哈工大数字信号处理2-5章答案

第二章(冀振元主编)

1.

根据奇偶序列的定义，有.：

xi(—n)=A：i(n),X2(—n)=-xz(n),

那么y(一〃)=xi(­〃)•X2(一〃)

=xi(〃)•(—X2(H))

=­x\(n)•X2(n)

=­y(n)

故)S)为奇序列。

2.

的共规对称局部是：

用其实部与虚部表示x(〃)，得

故M(〃)的实部是偶对称的，虚部是奇对称的。

3.

(1)69=5兀/8,那么lit!co-16/5

故x(n)是周期的，最小周期为160

(2)对照复指数序列的一般公式x(〃)=exp[cr+/M〃，得出口二1/8,因此2n/co=16r,是无理

数，所以x(〃)是非周期的。

4.

＜法一＞

＜法二＞

5.

交换律：

令k=n—ni,那么

结合律:(x(n)*/?i(n)}*fe(n)=x{n)*{h\(n)*hi(n)]

证：

右边二%(〃)*{〃1(〃)*力2(〃)}

=左边

分配律：+〃2(〃)}二人(〃)*/?1(〃)+工(〃)*42(〃)

、*T-

证：

左边=x(〃)*{%i(〃)+hi(n)}

=右边

6.

⑴稳定，因果，非线性，移不变

稳定性：假设1MgM

那么|y(/?)|=|2x(n)+3|＜2M+3有界，所以是稳定系统。

因果性：对任意小，系统在m深刻的响应仅取决于在时刻，尸处的输入，所以是因果系统。

线性：

所以系统非线性。

移不变性：7(x(〃一4))=2x(〃-〃J+3=y(〃-〃n)所以是移不变系统。

⑵稳定，因果，线性，移变

线性：

27r7t27r7t

设x(〃)=ax(z?)sin[—n+—],y(n)=/7x(/?)sinl—7?+—],由于

}3622~36

y(n)=T[axx(n)+bx2{n}]=[ax^n)+bx2(n)]sin[—n+―]系统是线性的

=他(〃)+勿2(〃)

移不变性：

T[x(n-k)]^y(n-k)f故系统是移变的

稳定性：

设|x(〃)|SM,那么有

系统是稳定的

因果性：

因)，00只取决于现在和过去的输入龙。川不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

⑶不稳定，因果，线性，移不变

稳定性：不稳定似〃)|=.8。

Ar="oo

因果性：因M〃)只取决于现在和过去的输入x(〃)，故该系统是因果系统。

线性：

因此为线性系统。

r”一%

移不变性：T(X(H-/2O))=£1("2-4)=£移不变系统

m=Fi="oo

(4)不稳定，因果|非因果，线性，移变

稳定性：卜(〃)|二2工(攵)Wn-n()\-M.As〃-8,7.8.所以系统不稳定

因果性：假设〃2%,该系统是因果系统，当〃v〃o时，非因果系统

线性：

因此为线性系统。

移不变性：

所以是移变系统。

⑸稳定I不稳定，因果，线性，移变

稳定性：

设上(〃)|<M<oo

那么|y(〃)|«|g(叫"

如果g(〃)有界,那么系统稳定。

因果性：

因y(〃)只取决于现在的输入尤(〃),不取决于未来的输入，故系统是因果系统

线性：

因此为线性系统。

移不变性：

所以是移变系统。

(6)稳定，因果|非因果，线性，移不变

稳定性：设|x(n)\<M

那么［戈(〃)j=,〃一%)归”所以是稳定系统。

因果性：假设为20,那么系统为因果系统，否那么为非因果系统。

线性：

因此为线性系统。

移不变性：

因此为移不变系统。

7.

(1)

当〃<0时，6(〃)，0,所以系统是非因果的。

所以当时>1时，系统稳定；当同S时，系统不稳定。

⑵

当〃<0时，/?(/?)/0,所以系统是非囚果的。

因为£|力(〃)|=1，所以系统稳定。

H=-oo

(3)

当〃<0时，/?5),0,所以系统是非因果的。

y"(〃)|=1+2-|+2-2+,,=」1=2,故系统是稳定的。

"=V|___

2

(4)

当〃V0时,/?(n)=0,所以系统是因果的。

8（IA1

Zl/7（,7）l=1+2故系统是稳定的。

T=-00\乙）

2

(5)

假设N*,那么71x(〃)］的值取决于x(〃)当前和过去的值，所以是因果系统；否那么是非因

果系统。

假设Ix(n)\<M

,|Af-l1N-l|

那么,xSM"*）《元・£,（〃-%）归万=M,所以是稳定系统

/Vk=n/Vk=ON

(6)

