八年级数学培优资料(第1部分)

第01讲全等三角形的性质与判定

考点-方法•破译

1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；

2.全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，芯应角相等；②全等三角形对应高、

角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3.全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对f-两个直角三角形全等的判定方法,

除上述方法外，还有法；

4.证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具

体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明

哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；

5..证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并

不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、

旋转、等倍延长线中线、截取等等.

经典-考题-赏析

【例1】如图，AB//EF//DC,ZABC=90°tAB=CD,那么图中有全等二角形()

45对4.4末C.3对Q.2对八

【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一卜、£/

对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出

第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.

解：3：AB〃EF〃DC,4ABCK0.1/DCBKO.

DRJk~~C

在和AOCB中

AB=DC

</ABC=ZDCB△48cgADCB(SAS)：.N4=NO

BC=CB

(2)在△4BE和△OCE中

ZJ=Z.D

<ZAED=/DECJAABE/：.4DCE/.BE=CE

AB=DC

(3)在RtAEFB和RtAEFC中

\BE=CE

[EF=EF

:.RtAEFB妾RtAEFC(HL)故选C

【变式题组】

01.(天津)下列判断中错误的是()

A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D.有一边对应相等的两个等边三角形全等

02.（丽水）已知命题：如图，点力、。、B、石在同一条直线上，口4D=BE,NA=NFDE,

则△ABCgaQEE判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；

如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明V

03.（上海）已知线段力。与8。相交于点O,连接力8、DC,E为08的中点，b为OC的中

点，连接E尸（如图所示）.

⑴添加条件N4=NQ,N（）EF=NOFE,求证：AB=DC；

⑵分别将“//=//）”记为①，"/OE/=NOFE”记为②，'Z8=OC”记为③，添加

①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①

为结论构成命题2.命题1是命题，命题2是A八、

命题（选择“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AE=DF,CF=FB.求证：AF=DE.

【解法指导】想证首先要找出〃'和QE所在的三角形./E在△/!必和△力斯

中，而OE在和△班尸中，因而只需证明或△力E/24QFE即可.然

后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.

证明：*：FB=CE:・FB+EF=CE+EF,BPBE=CFr

AB=DC

在△/BE和△OC/7中，＜AE=DF

BE=CF

:.AABE@ADCF(SSS):.NB=ZC

AB=DC

在△力用厂和八。。/?中，＜/8=/C：./\ABF^^DCE：.AF=DE

BF=CE

【变式题组】

01.如图，AD、是锐角△49C的高，相交于点。，若BO=AC,BC=7,CD=2,则NO

的长为（）

A.2£3C.4D.5

02.如图，在△4?。中，AB=AC,N84C=90。，.4笈是过/点的一条直线，.4E_LCE于E,

BD±4E于D,DE=4cm,CE=2cm,则40=.

\

03.（北京）已知：如图，在△力8c中，ZJC5=90°,CD-L4B于点D,点、E在4c上,CE

=BC,过点E作4c的垂线，交CO的延长线于点F.求证：AB=FC.

【例3】如图①，SABC迫ADEF、将。和△DE77的顶点8和顶点E重合，把4

DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O

⑴当△。£77旋转至如图②位置，点8（石）、C、。在同一直线上时，NAFD与/DC4

的数量关系是；

（2）当△。访继续旋转至如图③位置时，（D中的结论成立吗？请说明理由.

图①

【解法指导】(1)NAFD=NDC4

(2)ZAFD=^DCA理由如下：由△AB8ADEF,：,AB=DE,BC=EF,^ABC=ZDEF,

ZBAC=AEDF/.ZABC-ZFBC=/DEF—/CBF,：•NABF=/DEC

AB=DE

在^和△QEC中，＜ZABF=ZDEC

BF=EC

:.AABaADEC/BAF=NDEC:・NBAC-NB4F=NEDF-/EDC,AZFAC=

/CDF•・•^AOD=NHC+/AFD=/CDF+NDCA

・•・ZAFD=ZDCA

【变式题组】

01.（绍兴）如图，。、E分别为△48。的/C、8c边的中点，将此三角形沿OE折叠，使

点C落在N8边上的点夕处.若NCOE=48。，则N/IPO等于（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

02.如图，&ZX/IBC沿直角边4C所在的直线向右平移得到△/）££下列结论中错误的是（）

A.△ABgdDEFB.N。所=90°

C.AC=DFD.EC=CF

C

第2题图

03.•张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下

图形式，使点8、F、C、。在同一条直线上.

