热点6 教材衍生问题-中考数学热点考点训练(含答案)

热点六教材衍生问题——中考数学热点考点训练热点趋势解读教材衍生问题是以教材习题为基础拓展延伸出来的问题，这些问题一般是从已知条件的变化，到图形的变化，再到结论的变化，解决这类问题时应注意引导学生以数学的视角观察问题、提出问题，用数学的语言表达问题，用数学的思维解决问题.《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中明确指出：“试题命制既要注重考查基础知识、基本技能，还要注重考查思维过程、创新意识和分析问题、解决问题的能力.”在近几年的中考中，教材衍生问题出现次数较多，既考查学生对基础知识的掌握情况，又考查学生对所学知识的灵活运用和举一反三的能力.1.爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式除以多项式的方法，通过查阅资料小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除法”，综合除法主要用于一元多项式，除以一次多项式的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下：①写出分离系数竖式：②进行相关计算：将落下得到，计算并置于下方，计算得到；计算并置于下方，计算得到……计算并置于下方，计算得到.③写出计算结果：除以得到商式和余式.解决问题：利用综合除法求除以的商式和余式.由此可知，除以的商式是______，余式是______.2.代数推理小军对于教材36页“试一试”部分产生了浓厚的兴趣,请和他探究并完成下列问题.发现速算从11到19这九个两位数中任何两个的乘积的方法：第一步：把第一个因数(13)与第二个因数的个位数(2)相加：；第二步：把第一步的结果乘以10(也就是说后面加个0)：；第三步：把第一个因数的个位数(3)乘以第二个因数的个位数(2)：；第四步：把第二、三两步的结果相加：.这就是要求的计算结果,即得.尝试(1)用上述方法,直接写出计算结果：______；______.验证(2)设这两个两位数分别为,,①根据“发现”,直接写出这两个两位数的积：______(用含a,b的式子表示,不需要化简)；②说明①的正确性.3.在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中,经历过很多次“归纳”的过程,即从几种特殊情形出发,进而找到一般规律的过程,归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略,请用归纳策略解答下列问题(1)探究一：如图1,将一根绳子折成3段,然后按如图所示方式剪开；如图1-1,剪1刀,绳子变为4段；如图1-2,剪2刀,绳子变为7段；……①剪12刀,绳子变为______段；②有可能正好剪得98段吗？请说明理由(2)探究二：将一根绳子折成4段,然后按(1)中方式剪开；如图2,剪1刀,绳子变为5段；剪2刀,绳子变为段；剪n刀,绳子变为______段(3)归纳：将一根绳子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,绳子变为段(用含m,n的代数式表示)(4)问题解决：将一根绳子折成m()段,然后按(1)中方式方式剪n刀,绳子变为100段,则的值为______4.【综合与实践】阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”.定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义,再研究性质和判定.而性质的研究,其实就是对图形边,角,对角线等基本要素的研究.八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究：第一步：根据定义剪出一个“筝形”；第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边,角,对角形的结论；第三步：通过证明得到性质.解答问题：(1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来.(2)请画出图形,写出已知,求证并证明得到对角线的性质.(3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式,请直接写出“筝形”的面积公式.5.学习正方形时,王老师带领同学们探索了课本上的一道几何题.【课本原型】(1)人教版八年级下册数学课本拓广探索》第15题.请你写出证明过程.如图,四边形是正方形,点G为上的任意一点,于点E、,交于F.求证：.【问题解决】(2)如图(1),正方形中,点G为延长线上的任意一点,交延长线于点E,交于点F.试探索、、之间的数量关系,并给出证明【问题研究】(3)如图(2),四边形是正方形,点G为上的一点,于点E,连接,若,请直接写出的面积.6.追本溯源题(1)来自于课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).(1)如图1,在中,,,求的度数.方法应用(2)如图2,在中,,E是上的点(不与点A,C重合),连接并延长至点G,连接并延长至点F.连接.①求证：.②若,的面积为27,求的半径.7.在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题.聪聪在研究完上面的问题后,对这类问题进行了深入的研究,他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1,在中,,的角平分线交于点P,若.则______；(2)【问题推广】如图2,在中,的角平分线与的外角的角平分线交于点P,过点B作于点H,若,求的度数.(3)如图3,在中,,的角平分线交于点P,将沿折叠使得点A与点P重合,若,则______；(4)【拓展提升】在四边形中,,点F在直线上运动(点F不与E,D两点重合),连接,,,的角平分线交于点Q,若,,直接写出和,之间的数量关系.8.【链接教材】（1）如图1，E、F是直线l上方两点，若点P在直线l上，满足，则点P是线段的_____（填特殊直线）与直线l的交点；【问题延伸】（2）①如图2，点O是矩形对角线的交点，.要分别在、边上确定点P、Q，满足，且点O在线段上.经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点E或F关于点O对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线.请你根据她的思路在图2中尺规作图确定P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）.②如图3，点O是矩形对角线的交点，.经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点O的线段，就能找到符合题意的P、Q（P、Q分别在、边上，满足，且点O在线段上）.请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图），并证明.【举一反三】（3）如图4，在平面直角坐标系中，原点O是菱形对角线的交点，，，，其中，.若P、Q分别在、边上，满足，且点O在线段上，直接写出m的取值范围________.9.【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：14.如图,在锐角中,探究,,之间的关系.(提示：分别作和边上的高.)【得出结论】.【基础应用】在中,,,,利用以上结论求的长；【推广证明】进一步研究发现,不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足(R为外接圆的半径).请利用图1证明：.【拓展应用】如图2,四边形中,,,,.求过A,B,D三点的圆的半径.10.【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容,如图,直线,与的面积相等吗？为什么？【基础巩固】如图1,正方形内接于,直径,求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2,在半径为5的中,,,,求；【拓展提高】如图3,是的直径,点P是上一点,过点P作弦于点P,点F是上的点,且满足,连接交于点E,若,,求的半径.11.【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1,是一个正方形花园,E,F是它的两个门,且,要修建两条路和,这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？(此问题不需要作答)九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题,于是对上面的问题又进行了拓展探索,内容如下：【类比分析】(1)如图2,在矩形中,点E是上一点,连接,过点A作的垂线交于点F,垂足为点G,若,,求的长.【迁移探究】(2)如图3,在中,,,点D是上一点,连接,作交于点E,求证：.【拓展应用】(3)如图4,在中,,,,作点A关于的对称点D,点E为上一点,连接,过点D作的垂线,交于F,垂足为G,若E为中点,则_________.

