2025年中考数学总复习《有关二次函数的应用存在性问题》专项测试卷(带有答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《有关二次函数的应用存在性问题》专项测试卷(带有答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系．(1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义．(2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险．2．如图，斜坡上有若干树木，在斜坡的点A处有一喷水管，与点C的水平距离为，树高．某时刻从A处喷出的水流恰好经过树的顶端点B处，水流呈抛物线状．以的单位长度建立如图所示的平面直角坐标系，得到点．已知小树及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为．(1)求该抛物线解析式；(2)若抛物线恰好过树的树顶N，点M在斜坡上，且．①求M的坐标；②求树的高．3．田大爷的菜地中装有若干个垂直于地面的柱形喷水装置，用于灌溉蔬菜．每个装置有上、下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均是抛物线的一部分，田大爷可根据需要调节两个喷头的高度．该装置可绕自身自动旋转．某日田大爷将所有喷头都打开，其中一个喷水装置的喷头A喷出的水落在水平地面的点C，喷头B喷出的水落在水平地面的点D处，如图所示，以点O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．测量可知，喷头A喷出的水距的距离为处达到最高，且最高处距离地面．喷头B喷出的水流所在抛物线的开口方向和形状均与喷头A的相同．(1)求点C的坐标．(2)身高为的田大爷直立穿梭在菜地中，设他到的水平距离为．①当他在点间穿梭时，若他不会被喷头A喷出的水淋到，求p的取值范围．②当他在点间穿梭时，（填“存在”或“不存在”）p的值，使他不会被水淋到．4．某公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调研发现，销售量y（千克）与售价x（元）之间满足一次函数关系，且当售价为元时，能销售千克；当售价为元时，能销售千克；但售价最高不得超过元．(1)求与之间的函数表达式；(2)若公司增加其他营销手段，销售量将提高到原来的倍，但售价在元的基础上每增加元，需多支付其他费用元，请问售价为多少元，该商家能获得最大利润，最大利润是多少？5．某宾馆有若干间标准房，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在150~240元之间（含150元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：（元）…190200210220…（间）…65605550…(1)根据所给数据在坐标中描出相应的点，并画出图象；(2)求关于（）的函数解析式；(3)若不考虑其他因素，宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？6．如图，在河道中，建有三个钢拱，包括一个主拱和两个腹拱，均呈抛物线型．主拱跨度米，拱顶C到主拱水面的距离为米，两侧各有一个对称腹拱，右侧腹拱跨度为，顶点为D．以主拱水面为x轴，过顶点C的垂线为y轴建立坐标系，设主拱抛物线解析式为，右侧腹拱所在抛物线解析式为．(1)直接写出b的值，并求a；(2)求的长；(3)汛期水位上涨，当刚好到达点D时，需在主拱内边缘两侧各对称安装一根临时支撑柱和（要求：支撑柱顶端M、在主拱上，底端N、在腹拱上，且、均垂直水平面），①请在第一象限画出的示意图；（任意画出一条即可）②当支撑柱高度为米时，分别求M和的横坐标．7．在学校进行的“五一”篮球比赛中，张凯在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，他在点处跳起，篮球出手时距离地面，篮球在空中的运行路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为时，达到离地面的最大高度．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球在空中运行路线的函数表达式；(2)若篮筐的高度为，张凯投出的此球能否命中篮筐中心，为什么？(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为“盖帽”．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员李明前来盖帽，已知李明的最大摸球高度为，则李明应该在张凯面前多少米范围内跳起拦截才能“盖帽”成功？8．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现，该商品的周销售量（单位：件）是售价（单位：元／件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（单位：元）的三组对应值如下表：售价（元／件）607080周销售量件1008060周销售利润元200024002400注：周销售利润周销售量（售价进价）(1)①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②求该商品的进价；③当售价定为多少时，周销售利润最大？最大利润是多少元？(2)由于某种原因，该商品进价提高了元／件（），物价部门规定该商品售价不得超过70元／件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1440元，求的值．9．综合与实践深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为．(1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．(2)如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．(3)如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个．10．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：(1)【建立模型】数据收集：如图2，选取合适的原点0，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程；②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(2)【问题解决】要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围．11．