2025年中考数学总复习《利用二次函数求线段周长最值问题》专项测试卷(含答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《利用二次函数求线段周长最值问题》专项测试卷(含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值；(3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程．2．在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．(1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；(2)时，的最小值为，求的值；(3)当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．4．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C．(1)求抛物线的表达式：(2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值：(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值；(3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，．(1)求抛物线的表达式；(2)点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．8．如图，抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧），该抛物线的对称轴是直线．

(1)若点在该抛物线上，求抛物线的解析式；(2)当，且时，求抛物线的最大值与最小值的差；(3)已知是直线上的动点，将点向下平移2个单位长度得到点．若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．(1)填空：_________，点的坐标是_________；(2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；(3)在(2)中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为线段上的一动点（点D不与B，C点重合）．

(1)直接写出A，B两点坐标；(2)如图1，当时，求周长的最小值；(3)过动点D作，与二次函数在第一象限的图象交于点P，连接，记与的面积和为S，①如图2，若点C的坐标为，当S取最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值；②若S的最大值为，直接写出a的值．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．(1)求此二次函数的解析式；(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求的取值范围；②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．12．抛物线交x轴于点，交y轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是线段上的动点，直接写出的最小值为．13．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，点是直线下方抛物线上的一个动点．过点作PE∥x轴，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是______；(3)求的最大值；(4)在抛物线的对称轴上找点，使是以为斜边的直角三角形，请直接写出点的坐标．14．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．15．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．(1)求二次函数的表达式：(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)(2)(3)或【分析】（1）抛物线经过，，利用交点式得出，再代入即可；（2）延长，交延长线于点，分别求出直线解析式为，直线解析式为，设，得，，得出，，利用，求出，得出，可得当时，取得最大值，此时，此时，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，得出，由平移的性质得，则，过点作轴，过点作于，利用，得出，则，由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，即可求解；（3）先确定沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式为，得出，，作点关于轴的对称点，连接，得出，当点在上方时，此时点为点，设交轴于点，利用，求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解；当点在下方时，此时点为点，易知，过点作直线的平行线，交直线于点，得出，求出直线的解析式为，设，利用列式求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过，，∴抛物线的解析式为，将代入，得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，延长，交延长线于点，设直线解析式为，将，代入，得：，解得：，∴直线解析式为，设直线解析式为，将，代入，得：，解得：，∴直线解析式为，设，∵轴，则，，∴，，∵轴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，，，∴，∴，∵，，∴当时，取得最大值，此时，此时点位置如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，过点作轴，过点作轴，与交于点，∴，，∵，，∴，∴，∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴，即，由平移的性质得，∴，如图，过点作轴，过点作于，∴，，∴，∴，∴，∴，由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，∵，∴的最小值为；（3）解：如图，过点作轴于点，则，，∴，∴，同（2）中的平移方法可得沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式为，令，得，解得：，，∴，，作点关于轴的对称点，连接，∴，∴，∵，∴，∴，当点在上方时，如图，此时点为点，设交轴于点，∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，联立，得：，解得：，，∴的横坐标为；当点在下方时，如图，此时点为点，易知，过点作直线的平行线，交直线于点，∵，∴，∴，∴，设直线的解析式为，将代入，得，∴直线的解析式为，设，∴，，∴，解得：，∴，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，联立，得：，解得：，，∴的横坐标为；综上所述，的横坐标为或．