江苏专版2025版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第一节抽样方法用样本估计总体教案文含解析苏教版

PAGEPAGE10第一节抽样方法、用样本估计总体1．简洁随机抽样(1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)特点：每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数表法．2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．系统抽样的步骤(1)采纳随机的方式将总体中的N个个体编号；(2)将编号按间隔k分段，当eq\f(N,n)是整数时，取k＝eq\f(N,n)；当eq\f(N,n)不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝eq\f(N′,n)，并将剩下的总体重新编号；(3)在第一段中用简洁随机抽样确定起始的个体编号l；(4)依据肯定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的个体抽出．4．作频率分布直方图的步骤(1)求全距；(2)确定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．5．茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留全部信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来便利．[提示]茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．6．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征概念优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但明显它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大的依次排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些状况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数假如有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时牢靠性降低(2)标准差、方差①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).②方差：标准差的平方s2s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数．[小题体验]1．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解状况，现采纳分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是________．解析：设该校学生总人数为n，则1－eq\f(200＋100,500)＝eq\f(3000,n)，解得n＝7500.答案：75002．某校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名老师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名老师中年龄小于45岁的有________人．解析：由频率分布直方图可知45岁以下的老师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．答案：483．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．解析：5个数的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它们的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.11．简洁随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当eq\f(N,n)不是整数时，留意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．3．在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．[小题纠偏]1．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采纳系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．解析：每组袋数：d＝eq\f(3000,150)＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列．a61＝11＋60×20＝1211.答案：12112．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中所得分数的茎叶图，则在这五场竞赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员得分的方差为________．解析：由茎叶图知，得分较为稳定的那名运动员是乙，他在五场竞赛中得分分别为8,9,10,13,15，所以eq\x\to(x)乙＝eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.答案：6.8eq\a\vs4\al(考点一抽样方法)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字起先由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481解析：由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.答案：012．采纳系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1000.适当分组后在第一组采纳简洁随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A，编号落入区间[401,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为________．解析：依据系统抽样的特点可知，全部做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差数列{an}，所以通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1000，得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5)，又因为n∈N*，所以39≤n≤50，所以做问卷C的共有12人．答案：123．(2024·南京调研)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为________．解析：由题意得，应从丙专业抽取的学生人数为40×eq\f(400,1000)＝16.答案：164．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130由于不当心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清晰，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C的产品数量是________件．解析：设样本容量为x，则eq\f(x,3000)×1300＝130，所以x＝300.所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，所以y＝80.所以C产品的数量为eq\f(3000,300)×80＝800(件)．答案：800[谨记通法]三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简洁随机抽样均为不放回抽样，且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采纳简洁随机抽样元素个数许多且均衡的总体抽样分层抽样将总体分成几层，分层按比例进行抽取各层抽样时采纳简洁随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成eq\a\vs4\al(考点二频率分布直方图和茎叶图)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2024·启东模拟)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x＋y的值为________．解析：由茎叶图知，甲组的中位数为65，当乙组的中位数也为65时，y＝5，此时乙组的平均数为eq\f(59＋61＋65＋67＋78,5)＝66，所以x＝66×5－(56＋65＋62＋74＋70)＝3，所以x＋y＝8.答案：82．(2024·海安质量测试)某校高一年级共有800名学生，依据他们参与某项体育测试的成果得到了如图所示的频率分布直方图，则成果不低于80分的学生人数为________．解析：由题设中供应的频率分布直方图可以看出：不低于80分的学生人数为(0.02＋0.01)×10×800＝240.答案：2403．(2024·苏州测试)为了了解某校今年打算报考飞行员的学生的体重状况，将所得的数据整理后，其频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数为________．解析：设报考飞行员的学生人数为x，则eq\f(12,x)＝(1－0.037×5－0.013×5)×eq\f(1,3)，解得x＝48，即报考飞行员的学生人数为48.答案：48[由题悟法]1．茎叶图中的3个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不须要统一．(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．2．由频率分布直方图进行相关计算时，需驾驭的2个关系式(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率．(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．[即时应用]1.(2024·苏北四市期末)某次竞赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为________．eq\a\vs4\al(3,4,5)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(4,246,28))解析：剩下的4个分数是42,44,46,52，则其平均数是46，故方差为eq\f(1,4)×(16＋4＋0＋36)＝14.答案：142．随着社会的发展，食品平安问题慢慢成为社会关注的热点，为了提高学生的食品平安意识，某学校组织全校学生参与食品平安学问竞赛，成果的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为3000，则成果不超过60分的学生人数大约为________．解析：由频率分布直方图知，成果不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成果不超过60分的学生人数大约为0.3×3000＝900.答案：900eq\a\vs4\al(考点三样本的数字特征)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等学问交汇命题．常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题．[题点全练]角度一：样本的数字特征与直方图交汇1．(2024·苏州调研)样本容量为100的频率分布直方图如图所示，依据样本频率分布直方图估计平均数为________.