如图，某农户计划用篱笆围一个花圃场地，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用垂直于墙的篱笆把该场地分成两个部分分别为育苗区和种植区，其中再开两个的门，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地与墙垂直的一边长为，总面积为(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，整个矩形场地的面积最大？最大面积为多少？12．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作拋物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系：，已知，落点的水平距离是，竖直高度是．(1)点的坐标是______，点的坐标是______；(2)求与的函数关系式；(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离．13．某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是．(1)求与之间的函数表达式；(2)若斜坡的坡比为，即图中，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．14．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？15．【项目式学习】【项目主题】研究击球运动【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地．【项目素材】素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）．素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度与水平距离部分数据如下．水平距离06183036飞行高度09212524素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）．素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，．（参考数据：，，）．【项目任务】任务一：直接写出与的函数关系式；任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间；任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由．参考答案1．(1)顶点坐标为，表示当飞行的水平距离为时，飞行达到最大高度为(2)无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键；（1）先根据题意将解析式配方，进而结合题意说出顶点坐标的实际意义，即可求解；（2）将代入解析式，求得函数值与，比较大小，即可求解．【详解】（1）解：；顶点坐标为，表示当飞行的水平距离为时，飞行达到最大高度为．（2）当时，，答：无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险．2．(1)；(2)①；②【分析】此题考查了二次函数的应用，准确求出函数解析式是关键．（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①延长交于点H，证明，利用相似三角形的性质解得，，则，即可得到答案；②求出，得到，即可得到．【详解】（1）解：在斜坡的点A处有一喷水管，与点C的水平距离为，树高．∴，把，代入得到解得∴该抛物线解析式为；（2）①延长交于点H，则，∵，∴，∴，∵∴∴，解得，∴，∴②当时，即，∴，∴即树的高为3．(1)(2)①；②不存在【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标即可；（2）①把代入，求出，，得出当时，他不会被喷头A喷出的水淋到；②先求出喷头B喷出的水流所在抛物线解析式为：，把代入得出，根据，即可得出答案．【详解】（1）解：喷头A喷出的水流所在抛物线的顶点坐标为，经过点，设喷头A喷出的水流所在抛物线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴喷头A喷出的水流所在抛物线的解析式为：，把代入得：，解得：，，∴点C的坐标为；（2）解：①把代入得：，解得：，，∵他到的水平距离为，∴当时，他不会被喷头A喷出的水淋到；②∵喷头B喷出的水流所在抛物线的开口方向和形状均与喷头A的相同，∴设喷头B喷出的水流所在抛物线解析式为：，把，代入得：，解得：，∴喷头B喷出的水流所在抛物线解析式为：，把代入得：，∵，∴当他在点间穿梭时，不存在p的值，使他不会被水淋到．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数，是解题的关键．4．(1)(2)售价为元时，获得最大利润，最大利润为元【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，学会用待定系数法求解一次函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．（1）根据题意待定系数法，求解析式，即可求解；（2）设利润为，根据销售量乘以销售价格减去销售成本和其他费用，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设一次函数解析式为，依题意，得解得：∴（2）解：设利润为，根据题意得，，∵，∴当时，取得最大值，最大值为答：售价为元时，获得最大利润，最大利润为元5．(1)见解析(2)；(3)宾馆标准房的价格定为160元时，客房的日营业额最大，最大为12800元．【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营业额=入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键．（1）依据题意，描点、连线即可得；（2）依据题意，待定系数法求解可得；（3）依据题意，由营业额=入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．【详解】（1）解：描点、连线，函数图象如图所示：（2）解：由题意，设，将、代入，∴，∴，∴；（3）解：由题意得，，∴对称轴为直线，∵，∴当时，w有最大值，最大值为元．答：宾馆标准房的价格定为160元时，客房的日营业额最大，最大为12800元．6．(1)，(2)6(3)①见解析；②M的横坐标为15，的横坐标为【分析】（1）根据，，得，，得，代入，解得；（2）令，求得，得；（3）设，得，得，解得（舍去），得M的横坐标为15，由对称性得的横坐标为．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，∴，解得；（2）解：时，，∴，∴；（3）解：①如图所示，②由（1）可得，∵，∴设，∴，∵∴，解得（舍去），∴M的横坐标为15，由对称性知，的横坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的应用——拱桥问题，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，坐标轴上或平行坐标轴的线段的长度，分类讨论，是解答的关键．