关系式，由一次函数图像的性质可知，w随汇的增大而增大，当％取得最大值，

当欠=36时，w的值最大，由此理可求解.

【详解】（1）解：每个工人每天只能生产一种型号的产品，每天生产A、B、C三种型号产品共1240个，安

排x（名）工人生产4型号产品，安排y（名）工人生产8型号产品，则安排了（100—x—y）名工人生产C型号产

品>

.\15x+12y+10（100-x-y）=1240,整理的，y=-2.5x+120,

•・•每个4产品的获利为18元，每个8产品的获利为20元，每个C产品的获利为30元，公司生产力、B、C三种

型号产品每天获总利w（元），

Aw=18x15x+20x12y+30x10（100-%-y）,整理得，w=120x4-22800.

（2）解：生产小B、C每种都不小于27人,

（x>27

・•.y>27,

（100-x-y>27

Vy=-2.5x4-120,

/x>27

/.]-2.5X+120>27,解此不等式组得解集为：31gW%W37.2.

（lOO-x+2.5x-120>27

XVy=-2.5x+120,

・•・义必须是偶数,即X的值是:32,34,36,

①当％=32（人）时，y=-2.5%+120=-2.5x32+120=40（人），100-x-y=100-32-40=

28（A）；

②当x=34（人）时，y=-2.5%+120=-2.5x34+120=35（人），100-x-y=100-34-35=

31（A）;

③当％=36（人）时，y=-2.5x+120=-2.5x36+120=30（人），100-x-y=10-36-30=34（人）;

综上所述，人数安排有3种方案，分别是小型号32人，8型号40人，。型号28人；力型号34人，8型号35人，。型

号31人；4型号36人，8型号30人，C型号34人.

（3）解：Vw=120x4-22800,k=120>0,

随x的增大而增大，

:.当％取得最大值，

由（2）可知，”的最大值是36,

，当％=36时,卬的值最大，w的最大为:120x36+22800=27120(元).

【点睛】本题主要考查•次函数，•元•次不等式的实际运用，掌握一次函数图像的性质，不等式的性质解

不等式组，不等式组的取值方法等知识是解题的关键.

【变式2-1](2023春•河北邢台•八年级统考期中)某工厂生产某种产品，每件产品的成本价为25元，出厂

价为50元.在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理.

方案I：自行处理，达标排放.每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元.

方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理I立方米污水需付14元的排污费.问：

(I)设工厂每月生产工件产品，每月的利润为)，元，分别求出按方案1,方案2处理污水时)，与x的函数关系

式；

(2)工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所获利润相同？请说明理由；

(3)工厂每月生产6000件产品时，采用何种方案才能使工厂所获利润最大？请通过计算加以说明.

【答案】(1)方案1：yj=24x-30000(x>0)：方案2：y2=18x(x>0)

(2)工厂生产5000件产品时，采用两种方案所获利润相同，见解析

(3)工厂采用方案1时所获利润更大，见解析

【分析】(I)每件产品出厂价为5(),共x件，则总收入为：50%,成本费为25%,产生的污水总量为0.5%,

按方案一处理污水应花费：0.5%x2+30000,按方案二处理应花费：0.5xx14.根据利润=总收入-总支出

即可得到y与x的关系；

(2)令灼=丫2，解方程即可;

(3)根据(1)中得到的x与y的关系，将x=6000代入，比较丁的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多.

【详解】(1)按方案1处理污水时，yi=50x-25x-0.5xx2-30000=24%-30000(x>0).

按方案2处理污水时，y2=50x-25x-0.5xx14=18x(x>0)；

(2)工厂生产5000件产品时，，采用两种方案所获利润相同，

理由：当24%-30000=18%时，解得x=5000,

所以工厂生产5(X)0件产品时，采用两种方案所获利润相同；

(3)当％=6000时，刈=24x6000-30000=114000；

y2=18x6000=108000.

