2025年中考数学总复习《图形的相似中旋转问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《图形的相似中旋转问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．四边形中，，，，，，动点P从B到C沿运动，点P运动的路程为x．(1)求的最小值；(2)线段绕点P顺时针方向旋转，得到线段．①若点Q恰好落在边上，求x的值；②连接，若，求的值．2．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)．【初步感知】（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值；【深入探究】（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；【拓展延伸】（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．3．如图，在中，，绕点C按顺时针方向旋转得到与交于点D．(1)如图1，当时，过点B作，垂足为E，连接．①求证：；②求的值；(2)如图2，当时，过点D作，交于点N，交的延长线于点M，求的值．4．综合与探究问题情境：在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片和探究旋转的性质，将矩形纸片绕点逆时针旋转，其中．初步探究：（1）如图1，连接，在矩形纸片旋转的过程中，的值为___________；问题解决：（2）如图2，连接，当点恰好落在上（不与点重合）时，与边交于点，延长交边于点，求的长；（3）连接，当时，请直接写出的面积．5．如图1，在等腰中，，，点M、N分别是、的中点，连接．将绕点B逆时针旋转，射线、相交于点Q．(1)如图2，在旋转过程中，的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由，若不变，请求出度数；(2)当点N在直线上方时，①如图3，当时，求的长；②连接，当线段的长度最小时，求的值．6．如图，正方形和正方形，连接，．易得线段（数量关系），（位置关系）．(1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是；位置关系是；(2)[探究]：如图，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由．7．如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．(1)当，时，①求证：；②连结，，若，求的值；(2)当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形．8．如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F．(1)求的值；(2)如图2，当旋转，且时，求的值；(3)如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论．9．如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，垂足为．(1)求证：四边形是正方形；(2)探究与证明：如图2，将正方形绕点顺时针方向旋转，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展与运用：如图3，正方形绕点C沿顺时针方向旋转角，当三点在同一条直线上时，延长交于点，若，求的长．10．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为．(1)问题发现①当时，______；②当时，______；(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长．11．如图1，在和中，，，，连接，．(1)如图2，当、时，，的位置关系为：________．(2)如图1，当、时，求直线与相交所成锐角的大小．（用表示）(3)当，，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．12．如图（1）矩形中，．将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或）于点，交边（或）于点，当旋转至处时，的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时，__________（填：“”或“”）(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设面积为，试确定关于的函数关系式；当时，求出所对应的t的值．13．在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学们用两张长、宽比相同（即）的长方形纸片和展开探究活动，其中．【思考尝试】(1)小明同学把两张长方形纸片按如图1放置，连接、、，兴趣小组在探究过程中，发现小长方形纸片在绕着点C的旋转过程中，线段和之间的数量关系不变，请你猜想这个数量关系，并说明理由．【实践探究】(2)小睿同学受此问题的启发，思考并提出新的问题：将小长方形纸片绕点C旋转至如图2所示位置，此时A、G、E共线，且交于点M．若，，求的长．【拓展迁移】(3)小聪同学深入研究小睿提出的问题，继续研究发现并提出新的探究点：如图3所示，在图2的基础上延长交于点H，若，，求的长．14．定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”．(1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）；②如图2，若与互为“旋转相似图形”，，，则；③如图2，若与互为“旋转相似图形”，若，则，若连接，则．(2)知识运用：如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转相似图形”；(3)拓展提高：如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，求和的长．15．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．【初步感知】（1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试证明，并求出的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出满足条件的所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．参考答案1．(1)(2)①；②【分析】（1）根据题意，当时，取最小值，此时证明四边形为矩形，进而解得，的值，然后由勾股定理求解即可；（2）①当点恰好落在边上时，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，即可获得答案；②过点作于点，过点作于点，证明，得，，再证明，由相似三角形的性质可解得，证明为等腰直角三角形，可解得，的值，然后根据正切的定义求解即可．【详解】（1）解：（1）根据题意，当时，取最小值，如图，∵，，，，当时，有，四边形为矩形，，，，，在中，，的最小值是6．（2）解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图，，，，又，，，由（1）可知，此时，，，，即的值为8；②过点作于点，过点作于点，如图，，，，又，，，，，，，，，即，解得，在中，，，，即为等腰直角三角形，，，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．2．（1）