7．(1)抛物线的函数表达式为；(2)张凯投出的此球能命中篮圈中心；(3)李明应该在张凯前面米范围内跳起拦截才能盖帽成功．【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后把代入求解即可；（）当时，求出的值，然后与比较即可；（）当时，，求出的值，然后检验即可．【详解】（1）解：∵篮球运行的水平距离为时，达到离地面的最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，且过点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：由（）得，抛物线的函数表达式为，当时，，∴张凯投出的此球能命中篮圈中心；（3）解：当时，，解得：（不合题意，舍去），，∴李明应该在张凯前面米范围内跳起拦截才能盖帽成功．8．(1)①；②商品的每件进价为元；③售价为75元/件时，周销售利润最大，最大为2450元．(2)【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系正确列出函数解析式是解题的关键．（1）①设与的函数关系式为，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可；②设进价为a元，根据利润售价进价，列方程可求得a的值，③根据“周销售利润周销售量（售价进价）”可得w关于x的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得；（2）根据“周销售利润周销售量（售价进价）”可得，进而利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】（1）解：①设与的函数关系式为，将，分别代入得，，解得，，∴与的函数关系式是；②设进价为a元，由售价60元时，周销售是为100件，周销售利润为2000元，得，解得：，∴商品的每件进价为元；③依题意有，=∵，∴当时，w有最大值为2450，即售价为75元/件时，周销售利润最大，最大为2450元．（2）解：依题意有，∵，∴对称轴，∵，∴抛物线开口向下，∵，∴随的增大而增大，∴当时，∴有最大值，∴，∴．9．(1)(2)20(3)26【分析】（1）设出顶点式，根据图象过原点，待定系数法求出函数解析式即可；（2）平移求出曲线的解析式，设，根据周长公式，列出二次函数求最值即可；（3）求出的长，进而求出的长，再除以间距即可．【详解】（1）解：∵曲线最高点点坐标为∴设，∵图象过原点，∴，解得：，∴；（2）∵曲线由曲线平移得到，的长度为6，∴曲线的解析式为：，设，由题意，可知：，关于对称轴对称，∴，∴矩形花园周长为：，∴当时，矩形花园的周长最大，为20；（3）∵，∴对称轴为直线，∵，∴，∴，∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到，∴，∵每个垂直灯具的水平间距为0.6，∴，∴至少需要安装垂直灯具26个．故答案为：2610．(1)①；②（2，0）(2)【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．（1）①由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；②由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；（2）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案；【详解】（1）解：①由题意得：，，是上边缘抛物线的顶点，设，又抛物线过点，，，上边缘抛物线的函数解析式为；令，则，解得或（舍去），洒水车喷出水的最大射程为；②对称轴为直线，点的对称点为，平移后仍过点，是由向左平移得到的，，点是由点向左平移得到的，点的坐标为；（2）解：，点的纵坐标为1，，解得或（舍去），，当时，随的增大而减小，当时，要使，则，当时，随的增大而增大，且时，，当时，要使，则，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，的最大值为，下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，的最小值为2，的取值范围为．11．(1)；(2)当时，y有最大值【分析】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据题意可得，矩形场地与墙垂直的一边长为，矩形场地的另一边长为，从而矩形场地的总面积为，再结合墙的长度为，可得，进而可得自变量的取值范围；（2）依据题意，由，从而当时，随的增大而减小，又，进而由二次函数的性质可以判断得解．【详解】（1）解：由题意，∵矩形场地与墙垂直的一边长为，矩形场地的另一边长为，∴矩形场地的总面积为．∵墙的长度为18米，∴，∴．∴关于的函数关系式为．（2）解：由题意，∵，∴当时，随的增大而减小．又∵，∴当时，取最大值，最大值为：．答：当为时，矩形场地的总面积最大，最大值为．12．(1)，(2)(3)【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．（）根据题意即可求解；（）利用待定系数法解答即可；（）求出直线的解析式，设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点，求出的关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解；【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是，故答案为：，；（2）解：把，代入得，，解得，∴；（3）解：设直线的表达式为，把，代入得，，解得，∴直线的表达式为，设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点，∴，∴，∵，∴当时，的值最大，即当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为．13．(1)抛物线解析式为；(2)不能，理由见解析．【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键．（1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可；（2）连接，过点E作，根据题意点E、C、H点横坐标5，得，由斜坡的坡比为，即可求出，从而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与即可．【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，由题可知，其图象顶点坐标为，抛物线解析式为．又抛物线过点，．