2025年中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项测试卷(带答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项测试卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、二次函数与面积问题1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上不与，重合的一动点，设点的横坐标为．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图，当点在第一象限时，若，求的值；(3)点在抛物线上且不与点重合，点的横坐标为．分别过，两点作轴的平行线，与直线分别交于，两点，将四边形的周长记为．直接写出关于的函数解析式；当随的增大而增大时，直接写出的取值范围．2．如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线．(1)求直线的函数表达式；(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标．3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的交点为．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且．当线段最大时，求的周长的最小值．(3)点为抛物线上的一个动点，点、点为第（2）问周长取得最小值时的点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的过程．5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，为的中点，连接．直线交抛物线于另一点，抛物线的对称轴与交于点．(1)求抛物线的解析式及点的坐标．(2)在抛物线上两点之间的部分（不包含两点）是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)笛卡尔爱心曲线是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，因此得名．这条曲线在数学中有着重要的地位，不仅在理论上具有重要意义，还在实际应用中有所体现．例如，心形线的几何构造可以通过平面几何的方法得到，这种方法有助于更好地理解心形线的数学定义，并锻炼几何直觉．智慧学习小组探索发现，抛物线可以通过变化得到心形线．如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后就会得到心形线，若心形线与轴交于点，判断点的横坐标与的大小关系，并说明理由．二、二次函数与特殊四边形问题6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．(1)求线段的长；(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；(3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．7．抛物线，与x轴交于点和，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P是线段上方抛物线上一点，连接，交线段于点D，当时，求点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，当点P在对称轴右侧时，动点M从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒3个单位的速度向点C运动，其中一个点到达终点时另一个点随之停止，将线段绕点N逆时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t秒，直接写出当一边与平行时t的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且．(1)求抛物线（）的表达式；(2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．9．如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．(1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；(2)如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；(3)当时，y的取值范围是，且，求a的值．10．已知抛物线与直线在第一象限交于点，且．(1)求点的坐标及的值；(2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标；(3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积．三、二次函数与线段周长问题11．已知，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，函数图象的对称轴经过点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)连接，若点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．①点为线段上一动点，轴，垂足为点，点为线段上一动点，连接．当的面积最大时，求的最小值；②在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的顶点为，则四边形的面积是_____；（直接写出结果）(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．13．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，点在第四象限的抛物线上运动，过点作于点，过点作轴交于点，点的横坐标为．①用含的代数式表示的长；②求的最大值及此时点的坐标；(3)将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若，请直接写出的取值范围．14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，点、分别在线段、上，若,求与之间的函数关系式；(3)如图2，在（2）的条件下，点在第一象限点左侧的抛物线上，线段、交于点，于点，点在线段的延长线上，连接、、，若，，，求的值及点、的坐标．15．如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积；(3)当的值最大时，求点的坐标．参考答案1．(1)(2)(3)；或或．