2025年中考数学总复习《圆中的最值问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《圆中的最值问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．(1)求证：点为的中点；(2)若的半径为5，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．2．如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为．(1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积；(2)如图，当时，求证：是的切线；(3)直接写出的最大值与最小值的差．3．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明．（2）若圆的半径为8，则的最大值为________．【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）．4．如图，为等边的外接圆，半径为6，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，．(1)求证：是的平分线；(2)四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；(3)若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值；5．问题提出（1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是，最小值是；问题探究（2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由．问题应用（3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．

6．已知：如图1，在平面直角坐标系中，，以为圆心，以为半径的圆交轴于点，连结并延长交于点，动点在线段上运动，长为的线段轴（点在点右侧），连接．

(1)求的半径长和点的坐标：(2)如图2，连接，交线段于点，①求所在直线的解析式：②当时，求点的坐标；③点在线段上运动的过程中，请直接写出的最小值和最大值．7．已知的半径为5，是长为8的弦，于点，点在的延长线上，且．弦从图1的位置开始绕点逆时针旋转，在旋转过程中始终保持，如图2．[发现]在旋转过程中，（1）的最小值是__________，最大值是__________．（2）当时，旋转角__________．[探究]若绕点逆时针旋转，如图3，求的长．[拓展]如图4，当切于点交于点于．（1）求的长．（2）此时__________，__________．8．如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接．(1)当与相切时，求证：是的切线；求点C到的距离．(2)直接写出的最大值与最小值的差．9．如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接．(1)若，求的度数．(2)如图2，连接，若，求的长．(3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值．10．已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P．(1)如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是______；(2)如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设，①求点B坐标（用含n的代数式表示）．②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值．11．如图，的内接三角形中，，，，点在圆上运动．(1)求证：为的切线；(2)若三角形是等边三角形时，，求的最大值；(3)如图，连接，，当，，时，设此时的面积为，的面积为，求的值．12．如图1所示，A、B、C、D四点在上逆时针顺序分布，且满足．(1)求证：点A到两边的距离相等；(2)如图2，已知与相交于点，为的直径．若，，求的长．(3)已知，与相交于点，直线与直线相交于圆外一点G，若线段为的一条高，试求：的最小值．13．如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，求的值；(3)如图乙，在（2）的条件下，延长至N，使在上找一点Q，使得的值最小，请求出其最小值．14．如图1，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点．连接，．(1)求证：．(2)如图2，在（1）的条件下，连接，．①若，求的周长．②求的最小值．15．已知：中，是的外接圆．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若为在上一动点，过点作直线的垂线，垂足为．求证：；(3)如图3，若，过点作交于点．点是线段上一动点（不与重合），连接，求的最小值．参考答案1．(1)见解析(2)【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；（2）作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，过点O作于点H，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∵，∴，即：，∴，即点为的中点；（2）解：作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，∵，∴，此时，的值最小，∵，∴，∴，∵点C关于的对称点是，∴，∴，过点O作于点H，则，在中，，，∴，即：的值最小为．【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据轴对称的性质找出点P位置是解题的关键．2．(1)；(2)证明见解析(3)【分析】（1）由弧长公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案；（2）由是的切线，可得，证明，则，即，进而结论得证；（3）由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，如图所示，根据的最大值与最小值的差为，计算求解即可．【详解】（1）解：的半径是，弧的长为，，解得；线段扫过的面积；（2）证明：∵是的切线，∴，∵，∴，即，在和中，∴，∴，即，∵是半径，∴是的切线；（3）解：由勾股定理得，，过作，交圆于，如图所示：∴的最大值与最小值的差为，∴的最大值与最小值的差为．【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等知识．熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．3．初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；（2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16；类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，，，，、、三点在同一条直线上，，是等边三角形，，，是等边三角形，，；（2）是的弦，且的半径为8，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值是16，故答案为：16．类比迁移：如图，，，

是的直径，且圆心在上，，，将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，，，、、三点在同一条直线上，，，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值为，的最大值为，周长的最大值是．拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，