（2）

（3）或【分析】（1）证明即可解答；（2）如图，通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答；（3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．【详解】解：（1）∴，由旋转得：，，，∴；（2）如图2，延长交于，连接交于，由（1）知：，∴，∵是中线，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴是矩形，∴，，∵，∴，设，∵，，∴，，，，，∴，，由勾股定理得：，即解得，；（3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于，，∴四边形是矩形，，设，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，即，，中，，，解得：(负值舍)，∵，即，；②如图，，过点作于，，∴四边形是矩形，，，，由勾股定理得：；综上，的长是或．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键．3．(1)①见解析；②(2)3【分析】（1）①根据旋转性质可知，根据平行线的性质可知，得到，推出，再由等角的余角相等可得，推出，最后推出结论；②过点E作于M，证明，，根据相似三角形的判定和性质求出的长，则可求出，即可求得，进而求得答案；（2）根据勾股定理求出长，根据三角形面积相等求出，由相似三角形的判定可知，推出，求得的值，根据平行线分线段成比例定理可知，求出，由得出的值，进而求得的值即可．【详解】（1）①证明：∵绕点C按顺时针方向旋转得到，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴∴∴，②解：过点E作于M，∵∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴∵∴设，在中，，则解得即，同理可得：∴∴（2）解：在中，，则∴解得：∵∴∴即解得：∵∴∴∴，即∵∴∴∴∴【点睛】本题考查是三角形旋转综合题，涉及到旋转的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角形的面积、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键．4．（1）；（2）；（3）16或64【分析】（1）根据矩形的性质，从而有，又，得到，根据相似三角形的性质即可解答；（2）连接，交于点H，证明，得到，根据“三线合一”得到，，进而根据，，得到，通过解直角三角形得到，，，进而，，因此在中，，在中，，因此有，，根据，即可求出，从而即可解答；（3）分两种情况讨论，均证明点A，E，C在同一直线上，得到或，根据三角形的面积即可求解．【详解】解：∵四边形，是矩形，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴．故答案为：（2）连接，交于点H，∵在矩形和矩形中，，∴，∴在和中，∴，∴，∵，∴，，∴∵，∴，∵在矩形中，，，∴，∴，，∴，，∴在中，，在中，，∴，，∴，∵在矩形中，，∴，∴，即，∴，∴．（3）分两种情况讨论：①如图，若，∵，∴，∴点A，E，C在同一直线上，∴在中，，∴，∵在矩形中，，∴．②如图，若，∵在矩形中，，∴与重合，∴，∴．综上所述，当时，的面积为16或64．【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角形函数解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键．5．(1)的度数为(2)①②【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）设与交于点P，然后根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，即可得到，然后根据三角形的内角和解题即可；（2）①过点作于点，证明，即可求出和长，然后再根据等腰直角三角形的性质得到长解题即可；②先得到当Q与M重合时，最小，过点N作于点E，先根据勾股定理求出长，然后利用等腰直角三角形得到和长，然后求正切解题．【详解】（1）解：的度数不变，如图，设与交于点P，∵，，∴，∵点M、N分别是、的中点，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴的度数不变；（2）解：①如图，过点作于点，则，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，，又∵，∴，∴；②如图，∵，∴点Q在以为直径的圆上移动，连接，则，当最大时，最小，即当Q与M重合时，最小，过点N作于点E，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．6．(1)，(2)，，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．（1）证明得，，又，，得，所以，既可求解；（2）延长交于，交于，证明得，，所以，结合，可得，所以，即可求解．【详解】（1）解：如图，延长交于，交于，四边形和四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）解：，，理由如下：如图，延长交于，交于，四边形与四边形都为矩形，，，即，，，，，，，，，，，，，．7．(1)①见解析；②(2)的长为3或或．【分析】（1）①根据菱形的性质，证明，根据对应边相等可得；②连接，证明，得出，可得，设，则，勾股定理得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解．（2）连接，证明，则，是等腰三角形有三种情况：①当时，②当时，③当时，根据相似三角形的性质与判定进行计算即可求解．【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②解：连接，如图所示：∵四边形是菱形，∴，由①知，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，设，则，∴，∵，，，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图：连接，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理：，∴，∴，是等腰三角形有三种情况：①当时，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②当时，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；③当时，则，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；综上所述，的长为3或或．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．