2025年中考数学总复习《一次函数解答题综合之最值问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《一次函数解答题综合之最值问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点．(1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，①求a，c的值．②当时，函数的最小值为，最大值为1，直接写出的取值范围．2．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个锐角顶点，则函数是的“勾股函数”．若函数经过直角三角形的两个锐角顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，函数的最大值记为，最小值记为，，则是的“”值．已知：在平面直角坐标系中，，，轴．(1)如图，点坐标为，．①判断一次函数是不是的“勾股函数”，若是，求出的“”值：若不是，请说明理由．②是否存在反比例函数是的“勾股函数”．若存在，求出值：若不存在，请说明理由．(2)若点的坐标为，点的坐标为，二次函数是的“勾股函数”，且的“”值，求的值．3．有如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：如图，点，，的“完美间距”是．(1)点，，的“完美间距”是______；(2)已知，，，①若点的，，的“完美间距”是，则的值为______；②点，，的“完美间距”的最大值为______；(3)已知点，，点为线段上一动点，当，，的“完美间距”最大时，求此时点的坐标．4．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，．(1)在点，，中，点是线段关于原点O的“伴随点”；(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；(3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．5．已知一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，点，记，(1)求的值；(2)点在直线上，且在点的下方，以为直径的与线段CD有交点，求的面积的取值范围．(3)在（2）的条件下，将线段绕点按逆时针旋转得到线段，再将线段绕点按顺时针旋转得到线段，再将线段绕点按逆时针旋转得到线段，若抛物线经过A、B、、四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差．6．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．

(1)_____；(2)点B在此一次函数图象上，其横坐标为，请求出的面积；(3)点M在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上A、M两点间的部分（包括A、M两点）记为G，①当图象G的最大值与最小值之差为1时，求m的值；②平面内有一点，以点O为对称中心构造矩形，使得轴，当图象G与矩形只有一个交点时，直接写出m的取值范围．7．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．(1)在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；(3)已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．8．直线与x轴，y轴交于M，N两点，将绕点O按顺时针方向旋转得到，，所在的直线相交于点A．(1)如图1，当时，且轴时，过点N作，垂足为B，求的面积；(2)当线段垂直于线段时，过点A作，交x轴于点C，求点C的坐标；(3)点其中，点Q在上，在整个旋转过程中，的最大值和最小值的和为__________．9．如图，将边长为15的正方形置于直角坐标系中，、分别与x轴、y轴的正半轴重合，边长为的等边的边垂直于x轴，从点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向右平移，当边与直线重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，停止移动．设运动时间为x秒，的面积为y．

