2025年中考数学总复习《有关二次函数的应用存在性问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《有关二次函数的应用存在性问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．某商场以每件50元成本价新进一批商品．据市场调查分析知，如果按每件60元销售，一周能卖出400件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为元．(1)求出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式：(2)设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式：(3)若物价部门要求该商场销售这种商品的利润不能超过40%，求该商场销售这种商品一周毛利润的最大值以及此时的销售单价．2．在一次高尔夫训练中，某球员从山坡下的点打出一球，该球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．如果不考虑空气阻力，球的落点距离点的水平距离为12米时，垂直距离为米．(1)求关于的函数关系式．(2)求该球飞行过程中的最大垂直高度．3．周末，甲乙二人相约在操场进行一场羽毛球的友谊赛，如图，甲站在地面上点处，在点正上方米的点处将球发出，羽毛球的飞行轨迹可近似的看做一条抛物线，当羽毛球水平飞出米远时，距地面的垂直高度为米，此时为整个飞行轨迹的最高点．(1)若设羽毛球的飞行高度为（），距点的水平距离为（），建立平面直角坐标系，求羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式；(2)若距点米远的点处立有羽毛球网，球网顶部距地面米，请你通过计算判断此次发球能不能飞过球网．4．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个40元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为元．(1)求与之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于52元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（取）5．纸飞机是同学们喜欢的娱乐项目之一．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看成是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段．如图所示，以O为原点，地面所在直线为x轴，竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为1.9m，当纸飞机的最大飞行高度达到2.8m时，它的水平飞行距离为3m．(1)求这段抛物线的解析式；(2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度）6．某商场老板对一种新上市商品的销售情况进行记录，已知这种商品进价为每件40元，经过记录分析发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(2)设商场老板每月获得的利润为（元），求与之间的函数关系式；并求出利润的最大时销售单价为多少元?7．昆明公园1903是一处融合了古典与现代，东方与西方的绝佳地点：这里不仅是购物的天堂，更是摄影爱好者的梦幻胜地．公园1903在2024年10月1日国庆节一天共接待游客达2万人次，预计到10月3日这天将接待游客万人次．(1)求公园1903在2024年10月1日至2024年10月3日这三天时间内接待游客人次的平均增长率；(2)公园1903的网红打卡地—凯旋门将举行咖啡节活动．每杯咖啡成本价为3元，根据销售经验，若每杯定价13元，则平均每天可销售400杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售100杯．2024年国庆期问，店家决定进行咖啡降价促销活动．则当每杯售价定为多少元时，店家每天卖此款咖啡的利润最大，最大利润是多少？8．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长，中间用一道围墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两间饲养室合计长，总占地面积为(1)求关于的函数表达式和自变量的取值范围．(2)画出函数的图象．(3)若要使两间饲养室占地总面积达到；求各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？9．小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度．(1)直接写出点C的坐标．(2)求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）．(3)在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号）10．嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，点，在抛物线上，抛物线交y轴于点，最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线和形状相同，且最大高度为．(1)求抛物线的表达式和其顶点坐标．(2)在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球落入球筐，若点E的坐标为，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标的取值范围．11．某商店经营一种儿童益智玩具，购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是220件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了元时，月销售量为件．(1)求月销售量与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．(2)设月销售利润为元，求与的函数关系式．并确定每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？12．为筹集爱心基金资助贫困生，小北组织了线上的爱心售卖活动，线上直播中推出的一款“雅美”文创礼盒，每盒的成本为10元，若按每盒35元销售，则同时段每小时可售出50盒．为了让利全国网友，小北决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加10盒．设该礼盒售价为每盒元，则降价元，每小时的销售利润为元．(1)求关于的函数关系式；(2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2000元，销售价应定为每盒多少元？(3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．13．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为．(1)求出关于的函数解析式，并写出的取值范围；(2)当该矩形菜园的面积为，求边的长；(3)当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？14．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（）外，用长为的栅栏围成矩形，设绿化带宽为，面积为．(1)求S与x的函数关系式，并直接写求出x的取值范围；(2)绿化带的面积能达到吗？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．15．投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分.某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是米，水平距离米时达到最大高度，最大高度为米.(1)如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）；(2)若实心球落地后距离投掷点米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分.参考答案1．(1)(2)(3)该商场销售这种商品一周毛利润的最大值为6000元，此时的销售单价为70元【分析】此题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是关键．（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）根据每件的利润乘以总件数即可得到w与x的函数关系式；（3）根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：由题意得，，一周销售量（件）与（元）的函数关系式为；（2）由题意得，；（3），，，，当时，随的增大而增大，当时，毛利润有最大值，最大值为（元），该商场销售这种商品一周毛利润的最大值为6000元，此时的销售单价为70元．