山东省专用2024-2025学年高中物理第五章曲线运动第5节向心加速度讲义含解析新人教版必修2

PAGE1-第5节向心加速度1．圆周运动是变速运动，故圆周运动肯定有加速度，1．圆周运动是变速运动，故圆周运动肯定有加速度，任何做匀速圆周运动的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。2．向心加速度的大小为an＝eq\f(v2,r)＝rω2，向心加速度方向始终沿半径指向圆心，与线速度垂直。3．向心加速度是由物体受到指向圆心的力产生的，反映了速度方向变更的快慢。一、感受圆周运动的向心加速度1．圆周运动必有加速度圆周运动是变速运动，变速运动必有加速度。2．匀速圆周运动的加速度方向实例地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动受力分析地球受太阳的引力，方向指向太阳中心，即为地球轨迹的圆心小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向圆心加速度分析由牛顿其次定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向圆心二、向心加速度1．定义做匀速圆周运动的物体具有的指向圆心的加速度。2．大小(1)an＝eq\f(v2,r)；(2)an＝ω2r。3．方向沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。1．自主思索——判一判(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。(×)(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(×)(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变。(√)(4)依据a＝eq\f(v2,r)知加速度a与半径r成反比。(×)(5)依据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比。(×)2．合作探究——议一议如图5­5­1所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，请思索：图5­5­1(1)小球的向心加速度是恒定的吗？其方向肯定指向圆心吗？提示：小球的向心加速度方向时刻指向圆心，方向时刻变更，因此，小球的向心加速度不是恒定的。(2)若手握绳子的位置不变，增加小球的转速，则它的向心加速度大小如何变更？提示：依据a＝ω2r可知，当半径不变时，角速度变大时，加速度a也变大。对向心加速度的理解1．物理意义描述线速度变更的快慢，只表示线速度的方向变更的快慢，不表示其大小变更的快慢。2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻变更。3．圆周运动的性质不论加速度an的大小是否变更，an的方向是时刻变更的，所以圆周运动肯定是变加速曲线运动。4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个重量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变更的快慢，切向加速度表示速度大小变更的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是()A．与线速度方向始终相同B．与线速度方向始终相反C．始终指向圆心D．始终保持不变解析：选C做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变更，所以C正确。2．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是()A．它描述的是线速度大小变更的快慢B．它描述的是线速度方向变更的快慢C．它描述的是物体运动的路程变更的快慢D．它描述的是角速度变更的快慢解析：选B向心加速度始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度的方向变更的快慢，不表示线速度的大小变更的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度是描述物体运动路程变更快慢的物理量，C错误。3．[多选]关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是()A．向心加速度是描述线速度方向变更快慢的物理量B．向心加速度只变更线速度的方向，不变更线速度的大小C．向心加速度恒定D．向心加速度的方向时刻发生变更解析：选ABD向心加速度只变更线速度的方向，所以向心加速度是描述线速度方向变更快慢的物理量，故A正确；向心加速度的方向与速度的方向始终垂直，所以向心加速度只变更线速度的方向，不变更线速度的大小，故B正确；向心加速度大小a＝eq\f(v2,r)，由于v的大小不变，故向心加速度的大小不变，但向心加速度的方向始终指向圆心，所以向心加速度方向时刻变更，故C错误，D正确。对向心加速度公式的理解和应用1．公式an＝eq\f(v2,r)该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度肯定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当半径肯定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。2．公式an＝ω2r该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度肯定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径肯定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。3．公式拓展在以上两个公式的基础上，结合描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系，可得到以下公式：an＝ωv＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r。4．向心加速度与半径的关系依据上面的探讨，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度肯定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)肯定，an与r成正比。如图所示。[典例]如图，自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RA＝2RB、RC＝5RB，正常骑行自行车时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于()A．1∶1∶6 B．3∶1∶6C．1∶2∶10 D．1∶3∶6[解析]A、B线速度大小相等，RA∶RB＝2∶1，依据a＝eq\f(v2,R)知，aA∶aB＝1∶2。B、C角速度大小相等，RB∶RC＝1∶5，依据a＝Rω2知，aB∶aC＝1∶5。所以aA∶aB∶aC＝1∶2∶10，故C正确，A、B、D错误。[答案]C向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变更关系，必需在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。1．如图为我国放射的绕月探测卫星“嫦娥二号”，它在距月球表面200km高的近月圆形轨道上以127min的周期运行，在绕月运行的过程中“嫦娥二号”卫星的向心加速度为(月球的半径为1738km)()A．1.3m/s2 B．2.2m/s2C．3.8m/s2 D．4.2m/s2解析：选A卫星的轨道半径为：r＝200km＋1738km＝1938km，则向心加速度为：a＝eq\f(4π2r,T2)＝1.938×106×eq\f(4×3.142,127×602)m/s2≈1.3m/s2，故A正确，B、C、D错误。