的值取决于未来的值，所以是非因果系统。

假设Ix(n)\<M

那么,口:⑺］二,(〃)十+1)|《卜(〃)|十卜(〃十D|《"十"二2",所以是稳定系统。

(7)

当〃o#O时，7］x(〃)］的值取决于x(〃)未来的值，所以为非因果系统；当加二。时，为因果系

统。

假设Ix(7?)|<M

那么「卜⑺』wfk(Z)闫+所以系统稳定。

«="一%

(8)

7U5)］的值仅取决于工(〃)当前的值，所以为因果系统。

假设Ix(n)\<M

那么,卜⑺卜卜⑶卜”㈤,所以系统稳定。

8.

⑴当/?<()或〃>15时，>(〃)=0

(2)当0</?<5时，

(3)当5力<10时，

(4)当10</?<15时，

所以，

v法二〉

9.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

10.

令x(n)=^(n)

那么对于n<0,y(n)=h(n)=O

可以推出

即

II.

证：

右边j［豆A-(77>>MfXd(o

24无n=-<x>\zn=-ooj

二左边

12.

(1)羽⑺的周期是7；尸1户0.05s

(2)

⑶M〃)的数字角频率为以=乃

的波形如下列图所示：

如下图,x(〃)的周期为1(不是2n/con=2)

%%====MatlabCode====

phai=pi/2;

n=-8:8;

xn=cos(pi*n+phai);

figure,stem(n,xn),xlabel('n'),ylabel('x(n)'),axis([n(l)n(end)-11])

第三章习题（冀振元主编）

1、

解

00

Z[2~nu(n)]=Z2一〃〃=Z2-"z-/I

⑴n=-<o〃=0

1..1

Z[-2~nu(-n-])]=-2-”〃(-〃

n=-oo

f-2fz±2”z”

⑵-/I

Zl=-00n=l

-2z1

l-2zl-2~'z-'

一8

=L2z

(3)n=0

I

廿、占lzl<I

⑷Z|^(/?)|=l,()<|z|<oo

⑸=z',0<|z|<oo

Z\a"(〃(〃)一〃(〃-10))]="z"

(6)〃=0

l-a'V0八」

=-~~工一二,0v|z区8

\-az

8I

⑺X[z]=^-z,-/1

«=i几

因为

积分得

而X[z]的收敛域和也包的收敛域相同，所以X[z]的收敛域为|z|>lo

az

18)设y(n)=(sin(“)〃))•〃(〃)

那么有sin(“用二—-)

2j

而

所以

因此，收敛域为|z|>为

2、

(1)

z=l处得零、极点相互对消。图略

(2)

零点：z=「cos(%-⑺=eg,Z2=o,极点:z3=%，=/O.9,z4=，/'=_jo.9,图略。

cos。

3、

解X[z]有两个极点：4=0.5/2=2,因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三

种情况：

三种收敛域对应三种不同的原序列。

(1)当收敛域|z|<().5时，

5z-7

令%Z)=X(Z)Z”T-------i------z------------z

(l-0.5z-1)(l-z-1r)(z-0.5)(z-2)

71>0,因为C内无极点，](〃)=()；

⑵当收敛域0.5Vzk2时,

最后得到

(3)当收敛域|z|>2时,

〃<0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此了(〃)二0。

或者这样分析，c内有极点0.5,2,。，但0是一个〃阶极点，改求c外极点留数，c外无极点,

所以x(")=0。

最后得到

4、

解

⑴Z[x(n)]=^8a,,^z~>'=----1--]z\>a

"=oi-az

si7r(dX[z]azII

⑵Z[m(7?)]=-z-----=-------Az\>a

dz(z-〃)~

f11

(3)Z[anu(-n)]=Z，""-"二-—,|z|>-

Mza

5、

(i)根据极-零点图得到的z变换

因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为，<|z|<2。故M")是双边序歹人

2

(2)因为x(〃)是双边序列，所以它的Z变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收

敛域有两种可能：；z|<2或2<|z|<3。

采用留数定理法求对应的序列，被积函数为X⑵Z”T=—产B------Z“T

(z-^)(z-2)(z-3)