【点睛】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，点到直线的最短距离，勾股定理，等腰三角形的判定，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为；(2)的值为或；(3)最大值【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；（2）分两种情况：当，即时，随增大而减小，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；（3）把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，∴，解得：或，∵，∴，∴抛物线的解析式为，∵，∴顶点的坐标为；（2）解：如图，当，即时，随增大而减小，由题意得：，解得：，（舍去），∴的值为，如图，当时，随增大而增大，由题意得：，解得：（舍去），，∴的值为，综上所述，的值为或；（3）解：由题意得：当时，则，∵经过点，∴，可得，∴，如图，设点，且，∵轴，∴，可得：，则，∴，∵，∴当时，取得最大值；【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．3．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）在线段上取，使得，连接，，当、、共线时，取到最小值，即取最小值．再据此求解即可；（3）先求出平移后的抛物线．再分为：①点在上方时，当平行时，，②点在下方时，点关于直线的对称点，，分别解答即可．【详解】（1）解：由题知解得．∴；（2）解：令，得．∴．令，则，解得或．∴，．设直线的解析式为，代入，得，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴∵，∴当时，最大．∵垂直对称轴，对称轴是直线，∴．如图，在线段上取，使得，连接，，∴，，．∴四边形是平行四边形．∴．∴．∴当、、共线时，取到最小值，即取最小值．∵，，∴，∴的最小值为；（3）解：如图，由（2）得当最大，．平移后的抛物线．①点在上方时，当平行时，，直线，与轴交于点，得解得或∴．②点在下方时，点关于直线的对称点，，直线，得解得或∴．综上所述，或【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行四边形的性质等知识，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．4．(1)(2)2(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出，由勾股定理得出，求出，，直线的解析式为，作轴交于，，得出，当最大时，取得最大值，设，则，表示出，结合二次函数的性质得出当时，的值最大为，取得最大值为，此时，作轴于，则，推出，当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，即可得解；（3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线，求出，分两种情况：当点在下方时，作交于，作轴于；当点在上方时，连接，延长交于，分别求解即可得解．【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：在中，当时，，即，∵，，∴，∴，，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，，解得：，∴直线的解析式为，如图，作轴交于，，则，∴，∴，∴当最大时，取得最大值，设，则，∴，∵，∴当时，的值最大为，取得最大值为，此时，作轴于，则，∴，∴当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，此时为点到轴的距离，为；（3）解：设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，∵将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，∴将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线，∵，∴，如图：当点在下方时，作交于，作轴于，，∵直线的解析式为，∴，∴为等腰直角三角形，∴，设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得：，∴，∴，，∴，设，则，，∵，∴，即，∴，∴，解得：或（不符合题意，舍去），此时点Q的横坐标为；如图：当点在上方时，连接，延长交于，，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，设，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴，同理可得直线的解析式为，联立，得，解得或（不符合题意，舍去）综上所述，点Q的横坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．5．(1)(2)(3)【分析】（1）先求得点B坐标，再待定系数法求解抛物线表达式即可；（2）先求得直线的函数表达式为，如图，过P作轴交直线于H，则，进而可得，则当最大时，取得最大值，设，则，，利用二次函数的性质求得取得最大值时的，连接，则轴，过D作，且，连接，，利用平行四边形的性质可两点之间线段最短得到的最小值为，进而求出点D、坐标，利用两点坐标距离公式求得即可；（3）先根据坐标与图形得到，，再求得新抛物线的解析式为，判断出，设直线与直线交点为M，，则，利用两点坐标距离公式求得，进而求得直线的函数表达式为，联立方程组求解即可．