全国高中数学竞赛二试模拟训练题+数学竞赛集合与函数试题训练

全国高中数学竞赛二试模

拟训练题+数学竞赛集合与函数试题训练

加试模拟训练题

1、已知圆。外一点X,由X向圆。引两条切线，切点分别为过点X作直线,

与圆。交于两点C,。，且满足CA1B。，若C4I。交于点尸，CD,AB交于点G,BD

与GX的中垂线交于点〃，证明X,£G,〃四点共圆。（05年口本）

2.设a,b,c是正实数,且满足〃儿,=1,证明：a-1-1+白）<?-1+—j<1

3、设月是一个有几个元素的集合，月的加个子集4，人,…,A,.两两互不包含,

m1m

试证：（1）Z刖41；（2）ZC^>,H2.

z=iC/ti=i

其中IAI表示A,所含元冢的个数，CT表示〃个不同元素取|A,|个的组合数.

4.设出〃,。是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：〃反可以被30整除。

证明：不妨设。是直角三带形的斜边长，则。2=/+/。

加试模拟训练题（15）

1、已知圆。外一点X,由X向圆。引两条切线，切点分别为48,过点X作直线,

与圆。交于两点CO,且满足CA18。，若C4,3。交于点/，CD,AB交于点G,BD

与GX的中垂线交于点”，证明X,EG,“四点共圆。（05年日本）

证明因为X,D,G,C是调和点列，且/。/。二90。，所以尸在关于点X,G的阿波

罗尼斯圆上。连FG,FX、有/GFD=NDFX,设AGW的外接圆与8/交于点”'，则

有GH—XH',即〃'在GX的中垂线上，从而有〃'=〃，因此X,F,G,”四点共圆。

2.设凡4c是正实数,且满足abc=1，证明:

（a-1+-1+（jc-1+^＜1（第41届国际数学奥林匹克试题）

分析与证明：令x==4及z=Vc.易知xyz=1.则

,13,13（xyz）2X.222\

4-1+—=x-1+—=x-xyz+z—=-（x~y-y~z+z~x）

by-yy

同埋有其它两式，再令u=x2）\v=y2z,w=z2x.

则原不等式等价于齐次不等式：（u+v-vv）（v+w-u）（w+u-v）＜uvw.

因为（〃+U-卬）3+卬一〃）＜（-------------------J=V

同理有（V+W-〃）（W+U-V）＜W2；（W+U-V）（V+U-W）＜u2.

故［（W+V-VV）（V+IV-W）（VV+M-V）］2＜（WVW）2.

从而原不等式成立.

3、设月是一个有〃个元素的集合，月的〃?个子集…,AJ两两互不包含，试证：（1）

w1in

z焉”；（2）zcr1川・

i=l"i=|

其中IAI表示A所含元素的个数，CF表示〃个不同元素取141个的组合数.

（1993年，全国高中数学联赛二试第二大题）

【证明】（1）据组合公式知，（1）式等价于f|4|!（"I4|）!W〃!.®对

J=l

于A的子集A={$,々，…，大］，我们取补集%=（%，为一,，）］|闺），并取4的元素在前，

4元素在后，作排列2,》2,…，百A」，）'1，）”一，九-网「②

这样的排列共有IA15-141）!个.

显然，②中每一个排列，也是A中的一个排列，若jw/•时，4对应的排列与4对庆的排

列互不相同，则A,4,….A”,所对应的排列总数便不会超过A中排列的总数见现假设A,中

/f，，，，

对应的某一排列为了2，…，X|八/，必，为，…，）'〃-内|•③

与4（，工，）中对应的某一排列②相同（指出现的元素及元素位置都相同），则当|A,凶4|

时，474：当|4|>141时，这都与4,A”两两互不包含，矛盾.

由于4,A?,…,4对应的排列对②互不相同，而力中〃个元素的全排列有〃！个，故

得

nni

Xl4l!（，~l4l）!<".即X刖<L

/=1/=!'

阳尚冽1m

（2）由上证及柯西不等式，有X。岁2（2前）（24后（21）2="72.

i=\；=l.=1C〃'i=l

【评述】本题取自著名的如e/力er定理：

设Z为〃元素，凡，…4为Z的子集，互不包含，则团的最大值为C7.

