《导数在实际生活中的应用》教学课件2

3.4导数在实际生活中的应用1、实际问题中的应用.

在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.

在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.

在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.3、求最大（最小）值应用题的一般方法(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。(2)确定函数定义域，并求出极值点。(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点。2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解。6060解:设箱底边长为xcm，箱子容积为V=x2h例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？则箱高xxV´=60x－3x²/2令V´=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3

在实际问题中，如果函数f(x)在某区间内只有一个x0

使f

´(x0)=0,而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)hR例2.要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？解:设桶底面半径为R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大。分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.求得唯一的极值点因为L只有一个极值点,所以它是最大值.答:产量为84时,利润L最大.xy练习1:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则

A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为10km/h时，燃料费是6元/h。而其他与速度无关的费用为96元/h。问以何种速度航行时。能使行驶每公里的费用总和最少？3、如图,铁路线上AB段长

100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为令,在的范围内有唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离不超过15千米时,所选D点与B点重合.练习4:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3

时,圆柱体的体积最大.例4.如图，扇形AOB中，半径0A=1，∠AOB=900，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与弧AB相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，当点C在什么位置时，直角梯形OCDB的面积最小？OBDECA注：在实际问题中，若函数在区间内只有一个点使y’=0,如果函数在这点有极值，那么不与端点比较，就可确定这个点就是最值。教材例3：在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为ε，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？Rr

ε教材例4.强度分别为a,b的两个光源A,B,他们间的距离为d，试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）教材例5：在经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数,记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x).(1)如果,那么生产多少单位产品时,边际成本C/(x)最低?(2)如果,产品的单价那么怎样定价可使利润最大?变式：已知某商品