【分析】把点，的坐标代入，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据抛物线的解析式求出点的坐标，可知，过点作轴，过点作轴交轴于点，根据平行线的性质可知，从而可知，利用锐角三角函数可知，解方程求出的值即可；利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据过，两点作轴的平行线，与直线分别交于，两点，把，两点的坐标分别用含的代数式表示出来，可得：，根据的取值范围分三种情况分别求出关于的函数解析式；根据抛物线的图象与性质，在不同的取值范围内分别求出当随的增大而增大时，的取值范围即可．【详解】（1）解：把点，的坐标代入，可得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：如下图所示，过点作轴，过点作轴交轴于点，设点的坐标为，当时，可得：，点的坐标是，，，，，，，轴，，，点的坐标是，点的坐标是，，，，点的坐标为，，，，整理得：，解得：；（3）解：设直线的解析式为，把点点的坐标代入解析式，可得：，解得：，直线的解析式为，此时点的坐标是，点的坐标是，则点的纵坐标为，则点的坐标为，点的纵坐标为，点的坐标为，，，，，四边形的周长为，整理得：，当点在点右侧时，如下图所示，则有，解得：，当时，则有，，；当点在点的左侧，点的右侧时，如下图所示，则有，解得：，则有，；当点在点左侧时，，即，如下图所示，则有，，综上所述，；当时，，二次函数的图象开口向下，对称轴是，，当时，随的增大而增大；当时，，二次函数的图象开口向下，对称轴是，，时，随的增大而增大；当时，，二次函数图象开口向上，对称轴为，当时，随的增大而增大．综上所述，当随的增大而增大时，的取值范围是或或．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、二次函数的图象与性质、锐角三角函数，解决本题的关键利用分类讨论的思想分情况求解．2．(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可；（2）如图，过作轴交于，连接，，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于，∴，∴，∴，令，则，解得：，，∴，令时，，∴，设直线为，∴，解得：，∴直线为；（2）解：如图，过作轴交于，连接，，设，则，∴，∴，当时，面积最大，而为定值，∴此时最大，∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键．3．(1)(2)存在，P的坐标为(3)的最大值为【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．（1）将点和点代入求得a、b的值即可解答；（2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解；（3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。【详解】（1）解：将点和点代入可得：，解得：，故抛物线的表达式为．（2）解：∵抛物线的表达式为，∴当时，，即∴，即为等腰直角三角形，∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，∴为等腰直角三角形，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的表达式为，∵抛物线解析式为，∴该抛物线的对称轴为：，当时，，即点，∵，故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，当时，解得：或（舍去），∴点．（3）解：如图：连接，设点，设直线的表达式为，则有，解得：，∴直线的表达式为，∴，∴，∴，．∴的最大值为．4．(1)(2)的周长的最小值为(3)点的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出，从而可求直线的解析式为，设，则，表示出，结合二次函数的性质可得当时，取得最大值为，求出，过点作交轴于点，求出直线的解析式为，从而可得，证明四边形为平行四边形，得出，连接并延长，使得，连接，证明为等腰直角三角形，得出，求出点、关于直线对称，得到，即的周长，连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为，求出，最后由勾股定理计算即可得解；（3）求出，，过点轴，作轴交轴于，作交于，则，求出，证明，得出，设，则，求出，解得，此时；作点关于的对称点，作直线，由轴对称的性质可得，从而得出，即点为直线与抛物线的交点，，求出直线的解析式为，联立求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）解：在中，当时，，即，设直线的解析式为，将，代入直线的解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，设，∵轴交于点，∴，∴，∵，∴当时，取得最大值，为，此时，∴，如图，过点作交轴于点，，设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，即，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，连接并延长，使得，连接，∵，，∴，∴为等腰直角三角形，即，∵，∴，∵，∴点、关于直线对称，∴，∴的周长，连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为，设，则，解得：，即，∴，∴的周长的最小值为；（3）解：如图，，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，联立，解得，即，设，则，解得：或（不符合题意，舍去），∴，如图，过点轴，作轴交轴于，作交于，，则，∴，，∴，∵直线的解析式为，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴，此时，∴；作点关于的对称点，作直线，由轴对称的性质可得：，∴，∴点为直线与抛物线的交点，，设直线的解析式为，将代入解析式可得，∴直线的解析式为，∴设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，联立可得：，解得：或（不符合题意，舍去），∴，此时，∴；综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．5．(1)，；(2)存在，；(3)，理由见解析．【分析】（1）把、分别代入抛物线，确定一次函数的解析式，两个解析式联立解答即可；（2）过点作抛物线的对称轴于点轴交直线于点．设点的坐标为，则点．，分别表示所求两个三角形的面积，根据题意建立方程，解答即可．（3）如图2，设点为点，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接，交于点，连接，过点作轴于点．利用勾股定理，三角形全等的判定和性质，对称性解答即可．【详解】（1）解：抛物线过点，解得抛物线的解析式为.当时，点的坐标为（0，6）．为的中点，点的坐标为（0，3）．设直线的解析式为．将点和点代入，得解得直线的解析式为.联立抛物线，得．整理、得．解得（舍去），．点的坐标为.