对于收敛域,<|z|<2,被积函数有1个极点z=，在积分围线内，故得

22

被积函数有2个极点4=2刃z?=3在积分围线外，又因为分母多项式的阶比分子多项式的

阶高3-〃>2(因〃4()),故

最后得到

对于收敛域2<|z|<3,被积函数有2个极点4和Z2=2在积分围线内，故

被积函数有1个极点z=3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高

3-〃>2(因〃<0),故

最后得

6、

分析

①长除法：对右边序列(包括因果序列)，⑵的分子、分母都要按z的降暴排列，对左边序

列(包括反因果序列)”⑵的分子、分母都要按z的升室排列。

②局部分式法：假设X⑵用z的正累表示，那么按X(z)|z写成局部分式，然后求各极点的留

数，最后利用变换关系求Z反变换可得河力。

③留数定理法：a注意留数表示是Res(X(z)z'i)Lf=(z-z“)X(z)z〃T|弓，因而X(Z)Z〃T也要

化成’的形式才能与z-z人相抵消，」^和z-z,不能相抵消，这是常出现的错误。

Zf1—Z

b用围线内极点留数时不必取“一〃号，用围线外极点留数时要取“一〃号。

(1)

a长除法

直接可得：x(n)=3(〃)--1)

2

b留数定理法

当〃=1时，x(n)=--

2

当〃>111寸，x(n)=O

当〃=0时，x(/?)=l

当〃<0时，1-〃N2,满足留数辅助定理应用条件，故乂〃)=0

综上所述：M〃)=bS)-L・b(〃-i)

2

(c)局部分式法

由题得X(z)=l

Z

所以x(n)=5(〃)——・5(〃一1)

⑵

(a)长除法

由于极点为z=，，收敛域为|z|<,，因而x(〃)是左边序列，所以要按z的升幕排列。

44

所以x(〃)=8・b(n)+7・(L)”・〃(一"-1)

4

(b)留数定理法

综上所述，有

(c)局部分式法

那么

由于宜⑶是左边序列,所以

7、

w

被积函数：X1(Z)Z”T=X2(z)z-'=X<z)z'i二(zT)z”

(z+l)(z+1)

⑴limX(z)=i,收敛域|Z|>1对应于因果序列。在〃20札被积函数在积分围线内有2

二T8

个极点-1和-,，因此

3

(2)limX2(z)=l，收敛域|z|<，对应于非因果序列。在〃<°时，被积函数在积分围线外

Z—>003

有2个极点-1和-g；且被积函数在z=8处有2-5+1)=1-〃22阶零点，因此得

(3)收敛域g<|z|<l对应于双边序列。当〃之0时，被积函数在积分闱线内有1个极点-g,

故

当〃<()时\被积函数在积分围线外有1个极点-1,且被积函数在Z=8处有

2—(〃+1)=1—〃22口介零点，因止匕

曷尸徂(\一2(一；)",〃20

最后得X(H)=<3

—3(—1)”,〃<0

8、

分析

a移位定理

b假设)，(〃)=%(〃)*x2(n),那么Y(z)=X|(z)*X2(z)

解

而

所以

9、

解

J

(1)F[x(n-n())]=e-^X(jw)

(2)F[x(n)]=X\-jw)

(3)F[x(-n)]=X(-jw)

(4)F[x(n)*y(«)]=X(»r(»

(5)F[x(n)y(n)]=^-X(Jw)*Y(jw)

2/r

(6)F[/?.¥(/?)]=j*(jw)(由z变换可推得)

dvv

F[x(2n)]=£=2n

n=-oo

=£x(n)eJ%

/=偶数

,、1-y-2H'n

⑺=^-[x(n)+(-\yx(fi)]e

n=-oo乙

00I1I—f-.H17：

=Z—IM〃)+eJ/rilx(n)\e2

n=-oo2

I/-H'/(Ls—r)

=-[X(e2)+X(e-)]

⑻F[.r2(/?)]=^-x(jw)*Xjvv)

2乃

(9)

(10)

10、

(1)仪5(〃—%)J=Z传5-叫))J1=

(2)F[e-aliu(n)]=4"〃”(，川之扭=

p>w

⑶“—，，(〃)]=7

(4)

11、

证明

设

那么

那么

而

又因为

那么

所以得证

12、

(1)

闫)，

〃<0,y(〃)=0

最后得到：

⑵

〃X),

/?=-1，M〃)=1

〃<-1,y(〃)=0

最后得到：

(3)

以)，

最后得到：

13.

⑴

对差分方程两边进行Z变换，得

因此

零点:zo=O

1+V51-75

极点:Z[=，z)=

1222

零极图

%%

b=[()1()];

a=[l-1-1];

zplane(b,a)

1+5/5

(2)由于限定系统是因果的,收敛域需选包含8在内的收敛域，即目〉

2

z,

令F(z)=H(z)z,,_,

(z-z,)(z-z2)

〃K),

因为人(〃)是因果序列，〃<0时，取〃)=0

所以A(n)=〃(冷

WE2

(3)

由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即㈤<目<区|

Z”

令F(z)=H(z)z"T=--------------

㈠㈠(z-z.)(z-z2)

〃X),C内只有极点Z2,只需求Z2点的留数，

〃<0,c内有两个极点Z2和z=0,囚为z=O是一个n阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点

只有一个，即ZI,那么

最后得到

14.