因为、1>丫2，

所以工厂采用方案1时所获利润更大.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关健根据题干信息找出题中存在的等式关系，然后依照等式

关系列出函数关系式.

【变式2-2】（2023春•全国•八年级期末）“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药平遥推光漆器因其历史悠久

和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器.某漆器厂清明前生产4、

B两种首饰盒，若生产10件4首饰盒和20件8首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件4首饰盒和10件8首

饰盒，共需投入成本3800元.

B

（1）每件48首饰盒的生产成本分别是多少元？

（2）该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，目要求生产4首饰盒数量不少于。首饰盒数

量的2倍，问共有几种牛.产方案？

（3）洛漆器供应给商场后，每件4首饰盒可获利100元，每件B首饬盒可获利40元，在（2）的前提下，请你设

计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利.

【答案】（1）每件人首饰盒的生产成本是150元，每件8首饰盒的生产成本是80元.

（2）共有4种生产方案.

⑶生产A首饰盒70件，8首饰盒3（）件时总获利最大，最大利涧为8200元.

【分析】（1）设每件A首饰盒的生产成本是工元，每件8首饰盒的生产成本是y元，根据“生产10件A首饰盒

和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元”

列二元一次方程组，求解即可；

（2）设该厂生产B首饰盒m件，根据用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产4

首饰盒数量不少于8首饰盒数量的2倍列一元一次不等式组，求解即可；

（3）设该厂总获利w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定获利最大时的生产方案.

【详解】（1）解：设每件A首饰盒的生产成本是x元，每件4首饰盒的生产成本是），元，

根据题意,得服居;歌

解明片o°

答：每件4首饰盒的生产成本是150元，每件4首饰盒的生产成本是80元.

(2)设该厂生产8首饰盒〃?件，

根据题意，得｛150(10()1%)：讪黑12900，

解得30<m<^,

•••执取正整数：30,31,32,33,

二共有4种生产方案.

(3)设该厂总获利卬元，

根据题意，得w=100(100-m)+40m=-60771+10000,

v-60<0,

•••w随着m的增大而减小，

当m=30时，w取最大值，最大利润=-60x30+10000=8200(元)，

100-30=70(件),

二生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意建立关

系式是解题的关健.

【变式2-3](2023春・福建厦门•八年级统考期末)“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务

中加大了体育活动的力度.某体育用品商店抓住商机,计划购达300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其

中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：

商品进价售价

丘乓球拍(元/套)a45

羽毛球拍(元/套)b52

已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110兀，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260兀.

(1)求出〃的值；

(2)该店面根据以往的俏售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半.设购进乒乓球拍x套,

售完这批体育用品获利,，元.

①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了〃元(0<n<10),羽毛球拍的进

价不变.已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完.则如何购货才能获利最大？

【答案】(1)。的值为35,〃的值为40

(2)①)，与x的函数关系式为y=-2%+3600,x的取值范围为：100WxW150；②当0<几<2时，乒乓球

拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当2Vn<10时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进

150套能获利最大；当n=2时，无论购多少套，只要满足100150,利润都是3600.

【分析】(1)根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需

花费260元，列出方程组，解方程组即可；

(2)①根据总利润二乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过

150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；

②根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值.

【详解】⑴根据题意：»

14a+3D=260

解得心=盆，

5=40

答：〃的值为35,。的值为40；

(2)①由题意得：

y=(45-35)x+(52-40)(300-%)=-2x+3600,

•.•购进乒乓球拍的套数不超过150套，

<150,

•・•购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，

,X>1300—x),

解得：x>100,

则I的取值范围为：100<x<150,

・力与.1的函数关系式为、=一2%+3600,工的取值范围为：100工工4150；

②由题意得：y=(45-35+ri)x+(52-40)(300-x)=(n-2)x4-3600,

V0<n<10,

，当0V九V2即71-2<0时，y随x的增大而减小，

工当％=100时,y有最大值100(?i-2)+3600,

・•・乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；

当2V71V10时，即九一2>0时，y随工的增大而增大，

・••当％=150时，y有最大值150（n一2）+3600,

乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；

当九=2时，无论购多少套，只要满足100WxW150,利润都是3600.

