含多重积分的变分问题

含多重积分的变分作者：鲍祥平含多重积分的变分问题在数学和物理领域中具有重要意义，尤其在理论物理、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。这类问题通常涉及到Lagrange函数（也即变函函数）一个或多个自变量函数，这些自变量函数依赖于多个变量，并且相应的泛函I需要在多维空间上进行积分。在变分法中，我们关注的是一个泛函的极值问题，这个泛函通常包含一个或多个多重积分。泛函的自变量通常是一个或多个函数，这些函数定义了积分路径或积分区域上的某种性质。我们的目标是找到这些函数，使得泛函取得极值（通常是最大值或最小值）。解决含多重积分的变分问题通常需要使用变分原理，这涉及到对泛函进行变分，并求解由此产生的欧拉-拉格朗日方程或更一般的变分方程。这些方程描述了泛函极值条件下函数应满足的关系。在实际应用中，含多重积分的变分问题可能涉及复杂的几何形状、物理过程或经济模型。因此，解决这类问题通常需要深厚的数学基础和专业知识，以及适当的数值方法和计算工具。总的来说，含多重积分的变分问题是一个具有挑战性和重要性的研究领域，它为我们提供了一种强大的工具来分析和优化各种复杂系统的性能。给定Ω⊂ℝＮ为一有界区域，其中∂Ω∈C1，给定一个Lagrange函数I上面为了书写简便，我们引入记号：x=u=p=p∂∇6.1Euler-Lagrange方程的推导称u0∈MI如果上面不等式只在Qu0φ>λ时成立，u0类似于单变量的情形，我们在假定u0为简洁起见，有时我们用记号τ=定理6.1设L∈C2,u0∈Cα证明∀φ∈C01Ω0==φix在∂Ω上等于0,在边界上的积分为0。对于每一个Ω我们将从更一般的情形来证明高维的duBois-Reymond引理。先引入单变量的钟形函数ψ对于多变量x=xφ其中x对任意充分小的ε>φ给定一个区域Ω⊂ℝn，对任意充分小的设u∈Lu做变量替换z=y−xδ，u由于x,y∈Ω，以及对x的限制，所以z∈B1θ，B1θΩ事实上，如果我们用Ωδ0上的连续函数υ取代u，那么以上极限显然是成立的，又因为CΩδ0我们得到如下引理：引理6.1设u∈LlocΩ推论6.1设u∈LΩ则ux证明事实上∀δ>φ根据上面的题设φ=u再按引理6.1uδx→ux，a.e，和一元函数一样，我们称ELυ为关于L的Euler-Lagrange算子。注6.1如果没有假设u∈C2，那么还可以定义Euler-Lagrange算子，不过Lp类似于第二讲中注2.2与注2.3，对于含多重积分的变分问题我们也可以把泛函定义域M中的函数类C1Ω,ℝN，换成Lipschitz函数类LipΩ,ℝN，或者更特殊些，逐片C1的连续函数类PWC1Ω,ℝ例6.1（Drichlet积分）设N=1，D有E-L方程α这就是调和方程。又称Laplace方程。也可以考虑更一般的变分问题，如L其中a∈CΩ−∆u例6.2（波动方程）用ℝ1×ℝ3表示时空连续统（就是一个时间轴加上了一个空间坐标系，构成时空四维空间，时间轴与空间坐标系正交，空间坐标系的坐标轴与时间轴经过同一原点，两两相互正交），时空中一点的坐标是t,x其中t表示时间，x=x弹性波的动能是T位能是ULagrange函数是I按稳定作用量原理，弹性波的位移是这个Lagrange函数对应的E-L方程E的解。这个方程就是Alembert方程。类似的，如果还有内力或外力，那么在位能中可以再添加一些其它项，例如U其中M>0是个常数。这时对应的E-L方程是Klein-Gordon方程：E又如U这时对应的E-L方程是非线性波方程E例6.3（极小曲面）设Ω⊂ℝn，给定函数u∈C1Ω，它的图像A给定边值u∂Ωdiv注意到这个超曲面的平均曲率是H如果给定了平均曲率函数Hx，x∈Ω，div值得注意的是6.I的E-L方程。特别地，当n=2时，方程变为1+比较方程6.2与现在我们来求极小曲面方程的一个特殊解：ux,y=fx+gy1+即f解出arctanff同理g故u这个解对应的极小曲面被称为Scherk曲面。