《距离(选学)》拔高练习

1/153.2.5距离（选学）一、选择题1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（） A．60° B．90° C．105° D．75°图2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（图 A． B． C． D．图3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（图 A． B． C． D．4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（） A． B． C． D．AAA1DCBB1C1图5．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）A． B． C． D．6．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （） A． B． C． D．7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（） A． B． C． D．8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值 （） A． B． C． D．9．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小（） A． B．C． D．10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，．则三棱锥的体积V（） A． B．C． D．二、填空题11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离．12．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离．13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值三、解答题15．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD16．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．18．（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面ACB1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C

参考答案一、1．B；2．A；3．A；4．C；ABABCDOS图，，，，．，．令向量，且，则，，，，．异面直线和之间的距离为：．5．A；分析：为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则===．6．B；分析：建立如图所示的直角坐标系，ABCDA1B1C1DABCDA1B1C1D1E图，平面与平面间的距离7．D；8．B；解以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，，∴，，，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得．∴，，∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．由∴与平面ABD所成的角的余弦值为．评析因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足．9．A；取BC的中点O，连AO．由题意平面平面，，∴平面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，，由题意平面ABD，∴为平面ABD的法向量．设平面的法向量为，则，∴，∴，即．∴不妨设，由，得．故所求二面角的大小为．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C；解以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则，，，，∴，，，图10∴，∴，所以，设平面的方程为：，将点代入得，∴，∴平面的方程为：，其法向量为，∴点到平面的距离，∴即为所求．评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式计算得到．（2）法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．二、11．分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．12．分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．AEA1AEA1DCBB1C1D1F图，；设面的法向量为，则有：，，，又，所以点到截面的距离为=．13．1；解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0），＝（0，，1），＝（1，0，1）设平面DBEF的法向量为＝（x，y，z），则有：即x＋y＝0zxBA1yFEB1zxBA1yFEB1C1D1DCA令x＝1,y=－1,z=,取＝（1，－1，），则A1到平面DBEF的距离EzxD1yAC1B1A1BDC14．解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，EzxD1yAC1B1A1BDC设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,由可解得＝（1，0，1）zyxD1A1DB1C1CBAzyxD1A1DB1C1CBA三、15．解：如图建立空间直角坐标系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由可解得＝（1，1，1）易知＝（0，0，1），所以，＝所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或－arccos．注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．FyEFyEMxzD1C1B1A1CDBA则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）＝（1，0，1），＝（0，－1，－1）设，，（、、，且均不为0）设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由可得即解得：＝（1，1，－1）由可得即解得＝（－1，1，－1），所以＝－，∥，所以平面A1EF∥平面B1MC．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．17．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）于是，={－a，a，0}设与的夹角为θ，则由cosθ=AE与CD所成角的余弦值为．评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,则知B（1，1，0），设得则令．设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．即点A1到平面BDFE的距离为1．（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，则△A1HD为等腰直角三角形，A1B1C1D1AA1B1C1D1ABCDExyz，，，，，，，．（Ⅰ）不难证明为平面BC1D的法向量，∵∴D1E与平面BC1D所成的角的大小为（即）．（Ⅱ）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量，∵，∴二面角D－BC1－C的大小为．（Ⅲ）∵B1D1∥平面BC1D，∴B1D1与BC1之间的距离为．20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，∴⊥，同理⊥，而与不共线且相交于点A，∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，∴平面EFG∥平面ACB1；又因为⊥平面EFG，所以⊥，则·=0，即(－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，化简得xE－yF=0；同理xE－zG=0,yF－zG=0，易得==，∴△EFG为正三角形．(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=·a，∴==·sin600=(·a)2·=·a2．此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O