(1)当x为何值时，P、A、B三点在同一直线上，求出此时A点的坐标；(2)在向右平移的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？(3)在移动的过程中，请你就面积大小的变化情况提出一个综合论断．10．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：茶叶品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a200乙300已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．(1)求a的值；(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．①求销售完这两种茶叶的最大利润；②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．11．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．(1)分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；(2)若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；(3)将函数的图象向下平移m个单位，得到的函数边界值是t，当m在什么范围时，满足？12．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：如图，点，，的“完美间距”是1．(1)点的“完美间距”是_____________；(2)已知点．①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为____________；②点O，A，B的“完美间距”的最大值为_____________；③已知点，点为线段CD上一动点，当的“完美间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．13．如图，在直角坐标系中，已知点、.（1）求直线所对应的函数关系式.（2）点是轴上的动点.①求的最小值，并求出满足条件的的值.②是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出满足条件的的值；若不存在，请说明理由.14．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形，的“近距”，记作；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形，的“远距”，记作．已知点，．（1）（点，线段）______，（点，线段）______；（2）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，若（线段，线段），①求的值；②直接写出（线段，线段）______；（3）的圆心为，半径为1．若（线段），请直接写出（，线段）的取值范围．15．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（，），（，），…，都是和谐点．（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点（，），①求a，c的值．②当时，函数的最小值为－3，最大值为1，直接写出的取值范围．参考答案1．(1)，(2)①，；②【分析】（1）假设存在和谐点，设其坐标为，则可得，解方程即可；（2）①令，即，由二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则方程只有一个实数解，再由和谐点坐标为，即可得到方程的解为，由根与系数的关系得到，由此求解即可；②画出的函数图像，然后利用函数图像进行求解即可．本题主要考查了求一次函数的图像上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．【详解】（1）解：（1）假设存在和谐点，设其坐标为，∴，解得，∴函数的图象上有一个和谐点；（2）①令，即，∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，∴方程只有一个实数解，∴，即，又∵和谐点坐标为，∴方程的解为，∴解得，∴．∴函数，即，②如图，该函数图象顶点为，与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过点．由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为1，∴．2．(1)①是，2；②存在，理由见解析；(2)，，．【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．（1）①先求出A、B的坐标，然后根据的“勾股函数”的定义判断即可；根据一次函数的性质求出，，最后根据的“”定义求解即可；②根据的“勾股函数”的定义判断即可；（2）先求出顶点坐标，然后分情况讨论：第一种情况，点B在点A上方，即，（i）当点B和点A在对称轴左侧；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即；第二种情况，点B在点A下方，即，（i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即，讨论即可．【详解】（1）解：①∵，轴，点坐标为，，∴点A的坐标为，点的坐标为．∵和这两点都在直线上，∴一次函数是的“勾股函数”，∵，∴一次函数的函数值随的增大而减小，∴当时，，，∴，∴的“”值为2．②答：存在．理由：∵点A的坐标为，点的坐标为，∴，∴点A和点在同一个反比例函数图象上，∴反比例函数是的“勾股函数”，且．（2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为，，轴，∴，∵二次函数经过A，两点，∴将，代入得：，解得：，∴，∴抛物线的对称轴为：直线，∴其顶点坐标为：，第一种情况，点在点上方，即，（i）当点和点A在对称轴左侧，即，解得，此时最大，最小，∴，，∴，∴，解得：，（ii）当对称轴在点和点之间，即，解得，∴，此时最大，顶点值最小，∴，∴，解得：，，∵，∴和都舍去第二种情况，点在点下方，即，（i）当点和点在对称轴右侧，即，解得，此时最大，最小，∴，，∴，∴，解得：，，∵，∴舍去，∴．