2.如图所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置。P是轮盘的一个齿，Q是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是()A．P、Q两点角速度大小相等B．P、Q两点向心加速度大小相等C．P点向心加速度小于Q点向心加速度D．P点向心加速度大于Q点向心加速度解析：选CP、Q两点是传送带传动的两轮子边缘上两点，则vP＝vQ，而rP＞rQ，v＝rω，所以P、Q两点角速度大小不相等，故A错误；依据a＝eq\f(v2,r)及vP＝vQ，而rP＞rQ，可知P点向心加速度小于Q点向心加速度，故C正确，B、D错误。1．下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是()A．匀速运动B．匀加速运动C．加速度不变的曲线运动D．变加速曲线运动解析：选D匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错，D对。2．下列关于质点做匀速圆周运动的说法中，正确的是()A．由a＝eq\f(v2,r)知a与r成反比B．由a＝ω2r知a与r成正比C．由ω＝eq\f(v,r)知ω与r成反比D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比解析：选D由a＝eq\f(v2,r)知，只有当v肯定时a才与r成反比；同理，由a＝ω2r知，只有当ω肯定时a才与r成正比；由ω＝eq\f(v,r)知v肯定，ω与r成反比，故A、B、C均错误。而ω＝2πn中，2π是定值，ω与转速n成正比，D正确。3．[多选]一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()A．大小为eq\f(v2,r) B．大小为g－eq\f(v2,r)C．方向在水平面内 D．方向在竖直面内解析：选AC依据an＝eq\f(v2,r)可知选项A正确；由于老鹰在水平面内运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。4．[多选]一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为a，则()A．小球相对于圆心的位移不变B．小球的线速度大小为eq\r(Ra)C．小球在时间t内通过的路程为eq\r(\f(a,Rt))D．小球做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(R,a))解析：选BD做匀速圆周运动的小球，相对于圆心的位移大小不变，但方向时刻在变更，故A错误。由公式a＝eq\f(v2,R)得v＝eq\r(aR)，故B正确。由v＝eq\f(Δl,Δt)知Δl＝vΔt＝teq\r(aR)，故C错误。由a＝eq\f(4π2,T2)R知T＝2πeq\r(\f(R,a))，故D正确。5.如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的()A．角速度之比为2∶1 B．向心加速度之比为1∶2C．周期之比为1∶2 D．转速之比为2∶1解析：选B依据两轮边缘线速度相等，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由an＝eq\f(v2,r)，得向心加速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正确；由T＝eq\f(2πr,v)，得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由n＝eq\f(ω,2π)，得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错误。6.[多选]如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则()A．a、b两点的线速度相同B．a、b两点的角速度相同C．若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝eq\r(3)∶2D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝eq\r(3)∶2解析：选BCD由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，B正确；由v＝ωr知va<vb，A错误；又ra＝rbcosθ，则当θ＝30°时，ra＝eq\f(\r(3),2)rb，则va∶vb＝ra∶rb＝eq\r(3)∶2，C正确；由an＝ω2r知aa∶ab＝ra∶rb＝eq\r(3)∶2，D正确。7.[多选]小金属球质量为m，用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方eq\f(L,2)处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，若无初速度释放小球。当悬线遇到钉子后的瞬间(设线没有断)()A．小球的角速度突然增大B．小球的线速度突然减小到零C．小球的向心加速度突然增大D．小球的线速度突然增大解析：选AC由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，悬线仍旧竖直，小球在竖直方向仍旧只受重力和悬线的拉力，故其运动方向不受力，线速度大小不变；又ω＝eq\f(v,r)，r减小所以ω增大；a＝eq\f(v2,r)，r减小则a也增大，故A、C正确。8．[多选]关于向心加速度，以下说法中正确的是()A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心解析：选AD物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个重量，A正确，B错误。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心，C错误，D正确。9．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比()A．线速度之比为1∶4B．角速度之比为4∶1C．向心加速度之比为8∶1D．向心加速度之比为1∶8解析：选D由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错。设轮4的半径为r,则aa＝eq\f(v\o\al(2,a),ra)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vc,2)))2,2r)＝eq\f(v\o\al(2,c),8r)＝eq\f(1,8)ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对。eq\f(ωa,ωc)＝eq\f(\f(va,ra),\f(vc,rc))＝eq\f(1,4)，B错。10．运用纳米技术能够制造出超微电机，英国的一家超微探讨所宣称其制造的超微电机转子的半径只有30μm，转速高达2000r/min，试估算位于转子边缘的一个质量为10×10－26kg的原子的向心加速度。(保留两位有效数字)解析：周期T＝eq\f(60,2000)s＝0.03s，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(200π,3)rad/s，a＝ω2r＝eq\f(200×3.142,9)×30×10－6m/s2≈1.3m/s2。答案：1.3m/s211．做匀速圆周运动的物体，10s内沿半径是20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小；(4)向心加速度的大小。解析：(1)线速度为v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(100,10)m/s＝10m/s；(2)角速度为ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(