∴，，，连接、，，，，，，，，，的最小值为．【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．(1)见解析(2)是，(3)【分析】本题考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．（1）由等边三角形的性质可得，圆周角定理可得，可得结论；（2）将绕点C逆时针旋转，得到，可证是等边三角形，可得四边形的面积，即可求解；（3）作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，由轴对称的性质可得，，可得的周长，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，的周长有最小值，即最小值为，由轴对称的性质可求，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，则当为直径时，t有最大值为．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴是的平分线；．（2）解：四边形的面积S是线段的长x的函数；理由如下：如图1，将绕点C逆时针旋转，得到，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，∴点D，点B，点H三点共线，∵，∴是等边三角形，∵四边形的面积，∴；（3）解：如图2，作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，∵点D，点E关于直线对称，∴，同理，∵的周长，∴当E，M，N，F四点共线时，的周长有最小值，则连接，交于M，交于N，连接，作于P，∴的周长最小值为，∵点D，点E关于直线对称，∴，∵点D，点F关于直线对称，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴当有最大值时，有最大值，即t有最大值，∵为的弦，∴为直径时，有最大值12，∴t的最大值为．5．（1）6，2；（2）当的长为1时，，理由见解析；（3）5【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．（1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，点在线段上时，即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质到了即可得到结论；（3）如图，在上取一点，使得．由，推出，推出，推出，由，当、、共线时，的值最小，最小值为．【详解】解：（1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，的最大值是，当，，三点共线，且点在线段上时，的最小值是，故答案为：6，2；（2）当的长为1时，，理由如下：，，，，，，，又，∴，，；（3）如图，在上取一点，使得，连接，，，

、正方形的边长为4，∴，∴，∴，，，，，∴，，，，，当、、共线时，的值最小，最小值为．6．(1)半径为，(2)①；②点坐标为；③的最小值为，最大值为【分析】（1）如图1中，过点作轴，分别在和中利用勾股定理即可解决问题．（2）①设解析式为设，利用待定系数法即可解决问题．②可求，设点．由题意得点为，因为点落在上，所以，列方程即可解决问题．③当点与重合时，，此时，过点平行的直线的解析式为，过点垂直的直线的解析式为，与直线的交点为，此时最小，当点与点重合时，，此时，由此即可判断的最大值．【详解】（1）解：如图1中，过点作轴，

则，，，即半径为，所以，，，即点．（2）解：如图2中，

①设解析式为设，由题意得点与点关于点成中心对称，设与y轴的负半轴交于点K，连接，∵是直径，∴，∵，∴是的中位线，∴，点，又点，代入得：，解得，，，②设，代入得：，解得：，∴，设点．∵，轴，∴点为，点，点落在上，所以解得，所以点坐标为．③如图3中，