（ii）当对称轴在点和点之间，即，解得，∵∴，此时最大，顶点值最小，∴，∴，解得：，，∵，∴舍去，∴综上所述，，，．3．(1)(2)①；②(3)【分析】本题主要考查一次函数背景下的新定义的题目；提炼出规则进行分类讨论是解题关键．（1）根据坐标中两点间的距离得出，，，再由题意“完美间距”的定义即可求解；（2）①根据两点间的距离公式得出，，，再由题意求解即可；②当和时得出“完美间距”的最大值，（3）求出解析式为，得，求出，，，，当、时分别求出“完美间距”得到最大值为，求出的值即可解决．【详解】（1）解：，，，，，，点，，的“完美间距”是，故答案为：．（2）①，，，，，，点的，，的“完美间距”是，，，故答案为：；②当，即时，“完美间距”是，当，即时，“完美间距”是，点，，的“完美间距”的最大值为，故答案为：；（3）设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，直线的解析式为，点为线段上一动点，，，，，，，，，，当时，，解得：，即时，“完美间距”：，“完美间距”的最大值为；当时，，解得：，即时，“完美间距”：，“完美间距”的最大值为，此时，．4．(1)和，(2)(3)n的最大值为，最小值为【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论；（3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可得解．【详解】（1）解：∵，，轴，如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：，其中点，在线段上，∴和是线段关于原点O的“伴随点”，故答案为：和；（2）解：，，，在第一象限，∵点是关于原点O的“伴随点”，∴点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，则：，绕点顺时针旋转得到，，，，，，，在第一象限，，设直线的解析式为，则，解得，∴，当在上时，m值最小，即，解得：，当在上时，m值最大，即，解得：，∴；（3）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为，∴其关于原点对称的抛物线解析式为，如图：绕点O逆时针旋转得到，其中，∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，∴当过时，n的值最大，把代入得，解得：，n的最大值为，当过时，n的值最小，把代入得，解得：，n的最小值为．【点睛】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．5．(1)(2)(3)【分析】（1）把点B的坐标代入一次函数解析式中即可求解；（2）当经过点时，此时圆的半径最大，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为K，H，证明，设点，由相似求出m的值，从而求得最大直径的值；当与线段相切于点经过点时，连接，与前面类似可求得最小直径的值；最后即可求得面积的范围；（3）设，，由（2）得的范围；连接，过点A作于点H，由旋转知，，则可求得点的坐标；由旋转性质易得四边形和四边形都是平行四边形．点、关于点对称，抛物线的对称轴为直线，从而设抛物线的解析式为顶点式，即；由抛物线经过A、B两点，则得方程组，整理得，即可求得抛物线顶点纵坐标的最大值与最小值，从而求得结果．【详解】（1）解：直线经过点，，．（2）解：（i）当经过点时，为直径，，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为K，H，，∴，，．设点，，解得，，，当与线段相切于点经过点时，连接，因为直径，所以圆心必在直线上，设，则点，则，连接，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为K，H，则点，同理可得，，整理得：，解得，（舍去），，．，，即，的面积的取值范围是：．即．（3）解：设，，，即，而，．如图，连接，过点A作于点H，由旋转知，，则，，∴轴，即轴，则，；由旋转知，，，，即∥，；∥，，四边形和四边形都是平行四边形．轴，点、关于点对称，轴，抛物线经过A、B、、四点，即对称轴经过、的中点，抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，图像经过和，，化简得，∵，，即；，，，，，．抛物线的顶点的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为．【点睛】本题是函数与几何的综合问题，考查了圆的知识，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，一次函数与二次函数等知识，综合性强，运算量较大，对学生的运算能力提出了较高的要求．6．(1)3(2)(3)①3或1；②或或【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质与判定，求一次函数解析式等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，得到，则；（3）①先求出，再由图象G的最大值与最小值之差为1，得到，解方程即可得到答案；②先证明矩形为正方形，再证明E一定在M的右下方，然后分当点E在第一象限时，当点E在第三象限时，当点F恰好在直线上时，当在点A上方时，三种情况结合函数图象求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，∴，∴，故答案为：3；（2）解：由（1）得一次函数解析式为，在中，当时，，∴，∴，∴；（3）解：①在中，当时，，∴，∵图象G的最大值与最小值之差为1，∴，∴∴或；②∵在直线上，且矩形以O为对称中心，∴矩形为正方形，∵，∴E一定在M的右下方，当点E在第一象限时，∵图象G与矩形只有一个交点，∴图象G与有一个交点，，∴；当点E在第三象限时，，如图所示，当点F恰好在直线上时，此时图象G与矩形只有一个交点，∴，解得；