【详解】（1）解：由得，∵，∴，则，将，代入中，得，解得，∴该抛物线的表达式为；（2）解：令，则，∴，，设直线的函数表达式为，则，解得，∴直线的函数表达式为，如图，过P作轴交直线于H，则，∴，则当最大时，取得最大值，设，则，∴，∵，，∴当时，取得最大值，即取得最大值，此时，连接，则轴，∵M是直线PC上一动点，轴，∴，如图，过D作，且，连接，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，当、N、C共线时取等号，∴的最小值为，设直线的函数解析式为，则，∴直线的函数解析式为，联立方程组，解得，∴，则，∴，故的最小值为；（3）解：如图，连接，由（2）知，，直线的函数表达式为，∵轴交直线于点E，，∴，，，∵将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为，∵，∴，设直线与直线交点为M，，则，∴，解得，则，设直线的函数表达式为，将，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为，联立方程组，整理得，解得，∴满足条件的点F横坐标为．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、最短路径问题、坐标与图形、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想是解答的关键．6．(1)(2)，的最小值为(3)或【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与线段最值，二次函数与角度综合．（1）先求出，，再把代入，结合对称轴为直线求解即可；（2）先求出，直线解析式为，再设，则，得到，再说明是等腰直角三角形，得到的周长为，代入得到当时，的周长取得最大值，此时，，连接，，证明四边形和是平行四边形，得到，则，当在上时，最小，求出的长即可；（3）求出平移后抛物线的表达式为：，求出与直线的另一个交点，则设直线线的表达式为：，当点在点下方时，由，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出；点在点的上方时，取点，则，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出．【详解】（1）解：令得，，则，，∵，∴，∴，把代入得，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，解得，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：令，解得，∴，∴，∴，设直线解析式为，代入，得，解得，∴直线解析式为，∵轴，∴，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴的周长为，∴当时，的周长取得最大值，此时，，∴，连接，，∵作轴，轴，∴四边形是平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴当在上时，最小，∵，，∴的中点G坐标为，∴，∴的最小值为；（3）解：将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移个单位，再向上平移了个单位，，则新抛物线的表达式为：，将代入上式得：，解得或，∴，故新抛物线的表达式为：，联立上式和直线的表达式并解得：（舍去）或，∴点，∴设直线线的表达式为：，当点在点下方时，∵，∴，由，，得，直线的表达式为：，则直线的表达式为：，联立，解得或，∴，当点在点的上方时，取点，则轴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由，，得，直线的表达式为：，∴直线的表达式为：，联立，解得或，∴，综上所述，当时，点Q的坐标为或．7．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解；（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可；（3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解．【详解】（1）解：令，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴，将和代入得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：令，则，解得或，∴，设直线的解析式为，代入，得，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵，∴当时，最大，此时，∴，，，∴，，连接，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴当共线时，取最小值，即取最小值，∵点为线段的中点，，，∴，∴，∴的最小值为；（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，∴，∴新抛物线由向左平移3个单位，向下平移3个单位得到，∴，过点作交抛物线于点，∴，同理求得直线的解析式为，∵，∴直线的解析式为，代入得，解得：，∴直线的解析式为，联立得，解得，，当时，，∴，作关于直线的对称线得交抛物线于点，∴，设交轴于点，在上截取，过点作轴，作轴于点，作于点，当时，，解得，∴，∵，，∴，∴，∵轴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，同理直线的解析式为，联立，解得或，当时，，∴，综上，符合条件的点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．8．(1)(2)9(3)或【分析】（1）把代入得，根据对称轴为直线得，联立求解即可；（2）把抛物线化为顶点式可知时，y有最小值1．利用二次函数的性质求出最大值，然后求差即可；（3）设点N在抛物线上，，根据求出m，再求出A、B点的横坐标，结合图形即可求出点M的横坐标m的取值范围．【详解】（1）∵抛物线过点，对称轴为直线，∴解得，∴抛物线的解析式为；（2）当时，．∵，∴当时，y有最小值1．当时，结合函数图象，当时，y有最大值10，∴抛物线的最大值与最小值的差为；（3）设点N在抛物线上，，则，即，解得．当，整理得，解得．∵点A在点B的左侧，∴点A的横坐标为，点B的横坐标为2．结合图象，当线段与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，以及二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．9．