⑴求证：AB.LED；

⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

【例4】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△/BC的边力C和力8

边上的高，点。在8。的延长线，BP=AC,点。在CE上,CQ=AB.求证：⑴/尸=4。；

（2）APLAQ

【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或用所在的两三角形全等.经观察，证

AP=AQ,也就是证△/尸。和△/QE,或△彳尸4和△QIC全等，由已知条件BP=AC,CQ=

AB,应该证△力P8也△，（7，已具备两组边对应相等，于是再证夹角/1=/2即可.证力P

±AQ,即证NRiQ=90。，NR1Q+NQ1C=9O。就可以.

证明：（1）・・・8。、CE分别是△刖C的两边上的高，P

：・NBDA=NCEA=90。,D

・・・/1+/8力。=90。，N2+N84Q=90。，AZ1=Z2.

AB=QCBQ

在4/1PB和△Q/C中，＜N1=N2I.AAPB且△QAC,

BP=CA

：,AP=AQC

(2)VAJ™^A£?Z4C,:.NP=/CAQ,.*.ZP+Z/MD=9()0

•・・NO0+N%O=9O。，：.APLAQ

【变式题组】

01.如图，已知/8=4E,/B=/E,B4=ED,点、F是CD的中点,

02.（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂

直距离M4为“〃?，比时梯子的倾斜角为75。，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙

上，此时梯子顶端距地面的垂直距离N8为加?，梯子倾斜角为45。，这间房子的宽度是

()

第3题图

03.如图，已知五边形ZBCQE中,ZABC=ZAED=^0°,AB=CD=AE=BC~\~DE=2,

则五边形ABCDE的面积为

演练巩固-反馈提高

01.（海南）已知图中的两个三角形全等，则Na度数是（）

02.如图，△4C8名ZBC*=30°,则NZC/的度数是（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

03.（牡丹江）尺规作图作N/1O8的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交

OA.OB于C、D,再分别以点C、。为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于

2

点尸，作射线OP，由作法得△。。。/△。。。的根据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

04.（江西）如图，已知AB=AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定448。丝

的是（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDAC

C.ZBCA=ZDCADN8=NQ=90°

B

第4题图

05.有两块不同大小的等腰直角三角板△力8c和△4QE将它们的一个锐角顶点放在一起，

将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当小8、。不在一条直线上时，下面的结论

不正确的是（）

A.^ABE^£\CBDB.NABE=/CBD

C./ABC=/EBD=45°D.AC//BE

06.如图，△力8。和共顶点4AB=AE,Z1=Z2,NB=NE.BC交AD于M,DE交AC

于N,小华说：“一定有△力8cg△力ED”小明说：“△ABM/AAENJ那么（）

4小华、小明都对&小华、小明都不对

C.小华对、小明不对。.小华不对、小明对

07.如图，已知4C=EC,8C=CQ,/出=£Q,如果/8。=119°,//CQ=98°,那么NEC4

的度数是.

08.如图，^ABC^/\ADE,8c延长线交QE于F,N8=25°,N/C8=105°,ZDAC=

10°,则NO85的度数为.

09.如图，在四△月8c1中，NC=90o,OEJ_/16于。,6C=5ZZ4C=3,那么

1（）.如图，BALAC,CD//AB.BC=DE,JiBCLDE,若AB=2,CD=6,PWAE=.

11.如图，AB=CD,AB//CD.BC=\2cm,同时有P、0两只蚂蚁从点。出发，沿。8方向

爬行,P的速度是0.lc〃1/s,Q的速度是0.2c”而.求爬行时间i为多少时，

A\-------7B

Q

D

12.如图，△力8c中，ZBCA=90°,AC=BC,4E是AC边上的中线，过C作C/7,力凡

垂足为F，过8作80_L8C交C/的延长线于O.

⑴求证：AE=CD；

（2）若/fC=12a〃，求3。的长.

13.（吉林）如图，AB=AC,4OJL8C于点。，4D等于4E,平分/D4E交DE于点F,

请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.

14.如图，将等腰直角三角板48C的直角顶点。放在直线/上，从另两个顶点力、8分别

作/的垂线，垂足分别为。、E.

⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；

（2）若£>£=。，求梯形D43"的面积.（温馨提示：补形法）

15.如图，ACA.BC,4D上BD,AD=BC,CEA.AB,

垂足分别是£、R求证：CE=DF.

16.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么

情况下，它们会全等？

⑴阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；

已知△48C、△4BiG均为锐角三角形，/出=/1归1，8c=4[G，NC=NG.求证：AABC

且△小BCi.（请你将下列证明过程补充完整）

⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.