（2）存在．．抛物线顶点的坐标为，对称轴为直线．抛物线的对称轴与交于点把代入，得．点的坐标为．.如图1，过点作抛物线的对称轴于点轴交直线于点．设点的坐标为，则点．．，．解得或（舍去）．当时，．点的坐标为.（3）解：．理由如下：如图2，设点为点，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接，交于点，连接，过点作轴于点．由轴对称的性质，得，点在直线上．在中，，由勾股定理，得．.．故，．在中．点的坐标为.设直线的解析式为，故解得，故直线的解析式为．联立抛物线，得．整理，得．解得（不合题意，舍去；）．点的横坐标为．，故，故，故点P在点K的左侧，.【点睛】本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，两点间距离公式的应用，构造法求面积，熟练掌握待定系数法，勾股定理，三角函数的应用是解题的关键．6．(1)(2)(3)直线恒过定点【分析】（1）令，则，从而可得，求解得出、的坐标，即可得解；（2）求出，连接、、、，作轴于，轴交于，设点的坐标为，则，求出，表示出，求出直线的解析式为，从而可得，求出，表示出，结合题意得出，解方程即可得解；（3）求出，，作轴于，设，则，求出，，由等腰三角形的性质可得，得出，从而可得，求出直线的解析式为，进而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直线的解析式为，即可得解．【详解】（1）解：在中，令，则，∴，解得：，，∴，，∴；（2）解：当时，，∴，如图，连接、、、，作轴于，轴交于，，设点的坐标为，则，∴，∴，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴，∴，∴，∵的面积是面积的两倍，∴，整理得：，解得：或，∵，∴，此时，∴；（3）解：∵，∴，在中，当时，，故，如图：作轴于，，设，则，∴，，∵，∴，∴，∴，设直线的解析式为，将，，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，令，则，解得：，∴，∴，解得：或，∵，∴，∴，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，解得：，∴直线恒过定点．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．7．(1)(2)或．(3)或或【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，过点A作轴交直线BC于点E，则，设，则，可得，即可求解；（3）如图，先确定，再求解直线解析式为过N作垂直于x轴交x轴于L，过G作于K，证明，可得，由题意可得：再表示M，N，G三点坐标，再分三种情况讨论即可．当时，设直线解析式为当时，设直线解析式为当时，设直线解析式为再利用待定系数法列方程组求解时间t即可．【详解】（1）解：过点和，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图所示，过点P作轴交直线于点F，过点A作轴交直线于点E，在中，当时，，∴;设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，在中，当时，，∴，∴，设，则，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴解得或，∵P是线段上方抛物线上一点，∴，∴和都符合题意，当时，，当时，，∴或；（3）解：∵抛物线的对称轴为直线∴当P在对称轴的右侧时，点P的坐标为，设的解析式为，，解得：，∴直线的解析式为，过N作垂直于x轴交x轴于L，过G作交直线于K，由旋转的性质可得，∴，∵，∴，∴，∴，由题意可得：则，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，，当时，设直线的解析式为，解得：当时，设直线的解析式为解得：当时，设直线的解析式为解得：又∴经检验以上3个答案都符合题意，综上：或或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用两直线平行，一次项系数相同是解决第3问的关键．8．(1)(2)(3)点T的坐标为或【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解；（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为；（3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，则，∴，∴，将和代入得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：令，则，解得或，∵，则设直线的解析式为，代入，得，解得，∴直线的解析式为，设（），则，∴，∵，∴当时，最大，此时，∵点是线段上一动点，轴于点，∴当线段长度取得最大值时，∵，，点为线段的中点，∴将线段向左平移个单位得到，则当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度；∴的最小值为；（3）解：由（2）得，∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到，∴，过点作交抛物线于点，∴，同理求得直线的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，代入∴解得：∴直线的解析式为联立得，解得，，当时，，∴，联立直线和抛物线解析式可得解得：，当时，，∴∴轴，又∵∴∴作关于直线的对称点，连接交于点∴∵∴∵，，∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得同理直线的解析式为，联立，解得或，当时，，∴，综上，符合条件的点T的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键．9．(1)，；(2)(3)或【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：（1）两点式写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可；（2）取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，求出的坐标，将直线向上平移个距离，平移后的直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可；（3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，C，∴，∵，∴顶点坐标为：；（2）∵，∴当时，，∴，∵，∴设直线的解析式为：，把代入，得：，∴，取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：，∵，∴，∴点到的距离等于点到的距离，由（1）知：，∴，∴设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：，∴，当时，，∴，∴，∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点，令，解得：或；故点的横坐标为：；（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，∵，∴当时，，当时，，∵，∴当时，，解得：或（舍去）；当时，则：，解得：（舍去）或；综上：或．