(1)

由y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)

得y(z)=0.9y(z)z-'+X(z)+0.9X(z)z-,

所以〃(z)

')Jl+-0.9z-1

〈方法一:围线积分法(留数法)

令尸(Z)=”(Z)Z"T=£±2zl

n>l,c内有极点0.9

n=O,c内有极点0.9,0

其中

所以〃(0)=1

最后得到力(〃)=20.9"〃("1)+5(〃)

Q)

极点zi=0.9,零点为二一09零极点分布图图下列图(a)所示，幅频特性曲线如下列图(b)所

示：

%%

b=[l0.9];

a=fl-0.91;

zplanc(b,a)

freqz（b,a,'whole'）

零极图

幅频、相频特性

⑶

注：

即：儿)

或者：

第四章习题(冀振元主编)

1、

解

；1片^

NTN-12£,l-eNN,〃=0

（I）X（Q=KM〃=£JN

.2*,

〃=0zr=Ol-ek

N-\N-\

⑵X（Q=Z55）叱弧二ZS（〃）=L攵=°，1，2,…,N-1

M=0〃=0

N-\N-1

⑶x（z）=£s（〃—〃0）隙；〃=眠％£次〃—%）=叱料攵=0,1,2,…,N—1

n~（）〃=0

•n-\i_ivA/n-sin（二；mk）

⑷乂（公=£吟=；^=JN—M—,k=Q12...,N-l

司「％sin（-A9

N

i-呼（"T〉N

N-l2nJV-1.2^.,、[—6N\N,k=m

（5）x（〃）=£i〃M=s0<^<AZ-l

H=0H=0-白[0,k*"i

l-eN

2、

解我们知道X(e")=X(z儿“卬是以24为周期的周期函数，所以

以N为周期，将文(k)看作一周期序列((〃)的DFS系数,那么

代入

由于

《齐俨皿北黑+W

N卜=0[0,具匕加

所以

由题意知

所以根据有关X(k)与4伽)的周期延拓序列的DFS系数的关系有

由于—所以

因此

3、

解(1)记录时间即时域信号的时间长度。

?=—<_!—1

⑵=0.5/775

,厂-2xl()3

2xlQ3

⑶=40

¥V50

(4)频带宽度不变就意味着采样间隔A不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率

分辨率提高1倍(V变为原来的1/2)。

4、

5、

分析

离散时域每两点间插入户1个零值点，相当于频域以N为周期延拓r次，即

丫伏)周期为小。

解

由

可得

而

所以丫(口是将X(Q(周期为N)延拓r次形成的，即丫(口周期为‘加。

6、

解

和有限长序列x(〃)的性质|x(n)|2=x(n)x(n)

所以我们可得

得证

7、

解：x^DFSX^k)

令■n=n-N,那么

8、

9、

ID、

解

(八ACf10xl0?Hzcrs、

(1)M=5=---------=9.766Hz

N1024

(2)

第五章快速傅里叶变换

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us,每次复加需要10us,用来就散N=1024点的DFT,

问：

(U直接计算需要多少时间？用FFT计算呢？

〔2〕照这样计算，用FFT计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？

疆

分析：直接利用DFT计算：复宾次数为N2,复加次数为N(N-l)；

利用FFT计算：复乘次数为OSNlogzN,复加次数为Nlog?"；

(1)直接DFT计算：

复乘所需时间工=N2X50US=1024?x50〃s=52.4288s

复加所需时间7；=N(N-1)x1(to=1024(1024-1)x1Ous=10.47552s

所以总时间TDrr=T,+T2=62.90432.9

FFT计算:

复乘所需时间7；=0.5Nlog?Nx50«5=0.5x1024xlogj024x50us=0.256s

复加所需时间4=Nlog?Nx1Ous=1024xlog21024x1Ous=0.1024.y

所以总时间为%r=%+4=0.3584s-

(2)假设计算两个N长序列为(〃)和々5)的卷积

计算过程为如下：

第一步：求乂(幻，、2(Q;所需时间为2x。门

第二步：计算X(Q=X1伙)・X2(A),共需要N次复乘运算

所需时间为7b=Nx50us=1024x50〃s=0.0512s

第三步：计算IFFT(X(k)),所需时间为7；口

所以总时间为7=2xTFFI.+TO=3X0.3584s+0.0512.y=l.l264s

容许计算信号频率为N7T=911.3Hz

2.