例6.4（Maxwell方程）时空中一点的坐标是x0，x1，x2在电磁场中电荷分部ρ和电流场j都是时空的函数，E=EMaxwell方程组写作−因为∇∙B=0，假设存在磁动势A=∇∙∇×所以可认为磁场强度B是某个磁动势A的旋度∇×BBB再由Faraday∇×推出存在电势A0E+我们把A=AF则F现在我们定义Lagrange函数L=−其中J=j对应的泛函是作用量I由此导出E-L方程∂p因为∂所以j=0这正是Maxwell方程组中的Ampere定律（i=0,1,2,3）与电荷的Gauss注6.2（A0，AA取代Aj添加Lorentz条件−可以消除这种不唯一性。6.2边值条件和单重积分的变分问题一样，对于多重积分的变分问题，随泛函定义域中函数在边值上的不同要求，所得的E-L方程还需添加不同的边值条件，我们前面讨论过的定义域M有固定的边值函数：M如此得到的u∗E外，还必须满足边值条件u如果把定义域换成M=C1Ω,ℝN，也就是说，在区间Ω的边界∂E再由分部积分公式δ=观点一，其中dHn−1x为减去第i项的∂Ω的面积微元，να观点二，δ除非ELu∗Ω是不可能的。6.3二阶变分给定Ω⊂ℝn，给定一个Lagrange函数L∈C2Ω×对∀φ∈C0δ=其中τ=同样引入简单记号A=B=C=以及ABC并记Q上面都是简记符号，读者必须学会展开。如果u0Q其中C01Ω，ℝ对于任意类的u0，φ∈C0Q则u0就是I的一个严格弱极小点，如果Qu0φ≥∞我们用记号Q来表示。注意这只是个记号。实际上只要Qu仿照n=1的情况，我们也有类似的Legendre-Hadamard条件。∀x0∈Ωφ代入6.Q令μ→j,k=1这个不等式说明了整体最优时必须局部达到最优。现在对∀ρ∈ν以及ν代入以上不等式，然后相加，再令t→∞，再两边除以j,k=1即j,k=1由于ξ，j,k=1这就是Legendre-Hadamard条件j,k=1如果我们使用秩1矩阵的记号π那么6.8可以等价的写成j,k=1如果∃λ>j,k=1∀那么我们称其为严格Legendre-Hadamard条件，它是弱极小的必要条件。ξ，η是有限的，λ可以任意小，所以j,k=1∀本人觉得严格Legendre-Hadamard条件只需写成j,k=1∀就够了。由于ξ,ηj,k=1也即Ω6.j,k=1这里矩阵π=π对于多重积分变分问题还有一个更强条件：j,k=1我们称其为一致强椭圆条件。当N=1或总结如下：定理6.2设L∈C2，又设u0∈M是I的一个弱极小点，则6δ且Ω则u0如果Ωφx6.10蕴含了严格Legendre-Hadamard条件6.9，但6.4Jacobi场对于多重积分的变分问题，也有Jacobi场的概念。设L∈C3，δ即Q泛函Qu0的k=1j=1,2,⋯,N和n=1的情形一样，我们称这个方程为Jacobi方程，并称J为沿u0的Jacobi算子，其中ψJacobi方程的任一C2解称为沿u对于满足严格Legendre-Hadamard条件的微分算子有如下不等式：引理6.2（Garding不等式）设aαβjkx是Ω⊂ℝα则存在α>0及Ω∀这个定理后面一项没起多大作用，可以略去，只需Ω或Ω证明对于N=1，这个结论是显然的，而且c0α出发，两边积分就得到了。当N>1时，aαβjkx是常数，可以利用Fourier变换来证明。让φφ则有2π于是由Parsaval等式j,k=1≥=σ对于变系数情形，可以利用单位分解，在每个小邻域内把系数冻结为常数，化归前面的估计，所得的余项用Schwarz不等式合并到右边第二个积分中去。由于繁琐这里证明略去（有兴趣的读者可以参看K.Yosida,FunctionalAnalysis,pp.175-177）引理6.3设L∈C2满足严格Legendre-Hadamard条件，即L又设存在μ>Q则存在λ>Q从而u0是I的一个严格弱极小点。实际上Qu