4.设〃是直角三角形的三边长。如果，。是整数，求证：4儿可以被30整除。

证明：不妨设C是直角三角形的斜边长，则。2=1+后。

若冰〃，咻/?,2*,则T=/+从三i+i三（）（mod2）,又因为T三i（mod2）矛盾！

所以21abc.

若3*/,3卡/?,3卡c,因为（3k±1了三l（mod3）,则。？+/三1+1三2（mod3）,又

c2=l（mod3）,矛盾!从而3|〃bc.

若5，v,5M,5。，因为（5R±1尸三l（mod5）,（5Z:±2）2=-l（mod5）,

所以/三±2或0（mod5）与/=±l（mod5）矛盾！

从而5|abc.

又⑵3,5）=1,所以30|Hc.

高一数学竞赛集合与函数试题训练

6.已知函数f（x）=d-2|x|+2的定义域为出,切（其中。<人），值域为［2。,2勿，

则符合条件的数组（。,份为（；,2+0）

8.已知关于x的方程|工-人|=5-4石在区间伙-1欢+1］上有两个不相等的实根，则

实数〃的取值范围是0<%41

2____

1.已知函数满足/(----)=log2Jx\x\,则f(x)的解析式是(C)

x+\x\

A.2-xB.log2xC.—Iog2xD.x~2

2.已知/(x)=l-Jl(TWxWO),函数y=/(x+l)与y=/(3-x)的图象关于宜.线/对称，

则直线/的方程为(B)

A.x=2B.x=lC,x=—D.x=O

2

3.设/(x)是R上的奇函数，且在(0,+8)上递增，若/(，)=0,川og4x)>0,那么x的

91

取值范围是(A)

A.x>2或，Vx<lB.x>2C.—<x<lD.-<x<2

222

4.已知定义域为R的函数片/(x)在。4)上是减函数，又%/(x+4)是偶函数，则(A)

A./(5)</(2)</(7)B./(2)</(5)</(7)

C./(7)</(2)</(5)D./(7)</(5)<f(2)

5.若不等式2x2+ax+220对一切x£。,］成立，则a的最小值为(C)

2

A.OB,-4C.-5D.-6

6.已知定义域为R的函数f(x)满足/(-x)=-/(x+2),且当x>l时J(x)单调递增.

如果X1+X2V2,且(X「1)MT)V0,则/(Xi)+f(X2)的值(B)

A.恒大于0B.恒小于0C.可能为0D.可正可负

7.若函数Hx)=25Tx+5|-4X5Tx+5l+m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是(D)

A.fn>0B.mW4C.0VmW4D.0VmW3

8.对定义在区间。，b］上的函数/(x),若存在常数c,对于任意的XiW［a,团有唯一的刈后⑸b］f

使得&2±Z1^2=c成立，则称函数段)在区间。,句上的“均值”为c.那么，

2

函数/(x)=lgx在［10,100］上的“均值”为(D)

log81x+logMy=4Vx=x2

12.已知方程组，

log81-log64=l的叫"J=)’2

xJv

则Iogl8(xiX2yiX2)=12

13.若关于x的方程4x+2'm+5=0至少有一个实根在区间［1,2］内，

则实数m的取值范围是_____-275］__________________

4

14.设card(P)表示有限集合P的元素的个数.设a=card(A),b=card(B),c=card(AHB),

aba+bcc

且满足aWb,(a+l)(b+l)=2006,2+2=2-+2,则max{a?b}的最小值是58

16.设函数/(x)的定义域是(0,+8),且对任意的正实数x,y都有/(xy)=/(x)+/M恒成立.

已知/(2)=1,且x>l时J(x)>0.

⑴求/(')的值；(2)判断月(x)在(0,+8)上的单调性，并给出你的证明；

2

⑶解不等式Hx2)>/(8x-6)-1.

16.⑴令x=y=l,则可得/(1)=0,再令x=2,片《，得/(1)=/(2)+/(《)，故/(《)=-1

222

⑵设0<Xi<X2,则/(*)+/(X)=/(x2)即/2)-/(刈月(&),

占百

•・.兰》1,故/(土)>0,即/(X2)>/(Xi)故/(X)在(。,+8)上为增困数

芭X,

⑶由f(x2)>/(8x—6)-1得f(x2)>/(8x-6)+/(g月[g(8xg)L

故得X2>4X-3且8x-6>0,解得解集为{x[-<x<l或x>3}

4

17.己知函数/3=1。8。(以2仪+工)在[1,2]上恒为正数，求实数a的取值范围.