【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解

析式和列出方程组.

【题型3行程问题】

【例3】（2023春・全国•八年级期中）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去8地，已知货车先出发10分

钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，矫车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度

的看继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货

车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；

②OA〃CD；③点。的坐标为（65,27500）：④图中。的值是言，其中正确的结论有（）个

【答案】D

【分析】先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发10分钟后轿车出发，桥车发生故障的

时间和两车相遇的时间，根据路程;速度x时间列出方程组求解兀判断①；利用待定系数法求OA与CQ解析

式可判断②，先求出点C货车的时间，用轿车修车20分钟-BC段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点

。的坐标可判断③；求出轿车速度2000x9=1800（米/分），到下。时轿车追上货车两车相遇，列方程（〃-65）

x（1800-1500）=27500,解得〃丹可判断④.

•5

【详解】解：由图象可知，当户10时，轿车开始出发；当.145时，轿车开始发生故障，则m45-5=40（分

钟），即货车出发40分钟时，轿车追上了货车，

设货车速度为X米/分，轿车故障前的速度为），米/分，根据题意，

(10%=(40—10)(y—x)

得:

1(45-40)(y-x)=2500,

x=1500

解得:

y=2000'

货车的速度为1500米/分，轿车故障前的速度是2000米/分,

故①货车的速度为1500米/分正确;

VX(10,15000)

设Q4解析式：y=+b过点0(0,0)与点A,代入坐标得

(b=0

h()k+b=15000

解得七5°00

：.OA解析式:y—1500%

点C表示货车追上轿车，从B到C表示货车追及的距离是2500,货车所用速度为1500,

追及时间为鬻分

JLOvVJ

点C昔,0)

CO段表示货车用20-合弓分钟行走的路程，

。点的横坐标为45+20=65分，纵坐标1500xm=27500米，

：.D(65,27500)

故③点D的坐标为(65,27500)正确；

设CD解析式为y=krx+bx,代入坐标得

(140,,

)飞~七+瓦=。

165kl+瓦=27500

解洱1自=150°

•••CO解析式为y=1500X-70000

VOA与CQ解析式中的A相同，

AOA/7CD,

・•.②04//C0正确;

。点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的*即此时轿车的速度为：2000x^=1800(米/

分)，

到ma时轿车追上货车两车相遇，

/.（a-65）x（1800-1500）=27500,

解得。=65管=言，

即图中。的值是等；

故④图中。的值是等正确，

正确的结论有4个.

故选择D.

【点睛】本题考杳一次函数图像与行程问题的应用，解答本题的关键是明确题意，从图像中获取信息，利用

一次函数的性质和数形结合的思想，方程思想解答.

【变式3-1］（2023春・安徽芜湖•八年级统考期末）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发,

甲从A地步行匀速前往3地，立刻以原速度沿原路返回工地.乙从。地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地

后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x1分钟）之间的函数关系如图所示，请结合

(2)图中a=,b=,c=

(3)求线段MN的函数解析式.

【答案】(1)1200；60

(2)900：800：15

(3)y=-20%+1200(15<x<20)

【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到力、B两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙

的步行速度：

（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论：

（3）设线段MN的函数解析式为y=1"+九，将点M,N的坐标代入解析式，解关于k,九的二元一次方程组

即可.

【详解】（1）解：由图象知：当％=0时，y=1200,

・・/、/?两地之间的距离是1200米，

由图象知：乙经过20分钟到达4,

，乙的速度为1200+20=60（米/分），

故答案为:1200；60：

（2）由图象知：当％=,时，y=0,

・••甲、乙二人的速度和为：1200+9=140（米/分），

由（1）知：乙的速度为60米/分，

工甲的速度为140—60=80（米/分），

•・•点M的实际意义是经过c分钟中到达B地，

：.C=12004-80=15（分钟）,

：,a=60x15=900（米），

•.•点N的实际意义是经过20分钟乙到达4地.

