2025年中考数学总复习《二次函数与几何变换的综合》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数与几何变换的综合》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为时，的值最小，最小值为．(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标；(3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值．4．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；(3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．5．抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左边），与y轴交于点C．(1)直接写出点A，B，C坐标；(2)如图（1），连接，过抛物线第四象限上一点D作交延长线于E，若直线平分线段，求点D坐标；(3)如图（2），将抛物线向左平移使其顶点在y轴上，得到新抛物线L；过原点的直线交新抛物线L于点M，N，点P是y轴上一点，连接，当时，，求P点坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点(1)求抛物线解析式；(2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值．7．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)求的面积；(3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点P是x轴上方抛物线上一动点，轴于点M，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，当点P在第二象限时，连接交y轴于点D，若，求m的值；(3)当点P不与抛物线的顶点重合时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q，作轴于点N，四边形的周长记为l．①求l关于m的函数解析式；②当l随m的增大而增大时，请写出m的取值范围．9．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积；(3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值．10．抛物线经过点和，与y轴交于点C．(1)如图①，当时．①求抛物线的解析式；②P是抛物线在第一象限上一点，若，求点P的坐标．(2)如图②，设抛物线与x轴交于点，此时抛物线也可以表示为交点式．若为x轴上方抛物线上一点，轴，G为垂足，直线交x轴于点，当点三点中有两点关于另一点对称时，求c的值．11．如图1，抛物线过A，B，C三点，．(1)求抛物线的解析式：(2)连接，点为线段上一点，过点作直线，交抛物线右侧于点，设的长度为，求的最大值；(3)如图2，将（1）中抛物线平移后，使其顶点与原点重合，点坐标为，点为抛物线对称轴左侧的动点（不与原点重合），过M、N两点作直线，交于点，过点作轴平行线交抛物线于点，若直线，与抛物线都只有唯一交点，且，求点坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，的面积为．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)点是抛物线对称轴上的一点，在线段上有一动点，以每秒个单位长度的速度从向运动，（不与点重合），过点作，交轴于点，设点的运动时间为秒，试把的面积表示成的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值；(3)设点是抛物线上异于点的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，以为直径画，则在点的运动过程中，是否存在与轴相切的？若存在；若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线与轴交于点，，顶点为，连接，是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的表达式；(2)当时，求点的坐标；(3)如图2，是线段上一动点（不与点，重合）且始终保持，连接，，求的最小值．14．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．(1)求抛物线的解析式；(2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值．(3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标．15．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)若点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线与点，以为邻边构造矩形．设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数表达式；当直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），且满足，直接写出的值．参考答案1．(1)(2)，(3)或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；（3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．【详解】（1）解：将代入中，得，解得，抛物线的表达式为；（2）解：在中标，当时，，解得，点的坐标为，当时，，点的坐标为．设直线的表达式为，将代入，得，解得，直线的表达式为，抛物线表达式为，抛物线的对称轴为直线，在中，当时，，点的坐标为，如图，过点作轴交于点．设点的坐标为，则点的坐标为，，，，，当时，取最大值，当时，，四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；（3）解：抛物线的表达式为，抛物线的表达式为，抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为3，设，由（2）得，，分以下三种情况讨论：①当为的对角线时，∵平行四边形对角线中点坐标相同，，解得，，；②当为的边，且为对角线时，∵平行四边形对角线中点坐标相同，，解得，，；③当为的边，且为对角线时，∵平行四边形对角线中点坐标相同，，解得，．综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．2．(1)(2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为(3)，(4)点的坐标为或或或【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；（2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标；（4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴该二次函数的解析式；（2）解：∵，，∴，∴，设直线的解析式为，代入得，，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，∴四边形的面积，∵，∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为；（3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，，设直线的解析式为，则，解得：，则直线的解析式为，令，解得：，此时点；（4）解：设，∵，，∴，，，当斜边为时，，即，整理得：，解得：；当斜边为时，，即，解得：；∴当斜边为时，，即，解得：；∴综上：点的坐标为或或或．