2

17.题设条件等价于(1)当。>1时,ax2-x+->1对x£[1,2]恒成立；(2)当0<a<l时,

2

0<ax2-x+—<1对xG[1,2]恒成立.

2

由⑴得a>—1+工=」(工+1K-,对x£[1,2]恒成立，故得3.

2x2x2A-22

11八21

«<-(Z-+1)--

由(2)得1"2对x£[l,2]恒成立，故得一VaV?.

1」「2128

a>——(——1)+—

2x2

因此，。的取值范围是。3或ILVOVS2

228

15、设k为正整数，使得一200次也是一个正整数,求k的值。

1解)：15、解:令J犬一2004左=〃，得)=i002±J(2x3xl67j+x2,

令(2x3x167)2+〃2=加2(/〃>〃)

/.(m+n)(tn-n)=(2x3x167)2得(m+n)与(〃z-，7)均为偶数.

(1)若m,n均为偶数，令m=2叫,n=2n],则

2

(町+nA)(/??1-/?))=(3x167)

,/机>几得>%，叫+n}>m}-nA,

叫+〃]=(3x167)2+〃1=3x167?m.+n.=167"m.+n.=3~x167

或，或<或，

-%=1见一〃1=3mA-/?!=3-1"%-/?!=167

由m=2%，得m=251002或m=83670或m=27898或m=1670.

这时,k=252004或84672或28900或2672。

(2)若〃均为奇数，令〃7=2〃+l,〃=2q+l(〃>q)则

(〃+〃+1)(〃-q)=(3x167)2

•.・(3x167)2为奇数，得(〃+4+1)与(〃一编均为奇数，矛盾！

这时无解.

综上所述,k的值为252C04或84672或28900或2672。

12.如果自然数。的各位数字之和等于7,那么称。为“吉祥数”.将所有“吉祥数”

从小到大排成一列G，。2，。3，…，若。〃=2005,则的产.

填52000.

解：一位的吉祥数有7,共1个；

二位的吉祥数有16,25,34,43,52,61,70,共7个；

三位的吉祥数为X1+M+X3=7的满足刈21的非负整数解数，有C；=28个(也可枚举计数).

一般的,A位的吉祥数为X1+X2+…+Xk=7的满足X121的非负整数解数，令x/=Xi+l(j=2,

3,…，A),有X1+X24…+><=7+k—1.共有解组.

4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个.故n=1+7+28+28+1

=65.5n=325.

C：+C%C；+C；+C*=l+7+28+84+210=330.即是5位吉祥数的倒数第6个：

5位吉祥数从大到小排列：70000,61000,60100,60010,60001,52000,….

3、对于函数y=/(X)Qw。)，若同时满足下列条件：

⑴/*)在D内是单调函数：(2)存在区间［〃,0q。，使/⑴在［出可上的值域为心涉］,

那么y=/(x)叫做闭函数。

(1)判断函数/*)=一/+24工£［1,3］)是否为闭函数，并说明理由。

(2)求函数)，=—/符合条件的区间［凡同。

(3)若y=Z+JT万为闭函数，求实数k的取值范围。

3、(1)由/'(X)=一工2+2.X可知对称轴为X=--—=1

2a

所以/⑴在［1,3］上为单调减函数，可求得/(x)«—3,l］,不符合闭函数定义。

<2)因为)，=7?在R上为减函数，从R中取要使ye［々问

f(ci)=-ay=b

•ia

即f(b)=-b=Q=｛，所以区间［a,。］为［-1,1］

b

b>a

(3)y=%+Jx+2D=[-2,-KDO),所以y在D上为单调增函数

f(a)=k+y/a+2=a

/£［〃,司，要使丁£［。,可，则，即方程k+y/x+2=X有两个根

f(b)=k+"+2=b

9

两边平方有Jr7一（2A+1）/+?-2=0利用判别式可得k>—

4

.____9

又［。出仁卜2,长0），所以。之一2又k=。一，。+2«。,所以女工一2综上可得一w<x«-2

高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）

姓名：班级：分数：

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，只

有一项是符合题目要求的）

1.定义集合运算：A®，={Z|Z=Q，,X£4,），€瓦.设A={2,（）},B={（）,8},则集合

435的所有元素之和为（）

A.16B.18C.20D.22

2.已知｛%｝是等比数列，a2=2,a5=-,则cow+〃2。3+…+%”〃+i(〃£N*)的

取值范围是()

A.[12J6)B.[8,16)C.8,京D.