・•・£=900-（80-60）x5=800（米）,

故答案为：900；800；15：

（3）由题意得:M（15,900）,N（20,800）,

设线段MN的函数解析式为y=kx+n,

.（15k+n=900

Fok+n=800'

解得：『=瑞，

5=1200

・•・线段MN的函数解析式为y=-20x+1200（15<%<20）.

【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上

点的坐标的实际意义是解题的关键.

【变式3-2］（2023春•江苏盐城•八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，

在试验场地一条笔直的赛道上有儿B,。三个站点，A,8两站点之间的距离是90米（图1）.甲、乙两

个机器人分别从A,8两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走.图2是两机器

人距离。站点的距离y（米）出发时间，（分钟）之间的函数图像，其中EF-FM-MN为折线段.请结合

图像回答下列问题：

图1图2

（1）乙机器人行走的速度是米/分钟；

⑵在4工£46时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度.

①图2中m的值为.

②请求出在6WC49时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间，的值.

【答案】⑴5（）

（2）①120,②7或g

【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此不求得乙机器人行走的速度：

（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的

关系式求解即可；

②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为

分界点.

【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，

，乙机器人行走的速度为450+9=50（米/分）；

故答案为：50.

（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，

依题意得：3%=50x3+90,

解得％=80,

甲机器人行走的总路程为：450+90=540（米），

甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程:80x4=320（米）,

4<t<6^,甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：50x2=100（米），

Am=540-320-100=120,

故答案为:120.

②76分钟后甲机器人的速度乂恢复为原来出发时的速度，

・・・6分钟后甲机器人的速度是80米/分，

当t=6时，甲乙两机器人的距离为：80x4+50x（6-4）一（90+50x6）=30（米），

当甲到达终点。时，t=7.5（分），乙到达终点C时，t=9（分）

当64tW9时，y乙=-50t+450

当6工tW7.5时，y甲=-80t+600

当7.5VtW9时，y甲=0

（―50£+450）-（-80t+600）=30t-150=60,解得£=7

（一50£+450）-0=60,解得£=?

甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或?

【点睛】本题考杳了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函

数的性质和数形结合的思想解答.

【变式3-3]（2023春・河北保定•八年级保定十三中校考期末）在一条笔直的公路上依次有4c,8三地，甲，

乙两人同时出发，甲从力地骑自行车匀速去B地，途经C地时休息1分钟后继续按原速骑行至8地，甲到达8地

后，立即按原路原速返回力地；乙步行匀速从8地至对也，甲，乙两人距A地的距离y（米）与时间》（分）之

间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

⑴甲骑行速度为米/分，乙步行速度为一米/分，4B两地的距离为一米；

⑵求甲返回时距4地的距离y（米）与时间工（分）之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）；

（3）两人出发后，在甲返回A地之前，设第％分钟时，两人距C地的距离相等，请直接写出”的值.

【答案】⑴240,60,1200

（2）y=-240%+2640

（3）4或6或8

【分析】（1）根据图象可得，甲从A地到C地用了（弓一1）分钟，共1020米，即可求出甲的速度，再求出

A地到3地的路程，即可求出乙的速度；

（2）求出点M的坐标，把点M和点N的坐标带入、=kx+b即可求解；

【详解】（1）解：根据题意得：

甲的速度：1020+（弓一1）=240（米/分），

A,B两地距离：240x（ll-l）x：=1200（米），

乙的速度：12004-20=60（米/分），

故答案为:240,60,1200.