答案以及解析1.答案：；2.解析：由题意得：∴商式为，余式为2，故答案为：①，②2.2.答案：(1)272,247(2)①；②见解析解析：尝试(1)；.故答案为：272,247；验证(2)①第一步：把第一个因数()与第二个因数的个位数(b)相加：；第二步：把第一步的结果乘以10(也就是说后面加个0)：；第三步：把第一个因数的个位数(a)乘以第二个因数的个位数(b)：；第四步：把第二、三两步的结果相加：.这就是要求的计算结果,即得；②,又,,说明①的结论正确.3.答案：(1)①37；②没有可能正好剪98段,理由见详解(2)9；(3)(4)或解析：(1)①剪1刀,绳子变为4段,；剪2刀,绳子变为7段,；由此可得,剪3刀,绳子变为段,剪4刀,绳子变为段,……可得,剪12刀,绳子变为段；故答案为：37；②没有可能正好剪得98段,理由：由①可得,剪n刀,绳子变为段,,,不是正整数,没有可能正好剪得98段；(2)剪1刀,绳子变为5段,；剪2刀,绳子变为,9段；剪n刀,绳子变为段,故答案为：9；；(3)由(1)、(2)可得,将一根绳子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,绳子变为段,故答案为：；(4)由(3)可得,将一根绳子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,绳子变为段,,,,又,时或时,或,故答案为：或.4.答案：(1)“筝形”的对角线互相垂直(2)见解析(3)“筝形”的面积等于对角线积的一半解析：(1)“筝形”的对角线互相垂直；(2)已知：四边形是“筝形”,,,对角线、相交于点O.求证：.证明：∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴；(3)∵,∴,∴“筝形”的面积等于对角线积的一半.5.答案：(1)证明过程详见解答(2),理由见解析(3)8解析：(1)证明：四边形是正方形,,,,,,,,,,,,,；(2),理由如下：由(1)得：,,,,,,,,,,,；(3)如图,过点B作交于点F,由(1)得：,∵,,∴,.6.答案：(1)(2)①证明见解析,②半径为5解析：(1)∵,∴,∴；(2)①证明：点A,B,C,E均在上,四边形为圆内接四边形,.又.∴,,,又,；②如图,过点A作于点H.,,点O在上,.,即,,解得.设,则.在中,由勾股定理得,即,解得,的半径为5.7.答案：(1)(2)(3)(4)F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧解析：(1)∵,∴,∵平分,平分,∴,,∴,即,∴,故答案为：；(2)∵平分,平分,∴,,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,即,∴；(3)由折叠的性质可得,,∵,,,∴,∴,∴,∴,∴同(1)原理可得,故答案为：；(4)当点F在点E左侧时,如图4-1所示,∵,∴,∵平分,平分,∴,,∵,∴；当F在D、E之间时,如图4-2所示：同理可得,,,∴；当点F在D点右侧时,如图4-3所示：同理可得；综上所述,F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧.8.答案：（1）垂直平分线；（2）①见解析；②证明见解析；（3）.解析：（1）点P在直线l上，满足，点P是线段的垂直平分线与直线l的交点，故答案为：垂直平分线；（2）①如图，作E关于点O对称点，连接，作垂直平分线，交、于点P、Q，连接、，②如图，作法同①，点O是矩形对角线的交点，，，，，，垂直平分，，；（3）如图，作F关于点O对称点，连接，，同②理，，，，当Q与D重合时，m有最小值，如图，四边形是菱形，，，，，；当Q与C重合时，m有最大值，如图，四边形是菱形，，，，，或（舍去）；m的取值范围为，故答案为：.9.答案：教材呈现：见解析基础应用：推广证明：见解析拓展应用：解析：教材呈现：如图,分别作,,垂足分别为D,E,在中,,,在中,,,,,在中,,,在中,,,,,.基础应用：∵中,,,∴,由题意得,∴,解得；推广证明：作直径,连接,∵直径,∴,∵,∴,∴,∴,同理,,∴；拓展应用：连接,作于点E,∵,∴四边形是矩形,∵,,,∴,,,∴,∵,∴,∴,∴,∵,即,∴.10.答案：【教材呈现】与的面积相等,理由见解析【基础巩固】【尝试应用】【拓展提高】6解析：教材呈现：与的面积相等,理由：∵,∴点A,D到的距离相等,∴与中边上的高相等,即：与是同底等高的三角形,根据三角形的面积公式为：底×高,∴与的面积相等；基础巩固：连接,,如图,∵四边形为正方形,∴,,∵,∴,由教材呈现可知：,,∴,∴阴影面积.∵圆的面积为,∴阴影面积与圆面积的比值为；尝试应用：连接,过点O作于点E,则.在和中,,∴,∴,∴.∵,∴.∵