3．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；（2）过点作平分，交抛物线于点，交轴于点，根据角平分线的性质定理可得点即为所求，先求出点的坐标，证出，根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立，解方程组即可得；（3）先根据二次函数与直线只有唯一一个公共点可得，，再将点代入两条直线的解析式可得，，从而可得是方程的两个实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】（1）解：将代入得：，解得，则抛物线的解析式为．（2）解：如图，过点作平分，交抛物线于点，交轴于点，∴点到直线的距离与到直线的距离相等，即为所求，由（1）已得：，当时，，解得或，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，∴直线的解析式为，联立，解得或（即为点），∴点的坐标为．（3）解：联立得：，∵抛物线与直线只有唯一一个公共点，∴方程有两个相等的实数根，∴方程根的判别式，即，同理可得：，∵点在直线和直线上，∴，，∴，，∴，，∴是方程，即的两个实数根，∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、角平分线的性质定理、一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．(1)(2)(3)存在，或或【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用．（1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将点坐标代入即可求出抛物线表达式；（2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积；（3）根据平行四边形的判定定理，分别以为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴假设抛物线的表达式为，将代入得，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：令,则，令，则，解得，∴，，，假设直线的表达式为，将代入得，，解得，∴直线的表达式为，∵，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，当斜边最大时，的面积最大，假设，，求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值，，是等腰直角三角形，，∴的面积为；（3）解：分两种情况讨论，①当为平行四边形的边时，则有，且，如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，则，在和中，，，，点到对称轴的距离为3，又，抛物线对称轴为直线，设点，则，解得：或，当时，代入，得：，当时，代入，，点坐标为或；②当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为，，，，点在对称轴上，点的横坐标为，设点的横坐标为，根据中点公式得：，，此时，；综上所述，点的坐标为或或．5．(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)(2)(3)P点坐标为．【分析】（1）令和，分别求得或，，即可求解；（2）过E作轴于F，证明，求得，再利用待定系数法求得直线解析式，联立解方程组即可求解；（3）利用平移的性质求得平移后的解析式，设，，联立，求得，，在中，由勾股定理得到，在和中，利用勾股定理列式得到，再结合已知求解即可．【详解】（1）解：令，则，解得或，令，则，∴，，；（2）解：如图（1），过E作轴于F，则，∴，∴，∵，，∴，，∵直线平分线段，∴，∴，∴，，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴，设直线解析式为，将点代入得，解得，故直线解析式为；联立得解得，（舍），故D；（3）解：∵，∴抛物线的顶点为，∴新抛物线L顶点为，其解析式为，如图（2），设，，直线解析式为，联立，消元得，∴，，分别过M，N分别作x轴，y轴的垂线交于点Q，轴于T，交y轴于K，设，则，，∵在中，，∴，∴，∵，，∴在中，，∵，，∴在中，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴P点坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．6．(1)(2)或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴将点代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：设直线的解析式为，将点代入，得，解得，∴直线的解析式为．∵点M在直线上，且点，∴点M的坐标为．将代入，则，∴，∴，∴，．当为等腰三角形时，（ⅰ）若，则，即，解得．（ⅱ）若，则，即，解得或（舍去）．（ⅲ）若，则，即，解得或（舍去）．综上所述，或或．【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题．7．(1)，顶点的坐标为；(2)；(3)存在满足条件的点，其坐标为或．【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．（）利用待定系数法求解析式即可；（）联立求出，则，过顶点作轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解；（）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴设抛物线的解析式为，把点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，即，∵，∴顶点的坐标为；（2）解：联立，解得：或，∴，∵，∴，如图，过顶点作轴的平行线与直线交于点，∴，∴，∴；（3）解：存在，理由如下，∵，，点为抛物线上的一个动点，∴设，∴，，，由于以为直角边的直角三角形，当，∴，整理得：，即，解得：或（舍去），∴，∴点；当，∴，整理得：，即，解得：或（舍去），∴，∴点，综上可知：点的坐标为或．8．(1)(2)(3)①；②或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可得，得到，设，则，根据，建立方程求出n的值，再根据，由题意可知，，求出，利用建立方程求解即可；（3）①求出抛物线的对称轴为，分当时，当时两种情况，求出，即可解答；②根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：根据题意，得

解得，；抛物线的函数解析式为．（2）解：当时，解得．

，．轴，轴，．．．，．．

设，则．，．解得．