3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场的至少有一名志愿者的概

率为（）

3150

A.-B.—D.—

515181

b±\ci-b）.条件N：对一切

4.已知7、B为非零的不共线的向量,设条件M:

xwR,不等式"xbN〃一0恒成立.则M是N的（）

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分而且必要凫件D.既不充分乂不必要条件

5.设函数定义在R上，给出下述三个命题：

①满足条件/（x+2）+/（2-x）=4的函数图象关于点（2,2）对称；②满足条件

/（x+2）=/（2一x）的函数图象关于直线x=2对称;③函数/（x一2）与f（-x+2）在同一

坐标系中，其图象关于直线x=2对称.其中，真命题的个数是

（）

A.OB.lC.2D.3

6.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2行

和4g,M、N分别为A8、CO的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个

命题：

①弦A3、CO可能相交于点M②弦AB、CO可能相交于点N

③"N的最大值为5④MN的最小值为1

其中真命题为（）

A.①③④B.©（2）@C.①②④D.②③④

7.设。=sin（sir）2008°）,b=sin（cos2008°）,c=cos（sin2008°）,d=cos（cos2008°）z

则。，仇c,d的大小关系是（）

A.a<b<c<dB.b<G<d<c

C.c<d<b<aD.d<c<a<b

8.设函数/（工）=工3+3%2+6x+14,FIf（a）=1.f（b）=l9,则〃+〃=（）

A.2B.lC.OD.-2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.请将正确的答案填在横线上.）

9.在平面直角坐标系中，定义点夕（当，）'|）、。（工2，y2）之间的“直角距离”为

d（P，2）=ki-耳+|%一刃•若C（x,y）到点A（l,3）、夙6,9）的“直角距离”相等，其

中实数x、y满足0<“<10、0<y<10,则所有满足条件的点。的轨迹的长度方和为

10.已知集合Q={（x,y）IX2+y2<2008},若点pj,），）、点P\x\y'）满足x<xr

且yN），'，则称点尸优于Pr.如果集合Q中的点。满足:不存在。中的其它点优于Q,

则所有这样的点Q构成的集合为.

11.多项式（l+X+X^+r-+P00）3的展开式在合并同类项后，X，50的系数为

_________________________.（用数字作答）

12.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面

9

上，且该六棱柱的体积为乙，底面周长为3,则这个球的体积为

8------------

13.将一个4x4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有

不同的染法.（用数字作答）

14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第&棵树种植在点

处，其中M=1J=1，当AN2时，

其中，[司表示实数a的整数部分,例如[2.6]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植

点的坐标为.

三、解答题（本大题共4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）

15.（本小题满分14分）设实数求证：+

abap

其中等号当且仅当。=a,b=（3或a=B、b=a成立，a,P为正实数.

16.（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局

21

者获冠军）.对于每局比赛，甲获胜的概率为一，乙获胜的概率为一.如果将“乙获得冠军”

33

的事件称为“爆出冷门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.

17.（本小题满分16分）已知函数/（幻=111。+_¥）一工在区间［0,“拉£叱）上的最

小值为“〃，令。“=ln（l+〃）一切，pk=~—a~（ksN*）,

…心

求证：P\+P2H----+Pn<+1-1.

22

18.（本小题满分18分）过直线/:5/一7），-70=0上的点P作椭圆二+”=1的切线

PM、PN,切点分别为M、N,联结MN.

（1）当点。在直线/上运动时，证明：直线MN恒过定点。;

（2）当MN〃/时，定点。平分线段MN.

湖北省黄冈自学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）详细解答

1.解：集合的元素：z,=2x0=0,z2=2x8=16,z3=0x0=0,

z4=0x8=0,故集合A区）3的所有元素之和为16.选A.

1

]

2.解：设｛/｝的公比为小则夕3=/=g=G，进而4=不.

ZoZ

1

所以，数列｛4?Q〃+J是以卬。2=8为首项，以4?

a为公比的等比数列.

32

显然，S=aa<aa+aa+•••+aa^

]2]223nr<—.选c.

