2025年中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若．(1)求证：；(2)求的长．2．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并证明．3．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F．(1)求证：．(2)若，求证：四边形是矩形．4．如图，，是中点，，．(1)求证：四边形是矩形．(2)若，，是上一点，且，求的长．5．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：(1)①做法正确的同学有___________；②请选择你认为正确的一种做法给出证明；(2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．6．如图，都是的半径，．(1)求证：；(2)若，，求．7．如图，，，点D是上一点（），连接，将绕点A逆时针旋转得到，M为的中点，，的延长线相交于G，与相交于点F．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的长．8．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离，，．(1)求拉绳的长；(2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（结果保留根号）9．在四边形中，(1)如图①，求证：(2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数．10．如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．(1)求证：D是的中点；(2)若，试判断四边形的形状，并证明．11．如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长．12．如图，在中，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，、交于点G，连接．(1)若，求的长；(2)若点F在直线上，当时，求的长．13．在中，，，点为的中点．(1)若，两边分别交于两点．①如图1，当点分别在边和上时，求证：；②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______．(2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．14．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动，设点M，点N的运动时间为t（）秒．(1)当时，；当时，．(2)当点N在上时，；当点N在上时，（分别用含t的代数式表示）．(3)点N在上时，请问t为何值时，是直角三角形，并说明理由．(4)连结，请问t为何值时，线段的垂直平分线经过的某一顶点，并说明理由．15．在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点．(1)如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段．①求证：．②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．(2)如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明．参考答案1．(1)见解析(2)4.5【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证；（2）根据勾股定理可得，再由三线合一定理得到，则可利用勾股定理求出的长，进而得到，据此建立方程求解即可．【详解】（1）证明：，，，，，，，，；（2）解：，，，点是的中点，，，，，，在中，，，解得：．2．(1)证明见解析；(2)四边形是矩形，理由见解析．【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由是的中点，得，再通过平行线的性质可得，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可求证；（）由（）得，又是边上的中线，所以，则有，从而证明四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形的三线合一可求出，最后由矩形的判定方法即可求解．【详解】（1）证明：∵是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：四边形是矩形，理由，由（）得，，∵是边上的中线，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，是边上的中线，∴，∴，∴四边形是矩形．3．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，熟知矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．（1）由平行四边形对边平行且相等可证明，，，再由角平分线的定义可证明，据此利用即可证明；（2）由全等三角形的性质得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由三线合一定理证明，即可证明四边形是矩形．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，同理可得，∵平分，平分，，，，∴；（2）证明：∵，∴，四边形是平行四边形，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，平分，∴，∴四边形是矩形．4．(1)详见解析(2)【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．根据等腰三角形的三线合一性质可证，，从而可证，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，又因为，可证四边形是矩形；利用勾股定理可以求出，利用等面积法可知，从而可求的长度．【详解】（1）证明：，是等腰三角形，是中点，，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形；（2）解：在中，，，，，于，，，，解得：．5．(1)①甲、丙；②见解析(2)见解析【分析】该题考查了复杂作图，还涉及等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识点．（1）①根据作图判断即可；②根据尺规作图和等腰三角形的性质，三角形中位线定理证明即可；（2）根据题意作图使得点是中点或即可，做法不唯一．