(1)，(2)(3)存在，点的坐标为，，，【分析】本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题．（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令可求出点B的坐标；（2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接交y轴与点J，利用的面积计算求出；（3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，分四种情况进行求解．【详解】（1）解：将点代入中得，，解得，，即，当时，，解得，，，∴点B的坐标是，故答案为：，；（2）解：∵，∴点，点，设直线的表达式为，且经过点，点，∴，解得，，∴，∵点在直线的图象上，点在抛物线上，∴设点，，∵，轴，∴，（对顶角相等），∴，在中，，，∴，∴，，在中，，，∴，，∴，∴，，，，∴当时，最大，此时，，如图所示，在轴上取点，过作的垂线段交轴于点，连接，交轴于点，在中，，则∴，∵，即，∴在中，，，∵，，∴直线的解析式为：，∴点，，∴，即，∴，∴当的周长取得最大值时，的最小值即为的值，即．（3）解：存在，由（2）可知，，即点，将点向下平移个单位得到点，∴点，在中,则，取的中点G，则有，∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I，∵，∵，∴，∴，∴设，∴，∴，即点，同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点，当点在轴负半轴上时，点，当点在轴负半轴上时，点，综上，点的坐标为，，，．10．(1)(2)(3)①点时，有最大值，且最大值为；②【分析】（1）令，求解对应的一元二次方程即可；（2）作点A关于直线BC的对称点T，连接交于点D，则此时周长的最小，即可求解；（3）①连接，作轴交于点，，；求出直线直线的解析式，即可由点坐标得到点坐标，进而即可求解；②解法同①．【详解】（1）解：令，则，解得：∴；（2）当时，抛物线的表达式为：；则点，则直线和x轴负半轴的夹角为，如图，作点A关于直线的对称点T，则，，∴为等腰直角三角形，，∴点，

连接交于点D，则此时周长的最小，理由：周长为最小，由点T的坐标知，，则周长最小值；（3）解：连接，作轴交于点，如图所示：

∵，∴，，①若点C的坐标为，则，∴设直线的解析式为：，则，解得：，∴直线的解析式为：，设点，则∴∴当，即点时，有最大值，且最大值为；②点C的坐标为，设直线的解析式为：，则，解得：，∴直线的解析式为：，设点，则∴∴当有最大值，且最大值为；∴解得：．【点睛】本题考查了二次函数与周长、面积等综合问题．熟练掌握相关知识点，进行严密的逻辑推理是解题关键．11．(1)(2)当时，二次函数的最大值为，最小值为(3)①；②线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解；（2）将二次函数解析式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，即当时，取最大值为，再结合，计算即可得出答案；（3）①表示出，分和计算即可得出的取值范围；②由得出，再利用分类讨论和数形结合的思想求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为：；（2）解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，取最大值为，∵，∴当时，取最小值，，∴当时，二次函数的最大值为，最小值为；（3）解：①由题意得：，当时，，的长度随的增大而减小，满足题意，当时，，的长度随的增大而增大，不满足题意，∴，解得：；②∵，∴，解得：，如图，当时，点在最高点，与图象有1个交点，，如图，当时，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点，，直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为，∴时，与图象有个交点，，当时，与图象有1个交点，，综上所述，线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法二次函数的解析式、二次函数的最值问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．12．(1)(2)(3)【分析】（1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可；（2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解；（3）分析可知，且，，共线时所求线段最小，作，过点作交于点，交轴于点，得出，最后根据勾股定理和含直角三角形性质求解即可．【详解】（1）将点，代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，过点作轴交于点，设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入，得，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，当时，的面积有最大值，此时；（3）如图2，作，过点作交于点，交轴于点，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，动点线段最短问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键．13．(1)(2)(3)当时，最大，最大值为(4)或【分析】（1）根据，，可得点A（-6，0），B（2，0），再代入解析式，即可求解；（2）根据二次函数的轴对称性，可得当点M在线段AC上时，BM+CM最小，最小值等于AC的长，即可求解；（3）先求出直线的解析式为，然后设点的坐标为，可得点P的横坐标为，从而得到PE的长，即可求解；（4）分两种情况讨论：当点N在AC的上方时和当点N在AC的下方时，即可求解．【详解】（1）解∶∵，，∴OB=2，OA=6，∴点A（-6，0），B（2，0），把点A（-6，0），B（2，0）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图，∵点是抛物线对称轴上的一个动点，∴AM=BM，∴BM+CM=AM+CM≥AC，即当点M在线段AC上时，BM+CM最小，最小值等于AC的长，令x=0，则y=-6，∴点C（0，-6），∴OC=6，∴，即的最小值是，故答案为：（3）解：设直线AC的解析式为，把点C