3.解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为3$=243种.每个场馆至少有一

名志愿者的情形可分两类考虑：第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的

方法数为c；・C；=60种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方

小g60+9050

法数为。3・。5・04=90种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为户n=—^一二嬴.

24381

选D.

4.解：设OA=。，OB=B,则x/?表示与°5共线的任一向量，”xb表

示点A到直线03上任一点C的距离AC,而〃一各表示点A到6的距离.当

刃_1卜一1)时，A3_L08由点与直线之间垂直距离最短知，ACNA3,即对一切xeH,

—>——>—>

不等式4一元/?>4一八恒成立.反之，如果ACNAB恒成立，则(4C)min2A3,

故A8必为点A到OB的垂直距离，OBJ.AC,即疗」选c.

5.解：用冗―2代替/(工+2)+/(2-幻=4中的x,得/*)+/(4-外=4.如果点(x,y)

在y=/(/)的图象上，则4一)，=/(4一幻，即点(乂)，)关于点(2,2)的对称点(4-x,4-)，)

也在y=f(x)的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2代替/3+2)=f(2-x)中的

x,得/(x)=/'(4-戈).如果点(x,y)在y=/(x)的图象上，则y=/(4-幻，即点(x,y)

关于点x=2的对称点(4-x,y)也在y=/(x)的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不

难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.

6.解：假设A3、CO相交于点N,则43、8共面，所以A、B、C、。四点共圆，

而过圆的弦C。的中点N的弦的长度显然有4/NCD,所以②是错的.容易证明，当

以A3为直径的圆面与以CO为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN最大为5,故③对.当

以为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN最小为1,故④对.

显然是对的.①显然是对的.故选A.

7•解.：因为2008°=5x360°+180°+28°,所以，

a=sin(-sir)28°)=-sin(sin28°)<0

b=sin(-cos28°)=-sin(cos28°)<0；

c=cos(-sin28°)=cos(sin28°)>0；

d=cos(cos28°)=cos(cos28°)>0.

又$亩28°<<：0528°,故人<。vc.故选B.

8.解:由/(%)=/+3/+6x+14=(x+1)3+3(x+1)+10,

令g(y)=y'+3y,则g(y)为奇函数且单调递增.

而/«)=(4+1)3+3(〃+1)+10=1,/(〃)=(〃+1)3+30+1)+10=19,

所以g(a+1)=-9,g(>+1)=9,g(—b-l)=-9,

从而g(a+l)=g(-b-l),

即a+1=一〃-1,故a+b=-2.选D.

9.解：由条件得|x-l|+|y-3|=|x-6|+|y-9|①

当yN9时，①化为,一1|+6=卜一6|,无解；

当yW3时，①化为x—1=6+X—6|,无解；

当3<y<9时，①化为2y—12=|x—6|一大一1②

若则y=8.5,线段长度为1；若14x46,则x+y=9.5,线段

长度为5行；若X26,则y=3.5,线段长度为4.综上可知，点C的轨迹的构成的线段

长度之和为1+5后+4=56巧+1).填5(、历+1).

10.解:P优于pf,即「位于P'的左上方，“不存在C中的其它点优于Q”，即“点。

的左上方不存在。中的点”.故满足条件的点的集合为

{(x,y)|x2+y2=2008,x<0且y>0).

填{(x,y)|x2+)，=2008,x<0且)，>o}.

11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程

s+f+r=150①

的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为^152・

下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超过100,

不妨设S>100.将方程①化为

($—101)+，+尸=49

记s'=5—101,则方程$'+，+尸=49的自然数解的组数为C；1・

因此，的系数为G；2=7651.填7651.

3A/^

12.解：因为底面周长为3,所以底面边长为,，底面面积为S=y-.

28

又因为体积为2,所以高为力.该球的直径为/产+卜6丫=2,球的体积

8

4.44

V=-7rR3=—7T填7万

33.原3

13.解：第一行染2个黑格有0：种染法.第一行染好后，有如下三种情况：

(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法:

(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有C：种染法，第四行的

染法随之确定；

(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、

第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法

有2种，第四行的染法随之确定.

因此，共有染法为6x(l+6+4x2)=90种.填90.

k-\k-2

14.解：令f(k)=---------,则

/U+5)3.…勺一+匕=匕一3f(k)

故/伏)是周期为5的函数.