8．(1)(2)(3)变化，【分析】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）根据题意得到，，证明，，；（2）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论；（3）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论．【详解】（1）解：∵矩形，，，，∴，，∴，，又∵是的中点，∴，，∴，∴；（2）解：过点作，垂足分别为．由（1）得．∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴；（3）解：的值有变化．过点作，垂足分别为．同理，∴，∵，∴，，∴．9．(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）由，，结合可得四边形是矩形，再由，即可得证；（2）连接，只需证即可得；（3）证得，设，知，由得、、，由可得a的值，即可求得的值．【详解】（1）证明∵四边形是正方形，，，，，，∴四边形是矩形，∵，，∴为等腰直角三角形，，∴四边形是正方形；（2）解：，理由如下：如图，连接，∵四边形是正方形，四边形是正方形，则，，，，，则，，，，，；（3）解：∵四边形是正方形，∴，，点B、E、F三点共线，，，，，，，，设，则，则由，得，，则，，∴由得，解得：，即．【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合题，正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．10．(1)①2；②2(2)当时，的大小无变化，见解析(3)10或6【分析】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键．（1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得；（2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化；（3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解．【详解】（1）解：①当时，，，，，即，；故答案为：2；②当时，如图所示：则三点共线，，，，，，即，；故答案为：2；（2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，即：，而，，，故：当时，的大小无变化；（3）当旋转到如图位置，，三点共线时右侧），由题意得：，由，得：，由勾股定理得：，，当旋转到如图位置，，三点共线时左侧），此时，，是的中位线，，由勾股定理得：，，故线段的长为10或6．11．(1)(2)直线与相交所成锐角的大小为(3)或【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（2）延长交于点．证明，得出，根据三角形内角和定理即可得出；（3）分两种情况：当D在线段上时，当E在线段上时，同理可得：，根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】（1）解：如图，延长交于，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：延长交于点，交于O．，，，，，∵，，，即直线与相交所成锐角的大小为；（3）当绕点逆时针旋转使得、、在同一条直线上时．，，∴，，则，由（2）知，，则，，在中，，解得：（舍去），，当绕点顺时针旋转使得、、在同一条直线上时．同理可得：，，，则，，即在中，，解得：（舍去），综上所述：或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，锐角三角函数、一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．12．(1)(2)在旋转过程中，的值为定值．理由见解析(3)当点在上时，，当时，；当点在上时，；当时，【分析】本题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，利用相似三角形的性质求解以及分类讨论是解答的关键．（1）根据矩形的性质和等角的余角相等得到，，然后根据相似三角形的判定可得结论；（2）当点在上时，过点作，垂足为，同（1）方法可证得到，证明四边形是矩形得到，进而可得，当点在上时，同理可求解；（3）当点在上时，由（2）得，由题意可得，，，，进而得到，当时解一元二次方程即可求解，当点在上时，同理可求解．【详解】（1）解：矩形中，，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）解：在旋转过程中，的值为定值．理由：当点在上时，如图，过点作，垂足为，类比（1）可得：，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴；当点在上时，点在边上，如图，过E作于Q，，则四边形是矩形，∴，同理可证明，∴，综上，在旋转过程中，的值为定值；（3）解：当点在上时，点在边上，由（2）知，∴，又∵，∴，且，∴，∴，∴，即，当时，，解得：，（不合题意，舍去），∴；当点在上时，点在边上，如图，则，，，且，∴，由（2）知，∴，则，∴,∴，即，当时，，解得：，（不合题意，舍去），∴，综上，当点在上时，，当时，；当点在上时，；当时，．13．(1)，理由见解析(2)(3)【分析】（1）连接，利用三角函数的知识得到；先证明得到，，进而推出，得到，即可得出结论；（2）利用勾股定理求出，利用线段比例关系得出的长，再通过证明得到，代入数据得到、的长，进而得到、的长，再利用即可求解；（3）结合（1）和（2）中的结论可证出，得到，设，利用线段比例关系得出，则有，利用勾股定理求出，再利用列出方程解出的值，即可得出答案．【详解】（1）解：，理由如下：如图，连接，长方形纸片和，，，在中，，，，，，，，，，，，，．（2）解：，，在中，，，，，，，，，，，，，．（3）解：由（1）得，，，由（2）得，，，，即，，又，，，设，则，，，，，，解得：，，在中，，，，解得：，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、特殊角的三角函数、勾股定理、二次根式的计算，熟练掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理论证能力，适合有能力解决难题的学生．14．(1)①是；②50，③10，(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握“旋转相似图形”的定义是解题的关键．（1）①根据“旋转相似图形”的定义判断即可；②根据“旋转相似图形”可得即，再根据三角形内角和定理求解即可；③根据“旋转相似图形”可得，根据相似三角形的性质列比例式求解即可，进而证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．（2）先证明可得，再先后证明、，最后根据“旋转相似图形”的定义即可证明结论；（3）如图：如图，过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质易得，再根据“旋转相似图形”的定义可得可得，再解直角三角形可得、，然后说明，最后运用勾股定