2025年中考数学总复习《三角形压轴题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《三角形压轴题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，．求证：．2．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并证明．3．如图，在中，是边上一点，．(1)求证：；(2)若，求的长．4．如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，．(1)求的度数；(2)求的长．5．如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且．(1)求证:;(2)求的度数．6．如图，是斜边上的中线，点位于边上，且．(1)求证：．(2)若，，求．7．如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，．(1)当时，的度数为_____；(2)求的度数（用含的式子表示）；(3)若，求的值．8．在等边中，点D为线段上一动点，连接，F为直线上一动点．(1)如图1，当点D为中点时，点F在线段上，连接．若，求的长；(2)如图2，若点F为延长线上一点，且，点E为延长线上一点，且．猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在（1）的条件下，G为线段上一点，连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段连接当的值最小时，的面积为．9．在等边中，点D在直线上，连接，过点B作于点H．(1)如图1，点D在的延长线上，，，求的长度；(2)如图2，点D在边上，点E在边上，且，与交于点F，若点F恰是的中点，请用等式表示与的数量关系，并证明；(3)如图3，点D在边上，过点H作．连接、，将沿翻折至，连接，，请直接写出当取得最大值时的值．10．如图1，在中，，，点为中点，连接，点为中点，连接，过作交于．(1)若（），求的值（用含有的代数式表示）；(2)如图2，若，，求的值．11．在中，，D是上一点．，，连接．(1)当时，如图①，线段之间的数量关系是______；(2)当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．12．在△中，，点为的中点，点、分别在边、上．(1)如图1，若，，，求的值；(2)如图2，当，时，求证：；(3)如图3，连接，已知，，，若，用三条线段、、围成的三角形的面积为，求的长．13．将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系．已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E．(1)如图1，线段，，之间的数量关系是____________________；(2)如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立?并说明理由；(3)如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积．14．如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点．(1)如图1，求证：；(2)在点、点运动过程中，______°；(3)如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论．15．在等边中，点是射线上一点，点是线段上一点，将绕点逆时针旋转得到．(1)如图1，若点恰好落在边上，点是的中点，交干点，，求的面积；(2)如图2，若，连接、，求证：；(3)如图3，若，，连接，，，当最小时．直接写出四边形的面积．参考答案1．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由全等三角形的判定方法可证明即可解答问题．【详解】证明：点为的中点，在和中，，，，．2．(1)证明见解析；(2)四边形是矩形，理由见解析．【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由是的中点，得，再通过平行线的性质可得，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可求证；（）由（）得，又是边上的中线，所以，则有，从而证明四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形的三线合一可求出，最后由矩形的判定方法即可求解．【详解】（1）证明：∵是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：四边形是矩形，理由，由（）得，，∵是边上的中线，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，是边上的中线，∴，∴，∴四边形是矩形．3．(1)见解析(2)【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．（1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可；（2）直接根据勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：，，，，，是直角三角形，且，；（2）解：由（1）知，，，，，．4．(1)(2)【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．（1）根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形；（2）利用勾股定理求出的长，即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∴是直角三角形，．（2）解：∵，∴，∴在中，，∴5．(1)见解析(2)【分析】（1）根据“AAS”判定和全等即可．（2）先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据，进一步求得的度数．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．【详解】（1）证明：在和中（2）平分6．(1)见解析(2)3【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据已知条件和三角形外角定义求得，再两个角对应相等的两个三角形相似求解；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而求出的长度，再利用相似三角形的对应边成比例来求解．【详解】（1）证明：是斜边上的中线，，，在中，．又即，，．（2）解：是斜边上的中线，，，，即，解得或(舍去)，．7．(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，三角形内角和为是解题的关键．（1）先根据题意得到，再由三角形内角和定理求出，则；（2）同理求出，则由三角形外角的性质得到；（3）先得到，再由三角形内角和定理得到，即可求出．