（2）设甲返回时距A地的距离y（米）与时间％（分）之间的关系式为：y=kx+b,

V/地至lj3地距离为1200米，

・••点M的纵坐标为1200,

•・•甲在C地休息了一分钟，

・•・点M的横坐标为[x（11+1）=6,

，M（6,1200）,

把点M（6,1200）,N（ll,0）带入y=匕+力得：

[1200=6k+bZB（k=-240

I0=1M+8'解传：I》=2640，

/.>■=-240%+2640.

（3）。地距离8地1200-1020=180（米）

乙到。地时间：180+60=3（分）

甲乙相遇的时间：1200+(240+60)=4(分)

①当0时，

此时乙还没到。地：1020-240%=180-60%,

解得：x=^＞3,此种情况不符合题意；

②当3Vx＜之一1时，即3cx时，

44

1020-240x=60x-180

解得：x=4时；

③当之＜工＜6时，甲在仄C之间，乙在A、C之间，

4

.*.240(%-1)-1020=60%-18。，

解得：x=6时：

此种情况不符合题意；

④当％=6时，甲到8地，距离C地180米，

乙距C地的距离：6x60-180=180(米)，

即x=6时两人距。地的路程相等，

⑤当%＞6时，甲在返回途中，

当甲在8、C之间时,180-[240(x-1)-1200]=60x-180,

解得：x=6,

此种情况不符合题意，

当甲在A、C之间时，240(%-1)-1200-180=60%-180,

解得：x=8,

综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距。地的路程相等.

【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，一次函数与二元一次方程组的关系的运用，行程

问题的数量关系的运用，注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用.

【题型4工程问题】

【例4】(2023春•重庆九龙坡•八年级重庆实验外国语学校校考期中)某地计划修建一条长36千米的乡村公

路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的1.5倍，乙工程队单独完成本次修路任务匕甲工程队单

独完成多20天.

⑴求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？

(2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米.甲工程队先单独修路若干天

后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成.若要使修路总时间不超过55天，总费用不

超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？

【答案】(1)甲工程队每天修路0.9千米，乙工程队每天修路0.6千米

⑵共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱.

【分析】(1)设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路1.5X千米，根据乙工程队单独完成本次修路

任务比甲工程队单独完成多20天，列出方程，进行求解即可；

(2)设甲工程队修路Q天，根据修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，列出不等式组，求出Q的

取值范围，确定方案，设花费的总费用为w，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，即可得出结论.

【详解】⑴解：设乙工程队每天修路工千米，则甲工程队每天修路1.5%千米，

由题意，得：--20=^-,

xl.Sx

解得：x=0.6,

经检验¥=0.6,是原方程的解，

1.5x=0.9；

答：甲工程队每天修路0.9千米，乙工程队每天修路0.6千米;

(2)解：设甲工程队修路Q天，由题意，得：

36-09a--

Q+Az-55AZJ40q,200

0.6，解得：IOWQWF

(25x0.9a+20x(36-0.9a)<8209

・・・a为整数，

可以取：10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22；

，共有13种方案；

设共需花费w万元，由题意，得：

w=Z5X0.9a+20X(36—0.9a)=4.5a十720,

V4.5>0,w随着a的增大而增大,

，当Q=10时，W的值最小，

即：甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱.

答：共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱.

【点晴】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用.解题的关键

是找准等量关系，正确的列出方程，不等式组.

【变式4-1］（2023春・重庆•八年级重庆八中校考期中）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合

作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成.

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？

（2）现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了m天，每天需付施工费3万元，乙工程队

做另一部分工程川了ri天，每天需付施工费1.4万元，若m,n都是正整数，乙工程队做的时间不到17天，求

出此项工程总施工费用的最小值.

【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天

（2）此项工程总施工费用的最小值为434万元

【分析】⑴设甲工程队单独完成此项工程需费天，则甲工程队的工作效率冷乙工程队的工作效率为

（卷一0,依题意可列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；

⑵依题意，+=得出血=15-条设此项工程总施工费用为y,依题意可函数关系，根据一

次函数的性质，求得最小值即可求解.