【详解】（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；②甲的做法证明如下：方法一：由图可知平分，，，，又点为的中点，；方法二：由图可知平分，，为边上的中线，即点为的中点，又点为的中点，是的中位线，，；丙的做法证明如下：方法一：连结由图可知，点在的垂直平分线上，，点在的垂直平分线上，是的垂直平分线，，又点为的中点，；方法二：连结由图可知，点在的垂直平分线上，，点在的垂直平分线上，是的垂直平分线，即点为的中点，又点为的中点，是的中位线，，．（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，则．其他做法酌情给分6．(1)见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）利用圆周角定理即可证明；（2）作于点，作于点，利用三线合一性质得到，，得到，利用全等三角形的判定证出，得到，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：，，，又，；（2）解：如图，作于点，作于点，，，，，，由（1）得，，，，，，又，，，，，．7．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）证明，推出，即可证明；（2）利用两对角分别相等，证明，即可得到；（3）在上取点N，使，连接．证明，推出，，利用等角的余角相等求得，再证明，据此求解即可．【详解】（1）证明：，，．由旋转可知，，，，，，；（2）证明：，，，．为的中点，，，，．，，，，．（3）解：如图，在上取点N，使，连接．，M为的中点，．，，，，，．，，．，，，，．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．8．(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由等腰三角形的性质可得，再解直角三角形得出，即可得解；（2）由题意可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由题意可得：，，∵，∴，∴．9．(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．（1）根据等边对等角可得，再由角的和差关系可证明结论；（2）由三线合一定理得到，再由四边形内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴（2）解：∵，M、N分别是的中点，∴，∴，∵，∴，∴．10．(1)见解析(2)若，则四边形是矩形，证明见解析【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点．（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；（2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形．【详解】（1）证明：∵，∴，∵点E为的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴D是的中点；（2）解：若，则四边形是矩形．证明如下：∵，∴，∵，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴平行四边形是矩形．11．(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理．（1）根据等腰三角形三线合一得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论．（2）先证明，再证明，可得到．【详解】（1）证明：，，．又是边的中点，∴，为的中位线，，，四边形是平行四边形．（2）解：四边形是平行四边形，，、分别是、的中点，，，．12．(1)6(2)5或25【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定及其性质，对于（1），先求出，再根据等腰三角形的性质得，然后说明是的中位线，可得答案；对于（2），分三种情况：当F在线段上时，当F在线段CB延长线上时，当F在线段BC延长线上时，结合三角形中位线的性质得出答案.【详解】（1）解：∵，∴.∵，平分，∴.∵点E是中点，∴是的中位线，（2）解：①当F在线段上时，由（1）得，∴；②当F在线段延长线上时，如图1，由(1)得，此情况不成立；③当F在线段延长线上时，如图2，由(1)得，∴.综上所述：的长为5或25．13．(1)①见解析；②18(2)2【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可；（2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案．【详解】（1）证明：①如图，连接，∵，，点为的中点，∴，，，∴，∴，∴，∴；②如图，连接，∵，，点为的中点，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，（2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，∵，，点为的中点，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．14．(1)；(2)；(3)t为4.5或5时，是直角三角形；理由见解析(4)或或或【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识．（1）根据等边三角形的性质和路程解答即可；（2）根据速度和时间得出路程，进而解答即可；（3）由题意当时，点N落在上，此时点M也在上．当点M或点N是的中点时，是直角三角形．由此构建方程求解即可；（4）分四种情形，分别画出图形，构建方程求解．【详解】（1）解：当，，，当时，点M经过的路程为，，故答案为：；；（2）解：当点N在上时，；当点N在上时，；故答案为：；；（3）解：t为4.5或5时，是直角三角形；理由如下：由题意当时，点N落在上，此时点M也在上．当点M或点N是的中点时，是直角三角形．∴或，综上所述，t为4.5或5时，是直角三角形；（4）解：t为或或或时，线段的垂直平分线经过的某一顶点；理由如下：如图1中，当线段的垂直平分线经过点A时，，解得；如图2中，当线段的垂直平分线经过点B时，，解得；如图3中，当线段的垂直平分线经过点C时，，解得；如图4中，当线段的垂直平分线经过点A时，，解得．综上所述，满足条件的t的值为或或或．15．(1)①见解析；②存在，(2)，证明见解析【分析】（1）①证出．，则可得出结论；②作点D关于点O的对称点K，连接，证明，得出．则可得出结论；（2）连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．证明，得出．，，从而得到为等腰直角三角形．再证明，则可得出结论．【详解】（1）解：①∵，∴为等腰直角三角形，．∵，∴．又∵，∴，∴．②存在．证明：