．由题意可知，，．．解得，，（不合题意，舍去）．（3）解：①抛物线的对称轴为，如图2，当时，，．如图3，当时，，．②如图4所示，由图象可知或．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．(1)(2)15(3)【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．（1）由题意得：，即可求解；（2）由的面积，即可求解；（3）证明，即，即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得，将代入得，二次函数的表达式为．（2）解：令得，，解得，．当时，．设直线交对称轴于点的解析式为，把代入解析式得：解得：直线的解析式为．当时，，．．（3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴，．，设，则，．，当时，有最大值，此时的最大值为．10．(1)；点P的坐标为(2)或【分析】（1）①把点和代入，再建立方程组解题即可；②如图，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点F．证明，可得，证明为等腰直角三角形．，设直线的解析式为，再进一步求解即可；（2）由题意可知，该抛物线关于直线对称．求解，可得抛物线的解析式为，如图，设点F的坐标为，则点，可得．，求解点．，点，分情况讨论即可．【详解】（1）解：①由题意得，解得：，抛物线的解析式为．②如图，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点F．当，，∴．，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴，又，∴，又轴，为等腰直角三角形．，∴，设直线的解析式为，由题意得解得，∴直线的解析式为，联立得，解得（不符合题意）点P的坐标为．（2）解：由题意可知，该抛物线关于直线对称．，∴，∴抛物线的解析式为，如图，设点F的坐标为，则点，．，∴，∴点关于直线对称．，∴点．当时，，∴，∴同理可得：直线的解析式为，点，分情况讨论：①如图a，当点，关于点对称，则时，，解得；②如图b，当点，关于点对称，则时，，解得．综上或；．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的对称性的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．11．(1)(2)(3)【分析】（1）先根据，求出，，代入抛物线解析式，求出b、c的值即可得出抛物线的解析式；（2）根据图形得出点D越靠上，的长度越长，得出当点D与点C重合时，最大，过点E作轴于点F，证明，得出，设点E的坐标为，得出，，，即，求出结果即可；（3）将（1）中抛物线平移后，使其顶点与原点重合，根据平移后抛物线的解析式为：，根据直线经过，直线与抛物线只有一个交点，求出直线的解析式为：，设点G的坐标为，则，得出，设直线的解析式为：，把，根据直线与抛物线只有一个交点，得出直线的解析式为：，求出，根据，得出，求出或或，根据，得出，最后得出点N的坐标即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，把，代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线的开口向上，∴根据图形可知：点D越靠上，的长度越长，∴当点D与点C重合时，最大，如图，过点E作轴于点F，则，∴，∴，∴，∴，设点E的坐标为，则，，，∴，解得：，（舍去），∴，解得：，即的最大值为．（3）解：∵将（1）中抛物线平移后，使其顶点与原点重合，∴平移后抛物线的解析式为：，设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，令，整理得：，∵直线与抛物线只有一个交点，∴，解得：，∴，∴直线的解析式为：，设点G的坐标为，则，，∴，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，令，整理得：，∵直线与抛物线只有一个交点，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴∴直线的解析式为：，令，整理得：，∴，解得：，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，整理得：，解得：或或，∵，∴，∴点N的坐标为，即．【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的综合应用，求二次函数解析式，两点间距离公式，求一次函数解析式，相似三角形的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．12．(1)抛物线的解析式为：；(2)，当时，有最大值，最大值为；(3)存在，点的坐标为或或或，理由见详解【分析】（1）设，则，，由几何图形面积计算即可得到，运用待定系数法即可求解；（2）根据题意得到是等腰直角三角形，，如图所示，过点作轴于点，作轴于点，则，，，，由代入计算，再结合二次函数求最值的方法计算即可求解；（3）根据图得到点到对称轴的距离为，，由此分类讨论即可求解．【详解】（1）解：∵，∴设，则，∴，∵的面积为，∴，解得，（不符合题意，舍去），，∴，∴，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）解：抛物线的对称轴直线为，，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，如图所示，过点作轴于点，作轴于点，∴，，∴，，，∴，∵点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，（不与点重合），∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；（3）解：抛物线的解析式为：，∴设，且对称轴直线为，∴点到对称轴的距离为，如图所示，∴，①当时，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合题意），∴；②当时，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合题意）；∴；③当时，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合题意）；∴；④当时，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合题意）；∴；综上所述，存在，点的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，二次函数的最值问题，三角形的面积，以及二次函数的对称性，点到直线的距离的表示，绝对值方程的讨论求解，掌握待定系数法求解析式，二次函数图形面积的计算，二次函数与圆的综合，圆与直线相切的理解等知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．13．(1)(2)或(3)【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）先求直线的解析式，设，则，，然后得到，，再根据列方程求出，即可求解；（3）利用勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，，再过点作，使，连接，，则有，得到，则可得到要使的值最小，则的值最小，当、、三点共时，取得最小值，即可求解．【详解】（1）解：将点，代入抛物线得：，解得：，抛物线的表达式为；（2）抛物线，顶点，设直线的解析式为，将、代入得：，解得：，直线的解析式为，设，则，，，，，，解得：（不合题意，舍去）或或，或；（3）如图，连接，，，，，，，，是等腰直角三角形，，过点作，使，连接，，，又，，，，，要使的值最小，则的值最小，当、、三点共时，取得最小值，又，，是等腰直角三角形，，的最小值为．【点睛