培优升级・奥赛检测

01.如图，在△力8c中，AB=AC,E、夕分别是/出、4c上的点，RAE=AF,BF、相

交于点0,连接4。并延长交8c于点。，则图中全等三角形有（）

44对£5对C.6对7对

02.如图，在△月8。中，，48=力。，OC=OD,下列结论中：①NA=NB②DE=CE,③连

接则。£平分乙4。8,正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

03.如图，力在OE上，F在48上，且4C=CE,Z1=Z2=Z3,则的长等于（）

A.DCB.BCC.ABD.AE+AC

04.下面有四个命题，其中真命题足（）

A.两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等

工两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C,有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

。.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

05.在8c中，高力。和8E所在直线相交于〃点，且则N48C=_______.

06.如图，£3交4C于点必交FC于点、D,AB交FC于点N,/七=/尸=9（）。，NB=/

C,AE=AF.给出下列结论：①N1=N2；@BE=CF\③@CD=DB,

其中正确的结论有.（填序号）

07.如图，力。为在△力8c的高，E为力C上一点，BE交力。于点尸，且有8尸=月（7,FD=

CD.

⑴求证：BE1AC；

⑵若把条件"BF=AC”和结论"BEUC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.

08.如图，。为在△48C的边8C上一点，且。/BDA=NBAD,4E是ZL4BD的

中线.求证：AC=2AE.

A

BEDC

09.如图，在凸四边形力BC。中，E为△力。。内一点，满足力C=4。,AB=AE,NB4E+

ZBCE=90°,/切C=NE4D求证：ZCfZ）=90o.

10.（沈阳）将两个全等的直角三角形/4C和QBE按图①方式摆放，其中N4C3=NQEB

=90°,//=/。=30。，点E落在48上，QE所在直线交力C所在直线于点E

⑴求证：AF^EF=DE;

⑵若将图①中△D5E绕点〃顺时针方向旋转角a,且0°<a<60°,其他条件不变,

请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；

⑶若将图①中△。即绕点B按顺时针方向旋转角｝且60。V夕<180°,其他条件不

变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出

此时力歹、£7"与。石之间的关系，

11.（蝶州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

在△力4。中，［8=5,JC=13,求8c边上的中线力。的取值范彳

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长

力。到E,使得。七=力。，再连接把力仄4C、2力。集中在B一"L——

&4BE中，利用三角形的三边关系可得2V4EV8,则\<ADD

<4.

p

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可

以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三

角形中.

⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△/13C中，D是BC边

上的中点，DELDF,DE交4B于点E,DF交AC于点F,连接

求证：BE+CF>EF；

E

BD

（3）问题拓展：如图，在四边形48OC中，N〃+/C=I8O。，DB=DC.N3OG120。,

以。为顶点作一个60。角，角的两边分别交力8、4C于E、F两点,连接EE,探索线

段BE、CF、E尸之间的数量关系，并加以证明.力

12.（北京）如图，已知△.48C

（1）请你在4C边上分别取两点。、E（4C的中点除外），连接力。、AE,写出使此

图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形;

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AOAD+AE.

13.如图，AB=AD,AC=AE,/ZMZ)=/白"=180。.Z〃J_Z〃于〃，〃/i的延长线交。£

于G.求证：GD=GE.

14.已知，四边形月8C。中，/18J_/lQ,8C_LCO,8<=8C,ZJ^C=120°,NV8N=60。，/MBN

绕4点旋转，它的两边分别交力。、0c（或它们的延长线）于七、F.

当NM8N绕8点旋转到川时，如图1,易证：AE+CF=EF；（不需证明）

当NA/8N绕4点旋转到4EKW时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是

否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段/E、CF、样又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想,不需证明.

第02讲角平分线的性质与判定

考点-方法•破译

i.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2.角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典■考题-赏析

［例1］如图，已知OD平分N4O8,在OA、边上截取OA=OB.PM上BD,PN

_L/Q.求证：PM=PN

【解法指导】由于PN_L4D欲证PM=PN只需N3=N4,证N3=N4,只

需N3和N4所在的△080与AOAD全等即可.

证明：OD平分NX。"AZ1=N2nZ^L——D

OB=OA

在△08。与AOI。中，=/.△OBDW4OAD(片O---6二

0D=0D

AZ3=Z4'：PMLBD,PN1AD所以PM=PN

【变式题组】

01.如图，CP、8P分别平分△48C的外角N8CM、NC8N.求证：点尸在N84。的平分线

上.