【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要工天，则甲工程队的工作效率为L乙工程队的工作效

X

率为（卷一:），依题意得，

?+（?!）X20=1,

解得：x=15,

经检验，％=15是原方程的解，且符合题意，

，乙工程队需要一・诘一曰=1+（卷一•=3。（天），

答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天.

（2）解：依题意,2m+泉九=1,

.*.2m+n=30,

即m=15—p

设此项工程总施工费用为y,

则;y=?nx34-nxl.4=3m+1.4n

=3（15-0.5n）+1.4n

=45-O.ln,

V-O.l<0,y随71的增大而减小，

又nvl7,当九=16时，y取得最小值，

y=45-0.1x16=45-1.6=43.4（万元），

•••此项工程总施工费用的最小值为43.4万元.

【点睛】本题考查了分式方程应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系是解题的关键.

【变式4-2］（2023春・河南新乡•八年级校考期中）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为144。米的管

道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一任务，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队

铺设480米所用的天数与乙工程队铺设360米所用的天数相同.

（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？

（2）如果要求完成该工程的工期不超过12天，工程分配给甲工程队m米，写出m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，施工时，每天需要支付甲工程队1520元，每天需要支付乙工程队1200元，完成这

项工程的总支出为y元，写出y关于m的函数解析式，并利用函数的性质，说明如何设计施工方案所支付

的总费用最少？

【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设80米和6（）米；⑵720WmS1440；（3）y=-m+28800；工

程全部分配给甲工程队支出的总费用最少.

【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x-20）米，根据甲工程队铺设480米

所用的天数与乙工程队铺设360米所用的天数相同，列方程求解；

（2）设分配给甲工程队m米，则分配给乙工程队（1440-m）米，根据总工期不超过12天，列不等式，解

不等式即可；

（3）设完成这项工程的总支出为y元，根据题意得到y=#1520+V誓xl200=-m+28800,根据一次函

8060

数的性质即可求得.

【详解】解：（1）设甲工程队每天能铺设X米，则乙工程队每天能铺设（X-20）米.

根据题意得竺费，

xx-20

解得：x=80,

经检验：x=80是原分式方程的解，且符合题意，

则x-20=60,

答：甲、乙工程队每天分别能铺设80米和60米：

（2）设分配给甲工程队m米，则分配给乙工程队（1440-m）米，

由题意，得/嗤与⑵

解得：吟720,

Vm<1440,

/.72U<m<l440；

（3）设完成这项工程的总支出为y元，

y=—x1520+144（）-?nx120（）=19m-28800-20m=-m+28800,

J8060

V-l<0,

・・・y随m的增大而减小，

V720<m<1440,

・・・m=1440时，y的值最小，支出的总费用最少，

，工程全部分配给甲工程队支出的总费用最少.

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解答本题的关键是读懂

题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.

【变式4-3］（2023春•四川成都・八年级统考期末）某市计划修建一条长60千米的地铁，根据甲，乙两个地

铁修建公司标书数据发现：甲，乙两公司每天修建地铁长度之比为3：5：甲公司单独完成此项工程比乙公

司单独完成此项工程要多用240天.

（1）求甲，乙两个公司每天分别修建地铁多少千米？

（2）该市规定：“该工程由甲，乙两个公司轮流施工完成，工期不超过450天，且甲公司工作天数不少于乙

公司工作天数的表.设甲公司工作。天，乙公司工作〃天.

6

①请求出〃与a的函数关系式及a的取值范围；

②设完成此项工程的工期为W天，请求出W的最小值.

【答案】（1）甲公司每天修建地铁白千米，乙公司每天修建地铁;千米;（2）①b=+360（200<a<225）；

1065

②W最小值为440天

【分析】（1）甲公司每天修33千米，乙公司每天修5%千米，根据题意列分式方程解答即可：

（2）①由题意得白a+；b=60,再根据题意列不等式组即可求;Ila的取值范围；

106

②写出W