计算可知：/(2)=0；/(3)=0;/(4)=0;〃5)=0；/(6)=1.

所以，

々008=/007+1-5/(2008)；x2007=x2006+1-5/(2(X)7)；…；

々3+1-5/(2).

以上各式叠加，得Woos=玉+2007-5[/(21+/(3)+…+/(2008)]

=再+2007-5{401[/(2)+八3)+…+/(6)]+/⑵+/(3)}

=2+2007-5x401=3；

同理可得>2008=402.

所以，第2008棵树的种植点为（3,402）.填（3,402）.

a

15.证明：由对称性，不妨设。工〃，令丁=乙则因a<可得

U

（3分）

pba

（a8\।

设/Q）=r+1<—,则对/求导，得/'（/）=1一f.........（6分）

ta）r

a?l（B~

易知，当‘6时，fXt）<0,/⑺单调递减；当，£1,一时，

VP）I。」

/''«）>0,/⑺单调递增..........................................（9分）

故/⑺在，=9或处有最大值且/q]=区+2及/21=2+二两者相等.

Pa'\P）Pa\a）ap

故/⑺的最大值为2+W，即/（，）=，+乂2+匕........••…（12分）

aptafi

由旦二/,得2十色《2+0,其中等号仅当〃二或〃=/7,O=a成立.

baba（3

.......................................................（14分）

16.解：如果某方以3:1或3:0获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果.于

是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”.........（3分）

f1Y

乙胜五局的概率为匕：......................................（6分）

/1丫2

乙胜四局负一局的概率为。5-X-;.......................（9分）

3

"1丫⑶？

乙胜三局负二局的概率为C：-x--.....................（12分）

13/\37

17

以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为（14分）

O1

17.解：（1）因为/（x）=ln（lIx）-x,所以函数的定义域为（一1,依），-（2分）

又八用二士小X

（5分）

I+X

当XE[O,〃]时，/(x)vO,即/(幻在[o,〃](〃£N*)上是减函数，故

bn=f(n)=In(1+/?)-n.

分)

an=]n(l+n)—bn=ln(l+n)—ln(l+n)+n=n...................................(8

(2攵-1[24+1)4公_1

因为vl,所以

(2疗4k2

135.•…(2Z_1)T_333・55・7(2攵-1)(2/+1)]]

2-4……(2k)J-^r，7r，-6F(2172Z+1<2:+1

（12分）

又容易证明J2/+]＜（2攵+1_J2Z_1,所以

()

PL"-t135••…21]<Y2k+1-y!lk-\(kwN*)

ci)Q4R2-4……(2攵)J2Z+1

....................................................(14分)

p(+p2H------1-pH<(x/3—1)+(-x/5—V3)H-----F[y/2n+1—-1)

=J2〃+1-1=J2a〃+1—1.

即分)

px+〃2+•••+〃“VJ2a“+1-1............................(16

.证明：设户(方,%)、、r则椭圆过点、

18(1)M(X[,y)A(x2,y2).MAm

切线方程分别为

5^2LZ-I中+空

+7（3分）

259*259".............................................

因为两切线都过点P，则有

^021211"）।为九

+==1

259259

这表明M、N均在直线W"+"M=1①上.由两点决定一条直线知，式①就

J。7

是直线MN的方程，其中（工（），n0卜防足直线/的方程.

（6分）

（1）当点P在直线/上运动时，可理解为/取遍一切实数，相应的尤为

5一、

y0=-xQ-io.

代入①消去凡得良

»^2Vi=o②

63.

对一切/恒成立.（9分）

也+1=0

变形可得”。底十

9)

“5)'n

---1---=U,

2563

对一切X。£/?恒成立.故有’10y

--+1=0.

9

J2591

由此解得直线MN恒过定点。.（12分）

（1410；

x05X0-70

（2）当MN〃/时，由式②知号----空一-14375

*-----.解得X。=-----

5一/-70°533

533

代入②，得此时MN的方程为5/一7），一言=0

将此方程与椭圆方程联立，消去），得

533X_533X_128068

2=()>（15分）

2571225

<259

由此可得，此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点。—,—-的横坐标，即

11410

二533

x=工-］-+-居-=---7-=—25

253314

02x---

25

（259、

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点Q―,的纵坐标，即

V1410）

525533