考研数学一试题及答案

考研数学一试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.当$x\to0$时，$f(x)=x-\sinx$是比$x^2$的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小2.设函数$y=f(x)$具有二阶导数，且$f^\prime(x)\gt0$，$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，$\Deltax$为自变量$x$在点$x_0$处的增量，$\Deltay$与$dy$分别为$f(x)$在点$x_0$处对应的增量与微分，若$\Deltax\gt0$，则（）A.$0\ltdy\lt\Deltay$B.$0\lt\Deltay\ltdy$C.$\Deltay\ltdy\lt0$D.$dy\lt\Deltay\lt0$3.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$（）A.当$p\gt1$时绝对收敛，当$0\ltp\leq1$时条件收敛B.当$p\gt0$时绝对收敛，当$p\leq0$时发散C.当$p\geq1$时绝对收敛，当$0\ltp\lt1$时条件收敛D.对任何$p\gt0$均条件收敛4.设$A$为$n$阶方阵，且$|A|=0$，则（）A.$A$中必有两行（列）元素对应成比例B.$A$中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合C.$A$中必有一行（列）元素全为零D.$A$的秩为$n-1$5.已知向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$C.$\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1$D.$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,2\alpha_1-3\alpha_2+22\alpha_3,3\alpha_1+5\alpha_2-5\alpha_3$6.设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}2,&0\ltx\lt1,0\lty\ltx\\0,&其他\end{cases}$，则$P\{X+Y\leq1\}$等于（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$7.设随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则随$\sigma$的增大，概率$P\{|X-\mu|\lt\sigma\}$（）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定8.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$等于（）A.0B.1C.$f(a)-f(b)$D.$f(b)-f(a)$9.设$A,B$为$n$阶矩阵，且$A$与$B$相似，$E$为$n$阶单位矩阵，则（）A.$\lambdaE-A=\lambdaE-B$B.$A$与$B$有相同的特征值和特征向量C.$A$与$B$都相似于一个对角矩阵D.对任意常数$t$，$tE-A$与$tE-B$相似10.设总体$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则参数$\lambda$的矩估计量是（）A.$\overline{X}$B.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i$C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$D.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$答案：1.A2.A3.A4.B5.C6.B7.C8.A9.D10.A二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在$x=0$处可导的有（）A.$f(x)=|x|$B.$f(x)=x|x|$C.$f(x)=\sqrt[3]{x}$D.$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$2.下列说法正确的是（）A.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2$收敛B.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$绝对收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛C.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$条件收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$发散D.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$收敛3.设$A$为$n$阶矩阵，下列结论正确的是（）A.若$A$可逆，则$A$的伴随矩阵$A^$也可逆B.若$A$不可逆，则$A$的伴随矩阵$A^$的秩小于等于1C.若$r(A)=n-1$，则$r(A^)=1$D.若$r(A)\ltn-1$，则$A^=0$4.已知向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则（）A.该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$C.向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的极大线性无关组所含向量个数小于$s$D.对任意一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，都有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\neq0$5.设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，则（）A.$F(-\infty,y)=0$B.$F(x,-\infty)=0$C.$F(+\infty,+\infty)=1$D.$F(x,y)$关于$x$和$y$均单调不减6.设随机变量$X$和$Y$相互独立，且都服从正态分布$N(0,1)$，则（）A.$X+Y$服从正态分布B.$X-Y$服从正态分布C.$X^2+Y^2$服从$\chi^2$分布D.$\frac{X}{Y}$服从$t$分布7.下列积分中，值为零的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}x\sinxdx$B.$\int_{-\pi}^{\pi}x\cosxdx$C.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$D.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx$8.设$A,B$为$n$阶矩阵，且$AB=0$，则（）A.$r(A)+r(B)\leqn$B.$r(A)\leqn-r(B)$C.$r(B)\leqn-r(A)$D.$A$的列向量组线性相关，$B$的行向量组线性相关9.设总体$X$的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则（）A.$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$是$\mu$的无偏估计量B.$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$是$\sigma^2$的无偏估计量C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$是$\sigma^2$的无偏估计量D.$\overline{X}^2$是$\mu^2$的无偏估计量10.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则（）A.$f(x)$在$[a,b]$上有界B.$f(x)$在$[a,b]$上连续C.$f(x)$在$[a,b]$上至多有有限个间断点D.存在$[a,b]$的一个划分，使得积分和的极限存在答案：1.BD2.BCD3.ABCD4.ABC5.ABCD6.ABC7.BC8.ABC9.AB10.AD三、判断题（每题2分，共10题）1.若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)$在点$x_0$处一定连续。（）2.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$一定发散。（）3.若矩阵$A$与$B$等价，则$A$与$B$一定相似。（）4.向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关，则$\alpha_1$一定能由$\alpha_2,\alpha_3$线性表示。（）5.设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$。（）6.若随机变量$X$与$Y$的协方差$Cov(X,Y)=0$，则$X$与$Y$相互独立。（）7.函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$是一个常数。（）8.若$n$阶矩阵$A$满足$A^2=A$，则$A$的特征值只能是0或1。（）9.总体$X$的样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的最大似然估计量。（）10.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调增加，则$f^\prime(x)\gt0$在$[a,b]$上恒成立。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数$y=x^3-3x^2+1$的单调区间与极值。答案：先求导$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，得$x=0,2$。当$x\lt0$或$x\gt2$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增；当$0\ltx\lt2$时，$y^\prime\lt0$，函数单调递减。所以极大值为$y(0)=1$，极小值为$y(2)=-3$。2.计算$\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx$。答案：先将分母配方，$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$。令$u=x+1$，$du=dx$，则原式变为$\int\frac{1}{u^2+1}du$，根据积分公式，结果为$\arctanu+C=\arctan(x+1)+C$。3.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩阵$A^{-1}$。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴随矩阵$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$。则$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\