解析：平均数为eq\f(1,100)×(6×10＋20×12＋40×14＋24×16＋10×18)＝14.24.答案：14.24角度二：样本的数字特征与茎叶图交汇2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法分辨，在图中以x表示.则7个剩余分数的方差为________．解析：依据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则eq\f(1,7)[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，所以x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).答案：eq\f(36,7)角度三：样本的数字特征与优化决策问题3．甲、乙两名射击运动员参与某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成果如下表(单位：环)：甲108999乙1010799假如甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．解析：因为eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙＝9，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)＞seq\o\al(2,甲)，故甲更稳定．答案：甲[通法在握]1．利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．2．利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[演练冲关]1.(2024·常州调研)用茎叶图记录甲、乙两名同学高三前5次数学测试的成果，如图．他们在分析对比成果改变时，发觉乙同学成果的一个数字看不清晰了．若已知乙的平均成果低于甲的平均成果，则看不清晰的数字为________．解析：甲的平均成果为eq\f(1,5)×(99＋100＋101＋102＋103)＝101，设看不清晰的数字为x，则由题意得eq\f(1,5)×(93＋94＋97＋110＋110＋x)＜101，解得x＜1.因为x≥0，x∈N，所以x＝0，即看不清晰的数字为0.答案：02．为了考察某校各班参与课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参与该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则由样本方差为4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知，总不满意和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9这组数满意要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满意要求，因此不存在满意条件的另一组数据．答案：10一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2024·南通中学高三学情调研)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．解析：由题意知eq\f(50,100＋300＋150＋450＋z＋600)＝eq\f(10,100＋300)，解得z＝400.答案：4002．(2024·泰州调研)某校在高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成果作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示，则估计该校高三学生中数学成果在[110,140)之间的人数为________．解析：由样本频率分布直方图知该校高三学生中数学成果在[110,140)之间的频率为(0.02＋0.026＋0.02)×10＝0.66，所以估计该校高三学生中数学成果在[110,140)之间的人数为1000×0.66＝660.答案：6603．某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为探讨血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取________名血型为AB的学生．解析：在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为eq\f(60,500)＝eq\f(3,25)，所以血型为AB的学生应抽取的人数为50×eq\f(3,25)＝6.答案：64．已知一组数据：87，x,90,89,93的平均数为90，则该组数据的方差为________．解析：由题意知eq\f(1,5)×(87＋x＋90＋89＋93)＝90，解得x＝91，所以方差s2＝eq\f(1,5)×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.答案：45．(2024·启东第一中学月考)某厂共有1000名员工，打算选择50人参与技术评估，现将这1000名员工编号为1到1000，打算用系统抽样的方法抽取．已知随机抽取到的员工最小的编号是15，那么抽取到的员工最大的编号是________．解析：样本间隔为1000÷50＝20，∵随机抽取到的最小的编号是15，∴在抽取到的员工中最大的编号是15＋49×20＝995.答案：9956．(2024·苏州期末)若一组样本数据9,8，x,10,11的平均数为10，则该组样本数据的方差为________．解析：由eq\f(9＋8＋x＋10＋11,5)＝10，得x＝12，故方差s2＝eq\f(－12＋－22＋22＋02＋12,5)＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2024·通州期末)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成果(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，则x的值为________．答案：72．(2024·如皋检测)从编号为01,02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03,08(编号按从小到大的依次排列)，则样本中最大的编号是________．解析：由题意知，抽样间隔是5，∴样本中最大的编号是3＋5×9＝48.答案：483．(2024·南京学情调研)为了解某一段马路汽车通过时的车速状况，现随机抽测了通过这段马路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有________辆．解析：依据频率分布直方图得，时速在区间[40,60)内的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4，故时速在区间[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆)．答案：804．用分层抽样的方法从某中学学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生的总人数为________．解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15(人)，设该校学生的总人数为n，则eq\f(45,n)＝eq\f(15,300)，所以n＝900.答案：9005．(2024·扬州期末)某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．依据测量结果可知被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，…，第八组[190,195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为________．解析：这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的频率为1－(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝1－0.82＝0.18，所以全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为0.18×800＝144.答案：1446．(2024·海门中学检测)已知数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，又知数据3x1＋2,3x2＋2，…，3x10＋2的方差为27，则s＝________.解析：∵数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，数据3x1＋2,3x2＋2，…，3x10＋2的方差为27，∴9s2＝27，解得s＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x2，－y这四个数据的平均数为1，则y－eq\f(1,x)的最小值为________．解析：由题意1＋2＋x2－y＝4，所以y＝x2－1.由中位数定义知，3≤x≤5，所以y－eq\f(1,x)＝x2－1－eq\f(1,x).当x∈[3,5]时，函数y＝x2－1与y＝－eq\f(1,x)均为增函数，所以y＝x2－1－eq\f(1,x)在[3,5]上为增函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))min＝8－eq\f(1,3)＝eq\f(23,3).答案：eq\f(23,3)8.(2024·南通调研)为了了解某校老师运用多媒体进行教学的状况，采纳简洁随机抽样的方法，从该校400名授课老师中抽取20名，调查了他们上学期运用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示．据此可估计上学期该校400名老师中，运用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为________．解析：由茎叶图可知，在20名老师中，上学期运用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名老师中，运用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×eq\f(8,20)＝160.答案：1609．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解：(1)因为eq\f(x,2000)＝0.19，所以x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：eq\f(48,2000)×500＝12(名)．10．某班100名学生期中考试语文成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值．(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，依据频率分布直方图，估计这100名学生语文成果的平均分．(3)若这100名学生语文成果某些分数段的人数(x)与数学成果相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成果在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解：(1)由频率分布直方图知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，因此a＝0.005.(2)估计这次成果的平均分eq\x\to(x)＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100名学生语文成果的平均分为73分．(3)分别求出语文成果在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以数学成果分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,