当点与重合时，，此时，设过点平行的直线的解析式为，把点代入得：，∴过点平行的直线的解析式为，过点垂直的直线的解析式为，则把点代入得：，∴过点垂直的直线的解析式为，与直线的交点为，此时最小（垂线段最短），由，解得，，的最小值为．当点与点重合时，，此时，最大值为．【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．7．[发现]（1）10；16；（2）或；[探究]；[拓展]（1），（2），．【分析】[发现]（1）连接，由垂径定理可得，由勾股定理可得，再由，可知当点O在线段上时，有最大值，当点G在线段上时，有最小值；（2）证明，可得当在上方时，旋转角度为，当在下方时，旋转角度为；[探究]如图，过点作于，求出，则，进而得到，再求出，则由勾股定理得；[拓展]（1）由切线的性质可得，则由勾股定理可得；（2）如图，过点作于，证明四边形是矩形，得到，证明，得到，由此求出，则，再证明得到，则．【详解】解：[发现]（1）如图所示，连接，∵，，∴，∵的半径为5，∴，∴，∵，∴当点O在线段上时，有最大值，当点G在线段上时，有最小值，故答案为：10；16；（2）∵，，∴，∴当在上方时，旋转角度为，当在下方时，旋转角度为，故答案为：或；[探究]：如图，过点作于，在中，，∴，，，在中，由勾股定理得；[拓展]：（1）切于，，在中，由勾股定理得；（2）如图，过点作于，，∴四边形是矩形，，，，，，，，∴，，，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的性质与判定，求旋转角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．8．(1)详见解析；(2)【分析】（1）由切线的性质得，再证，根据全等三角形对应角相等，可得，即可证明是的切线；过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，根据即可求解；（2）作直线于点H，交于和，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，则最大值与最小值的差为．【详解】（1）证明：∵与相切，∴，∵，∴，即，又∵，∴．∴．又∵是的半径，∴是的切线；如图，过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，在中，∵，∴，∵，∴，即点C到的距离为．（2）解：中，，，∴．如图，作直线于点H，交于和，由题意知，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，∴的最大值与最小值的差．【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆到直线的距离，解题的关键是掌握切线的判定方法，找出取最值时点C的位置．9．(1)(2)(3)，y的最大值【分析】本题考查三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理；（1）由点E为的内心，可得和是的角平分线，则，，再根据圆周角定理得到，即可得到，最后根据求解；（2）由，，可得，得到，则，，再证明，得到，代入解方程即可；（3）连接交于，连接，过作于，先利用垂径定理求出，则，再根据，得到，，代入后整理得到，再根据二次函数的性质求最大值即可．【详解】（1）解：∵点E为的内心，∴和是的角平分线，∴，，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得；（3）解：连接交于，连接，过作于，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）得，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，整理得，∵，∴当即与重合时，最大．10．(1)(2)①；②【分析】（1）连接，求解，，，结合，，进一步可得答案.（2）①如图，过作于，则，分两种情况：当时，当时，如图，此时，再进一步求解即可；②如图，由，可得当时，最大，此时，，，，求解为，同理可得：为：，可得，求解，过作于，而，，可得，设，则，可得，可得，进一步可得答案.【详解】（1）解：连接，∵过点O、P的与相切于点P，．∴，，∵，，∴，∵矩形的边长为2，∴，，∴.（2）解：①如图，过作于，则，∵，，∴，当时，∵矩形，，，，∴，，，结合切线性质可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴；当时，如图，此时，同理可得：，∴，∴，∴，∴，综上：；②如图，∵且，，∴，当时，最大，此时，，，，设解析式为，则，解得：，∴解析式为，设解析式为，则，解得：，∴解析式为：，联立，解得：，∴，∴，过作于，而，，∴，∴，设，则，∵，，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∵，，，∴，∴，∴.【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一次函数，二次函数的应用，切线的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键.11．(1)见解析(2)4(3)【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，证得，再利用等腰三角形三线合一性质证得，再用平行线性质可证得结果；（2）过点C作，先求得，当点D与点A重合时，最大，此时也最大，据此求解即可；（3）如图，分别延长相交于点P，过点D作，过点C作，连接并延长，交于点，连接，设，则，再分别用含有a的代数式表示出及的面积，再求解即可．【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，，，，，，，，，是的切线；（2）如图，过点C作，三角形是等边三角形时，，，在中，，，点在圆上运动．当点D与点A重合时，最大，为，此时也最大，得，的最大值为4；（3）如图，分别延长相交于点P，过点D作，过点C作，连接并延长，交于点，连接，由（1）结论得，,设，则，由勾股定理得：

，四边形是圆内接四边形，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质与判定定理、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．12．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据角平分线的性质定理求解即可；（2）过点D作，交延长线于点Q，根据平行线分线段成比例得到，得到，设，则，得出，求出，，然后证明出，得到，进而求解即可；（3）首先得出，证明出，得到，设，求出，，同理可证，，得到，进而求解即可．【详解】（1）如图1，连接，∵，∴，∴点A到两边的距离相等；（2）∵，∴，∵为直径，∴，∴，如图2，过点D作，交延长线于点Q，∴，，又由（1）知：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，则，设，则，∵为直径，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，，又∵，，∵，，∴，∴，∴；（3）如图所示，与相交于点，直线与直线相交于圆外一点G，∵为的一条高，若，则，与题意矛盾．∴，此时为的直径，∴，∴又∵∴，∴，设，∴，．同理可证，，∴，∴∴∴原式∵，∴，∴．当时，原式有最小值为．【点睛】本题主要考查圆与三角形综合题，解直角三角形，三角形的相似的性质和判定，等弦对等弧，等弧对等角，平行线分线段成比例等相关知识点，牢记知识点是解题关键．13．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接，根据平行线的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，再由切线的判定即可证明；（2）根据切线长定理得出，然后利用相似三角形的判定和性质确定，利用正切函数的定义即可求解；（3）根据勾股定理确定，在上取点D，使，利用相似三角形的性质得出求的值最小，相当于求最小值，当D、Q、N共线时，最小，作于点H，然后结合图形求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接，，∴，∵，∴，∴，∵在与中，，∴，∴，又∵是的切线，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）解：∵是的切线，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，∴，；（3）解：在中，，∴，，∴上取点D，使，∴，D为定点，且，∴恒成立，∴求的值最小，相当于求最小值，∴当D、Q、N共线时，最小，如图，作于点H，可得，即的最小值为．【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和