A左BN

02.如图，BD平分N/8C,AB=B(，点尸是BD延长线上的一点，PMLAD,PN1CD.

求证：PM=PN

BC

【例2】（天津竞赛题）如图，已知四边形力8。£）中，4c平分NB4D,于点E,

且力£=1（48+月。），如果NQ=120°,求N8的度数

2

【解法指导】由已知/1=N2,CE.LAB,联想到可作。凡1_/。于凡得CE=CF,AF

=/1E,又由（48+力。）得。/=E8,于是可证△（'尸。0ZXCE4,则N8=NC。尸=60°.

2

或者在AE上截取AM=AD从而构造全等三角形.

解：过点。作b_L4。于点E・・NC平分N84O,CELAB,

：.CE=CF

CF=CE

在即△CE4和中，＜：,Rt/\ACF^Rt/^ACE：.AF=AE

AC=AC

又・・7E=1(AE+BE+4F—DF),2AE=AE+4F+BE—DF,

2

VCF1/4D,CELAB,；・NF=NCEB=90°

CE=CF

在△CE8和△C/7)中，«ZF=ZCEB,•••△CE8安△CFO

DF=BE

:"B=/CDF又・・・/4OC=12()°,AZCDF=60°,即NB=6()°.

【变式题组】

01.如图，在△48。中，CD平分NACB,JC=5,3C=3.求

S&CBD

02.（河北竞赛）在四边形46CO中，已知46=4,且6c=OC,对角线4C平分/

BAD,问。与/）的大小符合什么条件时，有N4+ND=180°,请画图并证明你的结论.

【例3】如图，在△刀?C中，ZBAC=90°,AB=AC.BE平分N4BC,CE_L4E.求证:

CE=-BD

2

【解法指导】由于8E平分N48C,因而可以考虑过点。作8c的垂线或延长"从而

构造全等三角形.

证明：延长"交的延长线于凡VZi=Z2,BE=BE,NBEF=/BEC

:.△BEF0ABEC(ASA)

：.CE=EFf：.CE=-CFVZ1+ZF=Z3+ZF=90°,

2

r.zi=Z3

Z1=Z3

在△力和△力尸中，,:・/\AB哈AACF

BOCAB=AC

/BAD=NCAF

：,BD=CF：.CE=-BD

2

【变式题组】

01.如图，已知力C〃8O,EA、E8分别平分NC48、/DBA,CO过点E,求证：AB=AC

+4D

02.如图，在△力8c中，ZB=60°,AD.CE分别是NA4C、N8C4的平分线，AD.CE

相交于点F.

⑴请你判断此和FO之间的数量关系，并说明理由;

（2）求证：AE+CD=AC.