【详解】（1）解：，，∴，∵是中边上的高线，∴，即，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵是中边上的高线，∴，即，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∵，∴，∴．8．(1)(2)；证明见解析(3)【分析】（1）过点D作于点G，则，由等边三角形的性质得出，，求出，由勾股定理可得出答案；（2）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（3）在截取，连接，证明，得出，，由（1）知，证出，点H在直线上运动，作点A关于直线的对称点T，连接交直线于H，此时的值最小，由等腰三角形的性质、直角三角形的性质可得出答案．【详解】（1）解：过点D作于点G，则，∵为等边三角形，，∴，∵点D为中点，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，（2）解：，理由如下：在上截取，连接，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（3）解：在截取，连接，∵，∴为等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴，点H在直线上运动，作点A关于直线的对称点T，连接交直线于点K，连接交直线于H，此时的值最小，∵于K，，∴，过点A作于I，则四边形是矩形，∴，∴，即，如图，过点D作于点，交的延长线于点，则，∴，又，∴，∴，∵，∴,∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．(1)(2)；证明见解析(3)【分析】（1）过点A作于点E，根据等边三角形的性质得出，，解直角三角形得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后得出答案即可；（2）过点E作于点G，证明，得出，，设，则，，求出，证明，得出，设，则，求出，根据，求出，得出，求出，即可得出答案；（3）延长，交于点G，证明四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，说明点N在以为直径的圆上运动，取的中点O，以点O为圆心为半径作圆，连接并延长，交于点N，此时最大，设，则，解直角三角形，求出，，最后根据，代入求出结果即可．【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示：∵为等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，根据勾股定理得：，即，解得：，负值舍去，∴．（2）解：，理由如下：过点E作于点G，如图所示：∵为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵∵，∴，∴，∴，∵点F为的中点，∴，设，则，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延长，交于点G，如图所示：根据折叠可知：，，，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∵等边中，∴，∴，∴点N在以为直径的圆上运动，取的中点O，以点O为圆心为半径作圆，连接并延长，交于点N，此时最大，设，则，∵为等边三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，如图，过点D作于点K，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关判定和性质．10．(1)；(2)1．【分析】本题主要考查了求角的正切值，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键；（1）导角证明，则可证明，可得，设，，，再由勾股定理求出的长，最后根据正切的定义求解即可；（2）延长至，使得，连接、，证明，得到，导角证明，则可证明，得到．则．【详解】（1）解：∵点为中点，，∴，∴．∵，，∴，∵，，∴，∴，设，，，根据勾股定理，，∴；（2）解：延长至，使得，连接、，如图，∵，，，∴，∴，∴∵，，∴，∴，又∵，∴，∴．∴．11．(1)(2)图②结论：，图③结论：，证明见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．（1）根据，，得，由，即知，从而，有，故；（2）①如图，过点E作交的延长线于点，求出，由可得结论；②如图，过点E作交于点，方法同①【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：①如图，过点E作交的延长线于点，∵∴∴∴∴∴∴，∵,∴,∴,∴②如图，过点E作交于点，∵∴∴∴，∴,∴∵，∴，∴，∴12．(1)3，(2)见解析，(3)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论；（2）如图2中，连接，作于，于．证明，，可得，，推出，再利用直角三角形30度角性质即可解决问题．（3）延长到，使得，连接，，作于．首先证明，求出，即可解决问题．【详解】（1）解：连接，点为的中点，，，，，，，，，，，同理，，；（2）证明：如图2中，连接，作于，于．，，，，，，，，∴，，，，∴，，，，，，，，，，，；（3）解：延长到，使得，连接，，作于．，，，，，，，，，∴，∴，，，，，由题意得：用三条线段、、围成的三角形的面积为，即由、、组成的三角形，，，，∵在中，，∴，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．13．(1)(2)不成立，见解析(3)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明得出，，再结合，即可得解；（2）证明得出，，再结合，即可得解；（3）由（2）结论可知，，再由三角形面积公式计算即可得解．【详解】（1）解：，，，，，，在和中，，，，，∵，∴；（2）解：不成立；理由：，，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：由（2）结论可知，，．14．(1)见解析(2)(3)与的数量关系为，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：，，根据题意得：，即可得证；（2）由可得，由为等边三角形得，根据三角形的外角性质即可求解；（3）延长到，使，连接，以为边作等边，连接，证明得到，，推出，得到，证明得到，，推出，证明得到，即可判断．【详解】（1）证明：为等边三角形，，，点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，，在和中，；（2）为等边三角形，，，，是的外角，，故答案为：；（3）与的数量关系为，理由如下∶延长到，使，连接，以为边作等边，连接，如图2所示∶，、、三点共线，点为边中点，，在和中，，，，，，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．15．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据题意先证明为等边三角形，得，，则，由旋转可知，，，再证，得，进而可知，则，，过点作，则，即可求解；（2）结合等边三角形的性质，在上截取，则为等边三角形，，证明，得，，由旋转可知，，，则，在上截取，连接交于，然后证，得，，再证四边形为