如图所示，当在点A上方时，则，此时图象G与矩形只有一个交点，∴，

综上所述，或或．7．(1)和(2)(3)最大值为12，最小值为5【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，进行判断即可；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论；（3）将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时有最小值，当抛物线过点时有最大值，即可得解．【详解】（1）解：∵，∴轴，如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，

其中点，在线段上，∴和是线段关于原点O的“伴随点”；（2）解：∵，∴在第一象限，∵点是关于原点O的“伴随点”；∴点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，

则：，∵绕点顺时针旋转得到，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵在第一象限，∴，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴，当在上时，，解得：；当在上时，，解得：；∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．

∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，∴当过，即，解得：，n的最小值为；同理，当过，得到n的最大值为．【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．8．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）利用直线解析式求出点M、N的坐标，得到，，，证明，再结合，求出，过点B，作轴于点E，同理求出，再根据面积公式即可求出的面积；（2）依题意画出图形，证明，得到，结合，求出，，继而求出，利用证明，得到，再代入数据即可求出，从而得解；（3）根据题意得出：，，，从而得到，，继而得解．【详解】（1）解：令，解得：，∴，，当时，，∴，，∴，由旋转可知：，又∵轴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，即，解得：，，过点B，作轴于点E，同理，由，，，可得：，∴的面积为：；（2）依题意画图如下：由旋转可知：，，∵，∴，又∵线段垂直于线段，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，设，则，∵，即，解得：，，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴点C的坐标为：，（3）∵点其中，即，∴点P在以O为圆心，半径为1的圆面上，∵点Q在上，∴，由垂线段最短和旋转可知，的最小值就是点O到的距离，也就是点O到的距离，即，∴，即，如下图所示：，即，如下图所示：∴的最大值和最小值的和为：，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，旋转的性质，解直角三角形，三角形的三边关系，三角形的面积公式等知识，综合性较大，根据题意正确画图和作辅助线是解题的关键．9．(1)(2)，最大值为；，最小为(3)见解析【分析】此题考查了正方形的性质，正三角形的性质，三角函数的知识以及一次函数的应用．注意数形结合与方程思想的应用是解题的关键．（1）因为当P、A、B在同一直线上时，中，，所以根据三角函数与勾股定理的知识即可求得、与的长，则可得点A的坐标；（2）首先求得的长，又由，即可求得y与x的函数，则可知y的最大值与最小值；（3）由图象可知当向右移动时，的面积逐步增大，当向上移动时，的面积逐步减小．【详解】（1）如图，当P、A、B在同一直线上时，中，，

，则，（秒），此时点A的坐标为；（2）如图，

中，，当时，，，，，由一次函数性质可知：当时，；当时，；（3）由（2）知，向右移动时，当时，；当点C与点F重合时，即时，当向右移动时，的面积由逐步增大到；

当向上移动时，的面积由逐步减小到．10．(1)100(2)①41000元；②m的最大值为40【分析】（1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴a的值为100；（2）解：①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得：，其中，∵，∴y随x的增大而减小，∴当时，y的最大值，答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得：，∵，∴，∴y随x的增大而减小，∵，∴当时，y的最小值，解得：，∴m的最大值为40．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．11．(1)函数不是有界函数，是有界函数，边界值为：(2)(3)或【分析】（1）根据有界函数的定义和函数边界值的定义进行判断；（2）根据一次函数增减性、边界值确定，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取值范围；（3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围．【详解】（1）根据有界函数的定义可知，函数不是有界函数，是有界函数，边界值为：；（2），∴随的增大而减小，∵函数的最大值也是2，当时，，∴．当时，，根据题意可得：，解得；（3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值，与题意不符，故．当时，，即过点，当时，，即过点，将，都向下平移个单位，得到，，根据题意可得：或，或，或．【点睛】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，有界函数的定义以及解一元一次不等式组等知识点，属于中档题，难度一般，根据有界函数的定义结合边界值列出不等式组是解题的关键．12．(1)1(2)①；②4；③【分析】（1）根据坐标中两点间的距离得出，，，再由题意“完美间距”的定义即可求解；（2）①根据两点间的距离公式进行判断得出，，再由题意求解即可；②作出相应图象，然后根据直角三角形三边关系及“完美间距”的定义求解即可；③根据题意作出图象，然后分情况讨论：当时，即时；当时，即时，分别求解比较即可．【详解】（1）解：∵，，∴轴，∴，同理，，在中，，∵，∴“完美间距”为1，故答案为：1；（2）①∵，∴，同理，，在直角中，，，又∵点，的“完美间距”是2，且，，故答案为：；②由①可得，，，如图，∴“完美间距”的值为或者是的长，∵，，当时，“完美间距”为4，当时，“完美间距”为，∴点的“完美间距”的最大值为4，故答案为：4；③如图所示：设直线为，代入点D得，如图，，∴，∴直线的解析式为：，，且P是线段上的一个动点，∴轴，∴，，当时，即时，，“完美间距”为，此时；当时，即时，“完美间距”为，此时，∴点的“完美间距”取到最大值时，，∴，∴，∴．【点睛】题目主要考查一次函数背景下的新定义的题目，提炼出规则进行分类讨论是解题关键．13．（1）；（2）①的最小值为，此时；②当时，有最小值为0；当时，有最大值为.【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）①先求出与轴的交点坐标，确定的最小值，即可得到a的值；②求出点关于轴的对称点，当点、、三点共线时，此时有最大值.【详解】解：（1）设.由题意得解得：所以直线AB的函数解析式为.（2）①在中，令y=0，则x=4与轴的交点，的最