演练巩固・反馈提高

01.如图，在用△/出。中，ZC=90°,BD平分NABC交AC于D,若CD=n,AB=m,

则△力8。的面积是（）

A.—mnB.—mnC.mnD.2mn

32

02.如图，已知力8=4C,BE=CE,下面四个结论：®BP=CPx®AD±BC；③4E平分N

BAC；④NP8C=NPC8.其中正确的结论个数有（）个

A.1B.2C.3D.4

03.如图，在^力^。中，P、0分别是AC、/1C上的点，作PSA.AC,垂足分别是

R、S若AQ=PQ,PR=PS,下列结论：®AS=AR；®PQ//AR-,③其

中正确的是（）

A.①③B.®®C.®®D.®®®

04.如图，△44C中，AB=AC,力。平分N44C,DEU8,垂足分别是瓜卜,

则下列四个结论中：①力。上任意一点到8、C的距离相等；②力。上任意一点到.48、

/C的距离相等；③力。_L4C且8。=。。；④N8QE=NC'QQ其中正确的是（）

A.②@B.②④C.®®®D.®®®®

05.如图，在氐△48C中，ZJC5=90°,NC45=30",N4C3的平分线与/川先?的外

角平分线交于七点，则N/E8的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

06.如图，尸是△/BC内一点，PDL/iB于D,PELBC于E,PFLACF,且PD=PE=

PF,给出下列结论：®AD=AF；②4B+EC=AC+BE；®BC-\-CF=AB^AFx④点P

是△力4c三条角平分线的交点.其中正确的序号是•）

A.①②（爽）B.①②③C.①®④D.®@@

07.如图，点尸是△44C两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）

4点P到△48C三边的距离相等8.点尸在N48C的平分线上

C.N尸与N8的关系是：ZP+-Z^=90°D.NP与N8的关系是：NB='NP

08.如图，BD平分N/1BC,CD平分NICE,BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D

至1J力夙4C的距离相等；②NBAC=2ZBDC；®DA=DC,④。4平分N4力。.其中正

确的个数是（）

41个8.2个C3个O.4个

09.如图，△力8C中,NC=90°/。是△/日?的角平分线，DEA.ABTE,下列结论中：

①力。平分NCOE；②NBAC=NBDE；③DE平分NADB；④/也=力。+8£其中正确

的个数有（）

43个8.2个C.1个Q.4个

10.如图，已知E。是。的内角平分线，CQ是N4CA的外角平分线，由。出发，作点

。到8。、4c和4?的垂线QW、0N和0K,垂足分别为〃、N、K,则QM、QN、QK

的关系是_____

11.如图，4。是N84。的平分线，DE1AB于E,DF1AC于F,且。8=OC求证：BE=

CF

12.如图，在△IB。中，力。是N8力。的平分线，DE上4B于点E,。产_L4C于点F.求证:

ADLEF.

BDC

培优升级・奥赛检测

01.如图，直线/1、机/3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条

公路的距离相等，则可选择的地址有()

A.一处B.二处C.三处D.四处

02.已知处△力4C中，ZC=90°,4D平分NB4c交EC于。,若AC=32,且BD:CD=

9:7,则。到力8边的距离为()

A.18B.16C.14D.12

03.如图，△.48。中，NC=90°,.4。是。的平分线，有一个动点尸从/向8运动.

已知：DC=3cm,DB=4cm,力。=80〃.QP的长为工(c〃?)，那么x的范围是

04.如图，已知4B〃CD，PELAB,PFVBD,PGLCD,垂足分别为E、F、G,且P/=

PG=PE,则N8PO=

05.如图，已如O为/CAB、的平分线的交点，OE±AC,H.O£=2,则

两平行线4LC。间的距离等于______

06.如图，/。平分NA4C,EF1AD,垂足为P,E产的延长线于AC的延长线相交于点G.

求证：NG=；(N4CB-NB)

07.如图，在△49C中,AB>AC,AD是NBAC的平分线,P为AC上任意一点.求证

>DB-DC

08.如图，在△力^。中，/8力。=6()°,乙4c8=40°,P、0分别在8C、AC±,并且/P、

80分别为N84C、N/8C的角平分线上.求证：BQ+AQ=AB+BP

B

第3讲轴对称及轴对称变换

考点-方法•破译

1.轴对称及其性质

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形

关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.

轴对称的两个图形有如下性质：①关「某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任

何一对对应点所连线段的垂直平分线：③两个图形关于莫条直线对称，如果它们的对应线段

或延长线相交，那么交点在对称轴上.

2.线段垂直平分线

线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系一一垂直；

②数量关系一一平分.

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小

值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.

经典-考题-赏析

【例1】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸

片展开后是（）

OOO

OOOOOOOOO

OOOOOO

OOOOOOOOO

B

【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D

【变式题组】

01.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺”得到的图形是（）

02.（荆州）如图，将矩形纸片力8。。沿虚线Eb折叠，使点/落在点G上，点。落在点〃

上；然后再沿虚线折叠，使8落在点E上，点C落在点尸上，叠完后，剪一个直

径在8c上的半I员I,再展开，则展开后的图形为（）

E(B)G(A)

【例2】（襄樊）如瓯在边长为1的正方形网格中，将△48。向右平移两个单位长度

得到△力'夕C,则与点夕关于x轴对称的点的坐标是（）

A.（0,-1）B.（1,1）C.（2,-1）D.（1,

-1）

【解法指导】在△48。中，点B的坐标为（-1,1）,将4

ABC向右平移两个单位长度得到'8由点的坐标平移规律

可得夕（-1+2,1）,即夕（1,1）.由关于x轴对称的点的

坐标的规律可得点"关于x釉对称的点的坐标是（1，1）,故

应选D.

【变式题组】

01.若点P（-2,3）与点。（〃，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）

A.-2,3B.2,3C.-2,一3D.2,一3

02.在直角坐标系中，已知点P（—3,2）,点0是点尸关于x轴的对称点，将点。向右平

移4个单位得到点R,则点H的坐标是.

03.（荆州）已知点P（a+1,2〃-1）关于x轴的对称点在第一象

限，则。的取值范围为.