10．(1)点的坐标为，(2)点的横坐标为3或4或(3)【分析】（1）根据题意设，过点作轴，则，由勾股定理可得，可求得点的坐标为，再利用待定系数法可求得的值；（2）由（1）可知抛物线为，设，由题意得，且，则，，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程即可求解；（3）过点作轴，由（1）可知，，令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，则，则平分，先证明，得，过点作轴，过点作轴，则，得证，可知，，而直线交抛物线于，两点，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，则，再根据即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与直线在第一象限交于点，∴设，过点作轴，则，由勾股定理可得，∵，∴，即点的坐标为，将代入，得，解得：；（2）由（1）可知抛物线为，设，∵轴交线段于点，∴，且，则，，当时，即，∴，解得：（或5不符题意，应舍去）当时，即，∴，解得：（不符题意，应舍去）当时，即，∴，解得：（或不符题意，应舍去）综上，点的横坐标为3或4或；（3）过点作轴，由（1）可知，∴，令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，则，则平分，∴，，则，∵平分，∴，则∴，∵，∴，∴，过点作轴，过点作轴，则，∴，∴，，而直线交抛物线于，两点，∴，整理得，解得：，即，，∴，，∵，∴，即解得，∴，直线的解析式为，当时，，当时，，∴，∴．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，图形与坐标，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，理解题意，分类讨论，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．11．(1)(2)①；②存在，【分析】（1）二次函数的图象经过，对称轴经过点，运用待定系数法求解即可；（2）①根据二次函数与坐标轴的关系得到，，，直线的解析式为，设，则，则，根据二次函数最最值的方法得到当时，的面积最大，最大值为，如图所示，可得是定值，四边形是平行四边形，，此时，根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，可证，得到，设，则，在中，，即，则，由此即可求解；②如图所示，点在点上方，四边形是菱形，得，即；如图所示，点在点下方，四边形是菱形，，即；由此即可求解．【详解】（1）解：二次函数的图象经过，对称轴经过点，∴，解得，，∴二次函数解析式为；（2）解：①二次函数中，令时，，则，令时，，解得，，∴，，设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为，∵点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点，∴设，则，∴，∴，∵，∴当时，的面积最大，最大值为，如图所示，∴，，，且，∵点为线段上一动点，轴，∴，，∴是定值，如图所示，将连接，∵，∴四边形是平行四边形，∴，此时，根据点到直线垂线段最短得到，当且三点共线时，的值最小，∵，∴，且，∴，∴，∴，即，设，则，在中，，即，解得，，∴，∴的最小值为，∴的最小值为；②存在，理由如下，如图所示，点在点上方，四边形是菱形，∴，且，则，，∴，，∴，整理得，，解得，（不符合题意，舍去），，∴，即，则，∴轴，∵，∴轴，∴；如图所示，点在点下方，四边形是菱形，∴，且，，∴，整理得，，解得，（不符合题意，舍去），，∴，∴，∴；综上所述，在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数图象与线段，特殊四边形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数求图形面积，线段最小值的计算，相似三角形的判定和性质，二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理等知识的综合运用，数形结合分析，分类讨论思想是关键．12．(1)(2)(3)补全图形见解析，【分析】（1）根据抛物线的对称性，求出点A的坐标，再利用待定系数法进行求解即可；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，先求出点坐标，C点坐标，利用四边形的面积为即可求解；（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，∴，则，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）解：设抛物线对称轴与x轴交于点E，则，将代入，则，∴，∴，将代入，则，∴，∴，∵，，∴，，∴四边形的面积为，；故答案为：；（3）解：过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，∵抛物线解析式为，设，则：，设直线的解析式为：，∴，解得，∴直线的解析式为：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，有最大值，此时．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．13．(1)(2)①；②，；(3)【分析】（1）将，代入，解方程组即可求解；（2）①设直线为，代入点，用表示两点的坐标，再将纵坐标相减即可求解；②证明，得，进而得，可得，利用二次函数的性质即可求解；（3）结合图象，分两种情况：①当新的函数的图象的最高点是点B时，最低点是，②当新的函数的图象的最高点是点时，最低点是，分别求解即可得出取值范围．【详解】（1）解：将，代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：①设直线为，代入，得，，解得，，，点的横坐标为，轴，，，；②，，，，，，轴，，，，，，，，时，，，；（3）解：当时，，当时，，在间的部分记为图象，如图所示：图象的最低点为顶点，最高点为，，将点沿直线向上翻折，对应点，①当新的函数的图象的最高点是点B时，最低点是，如图所示：这个函数的最大值为，最小值为，，，，②当新的函数的图象的最高点是点时，最低点是，如图所示：这个函数的最大值为，最小值为，，，，综上所述，当时，．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数解析式的求法，利