2．(1)(2)12米【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识．（1）根据已知条件得到，把A点代入得到，于是得到结论；（2）把配方得到，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）解：点A距离点O的水平距离为12米时，垂直距离为米，∴，把A点代入得，解得，∴y关于x的函数关系式为：；（2）解：∵，∴当时，，∴该球飞行过程中的最大垂直高度是12米．3．(1)(2)能飞过球网【分析】（）由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法解答即可求解；（）求出时的值，进而比较即可判断求解；本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数表达式是解题的关键．【详解】（1）解：由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，设抛物线的表达式为，把代入得，，解得，∴羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式为；（2）解：当时，米，∵，∴此次发球能飞过球网．4．(1)(2)销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元(3)销售单价应定为46元【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出二次函数是解题的关键；（1）根据销售利润等于销售量与单件利润的积，列出函数关系式即可；（2）求出二次函数的最大值即可；（3）由（1）的函数式，求出函数值为200时的自变量的值即可．【详解】（1）解：，整理得：，其中；故与之间的函数关系式为；（2）解：，由于二次项系数为负，且，则当时，函数取得最大值，且最大值为400；答：这种双肩包销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元；（3）解：，即，解得：，由于物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于52元，所以；答：销售单价应定为46元．5．(1)(2)米【分析】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．（1）根据题意得抛物线经过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；（2）将代入解析式求解即可【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过，顶点坐标，∴设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，（2）∵高的墙壁，∴将代入解析式得：，解得：，，∴小明至少距离墙壁米6．(1)，自变量的取值范围为(2)与之间的函数关系式为，当利润的值最大时销售单价为65元【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意；（1）设与的函数关系式为，由图象可把点代入进行求解即可；（2）根据（1）可得出P与x的函数关系式，然后再根据二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由图可知：，解得：，∴与的函数关系式为，由“当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时”可知自变量的取值范围为；（2）解：由（1）可得：与之间的函数关系式为，∴当时，利润有最大值；答：当利润的值最大时销售单价为65元．7．(1)(2)当每杯售价定为10元时，店家每天卖此款咖啡的利润最大，最大利润是4900元【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）设这三天时间内接待游客人次的平均增长率为，根据题意可得：，然后进行计算即可解答；（2）设每杯售价为元，总利润为元，根据总利润单个利润总数量进行计算，即可解答．【详解】（1）解：设这三天时间内接待游客人次的平均增长率为，由题意得：，解得：，（舍去），这三天时间内接待游客人次的平均增长率为；（2）解：设每杯售价为元，总利润为元，由题意得：，，当时，元，当每杯售价定为10元时，店家每天卖此款咖啡的利润最大，最大利润是4900元．8．(1)(2)见解析(3)各道墙的长度为，，，或，，，时，总面积达到，总面积不可能达到【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）根据矩形的面积长宽，计算即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）构建方程即可解决问题；求出函数的最大值即可判断【详解】（1）解：由题意：，即．（2）列表如下：0101530406070859010003004257008008007004253000描点，连线画图如下：（3）当时，，解得或60，各道墙的长度为，，，或，，，时，总面积达到．∴当时，，总面积不可能达到．9．(1)(2)（或）(3)【分析】本题考查二次函数的应用．（1）令，解方程即可得出点C的坐标；（2）根据题意设抛物线G的函数表达式为，再将点代入求解即可；（3）当时，求得，分别求出当弹力球恰好砸中筐的最左端时，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，b的值，即可得到答案．【详解】（1）解：令，解得，，∴点C的坐标为；（2）解：抛物线G与抛物线L的形状相同，且最高点的纵坐标为1，设抛物线G的函数表达式为，抛物线G经过点C，将点代入，得，解得（舍去），，抛物线G的函数表达式为（或）；（3）解：当时，，解得，（不合题意，舍去）．球筐的最左端与原点的距离为6.5，当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，，球筐的最右端与原点的距离为7.5，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，b的取值范围为．10．(1)，顶点坐标为(2)小球不能落入球筐，当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合运用，数形结合分析思想是解题的关键．（1）根据题意，设抛物线的表达式为，由过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，由此即可求解；（2）抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为，由同样也经过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，当抛物线经过点，及之间时，能落入球框，由等腰直角三角形等着得到，则令，由此即可求解．【详解】（1）解：抛物线过点和，∴抛物线的对称轴为直线，设抛物线的表达式为，∵过点，∴将点A，B坐标代入，得，∴，∴抛物线的表达式为，∴抛物线的顶点坐标为．（2）解：抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为，∵同样也经过点，代入可得，解得，（舍），，∴抛物线的表达式为，将代入，得（舍），．∵点的横坐标为，∴小球不能落入球筐，∴当抛物线经过点，及之间时，能落入球框，∵，∴令，∴或（舍去），∴，∴当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐．11．(1)(2)w，每件玩具的售价定为元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元．【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列函数关系式，正确列出对应的函数关系式是解题的关键；（1）根据销售单价是30元时，月销售量是220件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件期间即可（2）根据利润数量每件的利润，求出关系式即可，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，每件玩具的售价不能高于40元，即，．∴与的函数关系式为：，的取值范围为；（2）解：由题意得，，，．当时，w最大，最大值为，此时，答：每件玩具的售价定为元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元．12．(1)(2)销售价应定为每盒20元(3)当销售价定为25元时每小时的利润最大，为元【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出关系式即可；（2）令，解一元二次方程即可；（3）利用二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：由题意，得：；（2）当时，，解得：，∵让利顾客，∴；答：销售价应定为每盒20元；（3）∵，∴