【例3】如图，将一个直角三角形纸片（乙4cs=90°）,

沿线段CQ折叠，使点4落在8处，若//C8=70°,则N4CO

=（）

A.30°B.20°C.15°D.10°

【解法指导】由折叠知NACO=N8CD设N/CO=x,则N8C'Q=N8C'Q=/4。冏+

NACD=70。+x.又/ACD+/BCD=NACB,即x+（70°+x）=90°,故x=10°.故

选。.

【变式题组】

01.（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点。'、C的位置.

若NEF8=65°,则乙4瓦）’等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

02.如图，△/8C中，乙4=30°,以8E为边，将此三角形对折，其次，乂以比1为边，

再一次对折，C点落在8E上，此时NCQ8=82°,则原三角形中N8=__________.

03.（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片.49。CAB>AC）沿过点.4的直线折叠，使

得力。落在边上，折痕为/展平纸片（如图①）；再次折登该三角形纸片，使点

力和点。重合，折痕为E凡展平纸片后得到（如图②）.小明认为△/!£1£是等腰

三角形，你同意吗？请说明理由.

⑵实践与运用：

将矩形纸片/4CQ沿过点4的直线折叠，使点力落在4C边上的点/处，折痕为BE

（如图③）；再沿过点£的直线折叠，使点。落在〃石上的点处，折痕为EG（如

图④）；再展平纸片［如图⑤）.求图⑤中的大小.

【例4】如图，在。中，力。为/84C的平分线，防是4。的垂直平分线，E为垂

足，EF交的延长线于点尸，求证：NB=NCAF.

【解法指导】:川是的中垂线，则可得△力所

且△£）£：£・・・NE力b=NEQP.从而利用角平分线的定

义与三角形的外角转化即可.

证明：•「以7是的中垂线，：.AE=DE,ZAEF

=/DEF,EF=EF,:.△AEF^XDEF,AZ2+Z4

=Z3,・・・N3=/8+/l,・・・N2+N4=N8+/1,;

Z1=Z2,；.NB=N4

【变式题组】

01.如图，点。在△48C的灰?边上，且4。=5。+力£）,则点D在的垂直平分

线上.

02.如图，△ABC中，N/18C=90°,ZC=15°,DEVACE,且4E=EC,若48=3。〃，

则DC=______cm.

03.如图，ZX/IBC中，/8力。=126°,DE、/G分别为48、4c的垂直平分线，则N£4G

04.中，AB=AC,边的垂直平分线交力。于F,若/«=12cm,ABC/的周长为

20cm,则4力B。的底长是___________cm.

【例5】（眉山）如图，在3X3的正方形格点图中，有格点△力8c和4QE/，且△z/BC

和△。加•关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△/）跖.

【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称铀时，通常

找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴.若以图案居中的水平直线为

对称轴，所作的△/）£/如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的AOE产

【变式题组】

01.（泰州）如图，在2X2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△44C,请你找

出格点图中所有与△力8c成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有

个.

02.（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑,

且满足下列条件：

A

⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

⑵涂黑部分成轴对称图形.

如图乙是一种涂法，请在图1—3中分别设计另外三种涂法.（在

所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不问涂法，

【例6】如图，牧童在4处放牛，其家在8处，若牧童从力处出发牵牛到河岸。处饮

水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？

【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点使其AM

+8M为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答.

解:先作点/关于直线。力的对称点，，连接B交CD于

点则点M为所求，下面证明此时的4M+8M最小.

证明：在。。上任取与M不重合的点M',

•・"/'关于CO对称，・・・CO为线段A4'的中垂线，

：.AM=AfM,=力'AT,在△力'4中，有力'BV

A'M'+8",

••・力'A/+ZM/V4'M'+8A/',+BM'，

Af

即力M+3M最小.

【变式题组】

01.（山西）设直线/是一条河，夕、。两地相距8千米，A。两地到/地距离分别为2千

米、5千米，欲在/上的某点M处修建一个水泵站向P、。两地供水.现在如下四种铺

设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）

02.若点力、B是锐角NMON内两点，请在OM、ON上确定点、C、点。，使四边形力8CQ

周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点.

演练巩固・反馈提高

01.（黄冈）如图，△月8。与B'C关于直线/对称，且N/=78°,NC'=48°,

则的度数是（）.

A.48°B.54°C.74°D.78°

第1题图第礴图

02.（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为月8,再以48的中点。为顶点把平角N

力。？三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以。为顶点的等腰三

角形，那么剪出的等接三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）

A.正三角形B.正方形C