2025年中考数学二轮复习训练-锐角三角函数与圆综合计算

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学二轮复习训练锐角三角函数与圆综合计算1．如图，在圆中，弦的垂直平分线交弦于点，交圆于点、，连接，，圆的半径为．(1)若，求弦的长（用的代数式表示）；(2)证明：；(3)若是中点，求的长（用的代数式表示）．2．如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点．(1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______；(2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点．①当时，求的值；②设，，求y与x的函数关系式．3．如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连接、，且，．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．4．如图，为的直径，点，为圆上的不同于，的两点，，连接，过点作的切线分别交、的延长线于点，．(1)求证：；(2)当，圆的半径为2，求．5．如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连结并延长交于点，连结并延长交于点，交圆于点，连结，．(1)若，，求．(2)若为圆的直径，①求的度数；②求证：．6．已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设．(1)如图1，若时，求度数；(2)如图2，过点作，证明：；(3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示．7．如图，是半圆O的直径，动点C在半圆上，平分与圆O交于点D，连接．(1)求证：；(2)过点B作，交的延长线于点E，设的面积为的面积为．①若，求；②若，则___________（直接写出答案）8．如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，(1)求证：是的切线；(2)若点P是上的一点，连接．①求的值；②若为的角平分线，求的长．9．如图，P是的直径延长线上的一点，PB切于点B，且，D是圆上的一点，连接，，，，．

(1)求证∶；(2)若，，求的长．10．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．11．如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．

(1)求证：是的切线；(2)延长和交于点，若，求的值；(3)在（2）的条件下，求的值．12．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．

(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．13．如图，的内接三角形中，，，，点在圆上运动．(1)求证：为的切线；(2)若三角形是等边三角形时，，求的最大值；(3)如图，连接，，当，，时，设此时的面积为，的面积为，求的值．14．如图，在中，，E为边上一点，过E、B、C三点的圆交线段于点D，点A关于直线的对称点F落在上，连．(1)求证：；(2)若，点E在运动过程中，当点F关于直线的对称点正好落在的边上时，求的长；(3)当时，设的面积为，的面积为，求的值．15．投影几何，是研究图形的投影性质，即它们经过投影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科．在经典几何学中，投影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．(1)如图1，当，长为时，求的长；(2)如图2，当，时，求的值；(3)如图3，当，时，连接，，直接写出的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学二轮复习训练——锐角三角函数与圆综合计算》参考答案1．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，结合，可得，最后根据，即可求解；（2）设交于点，根据垂直平分弦，，可得，结合可推出，得到，结合，即可得证；（3）由可得，推出，由是中点，可得，证明，得到，即，即可求解．【详解】（1）解：连接，，，，，；（2）证明：设交于点，垂直平分弦，，，，，，即，，；（3），，又，．是中点，，，，，，即，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识．2．(1)5，，2，2(2)①；②y与x的函数关系式为【分析】（1）利用直线解析式求出点E和点F坐标，进而得到和的长度，再根据边角关系可得，继而得到和；（2）①易证，从而求出的长，进而即可得解；②构造8字型相似，作轴于点K，轴于点J，则，，解直角三角形可得，进而得到、和，再在中，，进而建立等式求解．【详解】（1）解：直线交x轴于点E，交y轴于点F，令得，，解得，；令得，，；，，连接，则，，，，，即的半径为2；，，是等边三角形，；故答案为：5，，2，2；（2）解：①连接、，，，，，，，，为直径，，，，；②由①知，，如图，作轴于点K，轴于点J，则，，，，，，，在中，，，，，，，在中，，，即，整理得，与x的函数关系式为．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、一次函数与坐标轴交点、特殊直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识是解题的关键．3．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由，证明是的直径，再证明，则，即可证明直线是是的切线；（2）如图，过作于，根据，证明，再进一步求解即可．【详解】（1）证明：，是⊙O的直径，

，，∵，，，，，，

，

是的半径，且，

直线是的切线；（2）解：，，，如图，过作于，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．4．(1)见详解(2)【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，三角函数比等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活应用．（1）利用圆的切线的性质定理得出，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，以及等量代换，得出，证出可得；（2）利用直径定理得出，根据平行线的判定和性质得出，进而求出．【详解】（1）证明：连接，为的切线，．，，，，．（2）解：连接，为的直径，．又，，，半径为2，，，．5．(1)(2)，见解析．【分析】（1）作于，由等腰三角形性质、平行四边形的性质及勾股定理求出的长，即可求出；（2）由圆周角定理和平行四边形的性质先证，得出，可求的度数；由圆周角定理、等腰三角性质、等腰直角三角形性质，证得四边形为矩形，由可知，则矩形为正方形，可得，解直角三角形，可知．【详解】（1）解：作于，．，．四边形为平行四边形，．．．（2）解：为圆的直径，．四边形为平行四边形，，，．．．，．，．，．在和中．．．证明：连接交于．为圆的直径，．，．．，．，四边形为矩形．，．矩形为正方形．．．即．，，．【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余，解直角三角形等知识，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．6．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，作于点，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，则，据此求解；（2）连接，由两角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由对顶角的性质可得，则，推出，据此证明；（3）作的垂直平分线，交于，则，由外角的性质可得，由（2）知，则，结合三角函数的概念可得，设，由勾股定理可得，表示出，进而可得，由圆周角定理可得，由两角对应相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质进行解答．【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示：，，，是的直径，，，，，；（2）证明：连接，如图所示：，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示：，，，由（2）知：，，，，设，，，，，在中，，则，，是直径，，，，，即．【点睛】本题考查圆综合，难度较大，涉及等腰三角形性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、对顶角相等、垂直平分线性质、外角性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．7．(1)见解析(2)①②1【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形：（1）圆周角定理结合角平分线的定义，得到，即可得证；（2）①如图，过作于，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义及等腰三角形性质即可得答案；②同①进行求解即可．【详解】（1）解：∵平分，，∵，∴，∴；（2）解：①过作于，如图所示：，即，，，，，即，设，则，，，，，，；②同①可知：当时，则：，∴，∴点与点重合，∴为等腰直角三角形，∴，∴．故答案为：1．8．(1)详见解析(2)①；②【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明；（2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．【详解】（1）证明：如图，连接，．，，，，为的直径，，，是的切线；（2）解：①如图，连接，是的中点，，，为的直径，，，，．，设的半径为，则，解得，经检验，是方程的解，，，，，．②如图，过点作交于点，，，是的角平分线，，，，，，，．9．(1)见解析(2)【分析】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，解直角三角形的知识．解题的关键是掌握圆的切线的性质和圆周角定理．（1）连接，可得，由，可得，因为，所以，可得；（2）作于，在中，，，可得，，在中，可求得，，在中，可求得，根据，即可得出的长．【详解】（1）如图，连接，

点是圆直径延长线上的一点，切圆于点，，，，，，，；（2）如图，作于，

为的直径，，，，，，，，，，，，，．10．(1)见解析；(2)．【分析】（）过点作于，证明，得到，即可求证；（）解直角三角形得，进而由勾股定理得，利用可得，即得，，可得，又由余角性质得，得到，据此即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作于，则，∵是的切线，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴为的切线；（2）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质和判定，余角性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．11．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）如图1，连接，根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质即可得到结论；（2）设，则，根据平行线的性质得，进而依据解答即可；（3）证明，根据相似三角形的性质即可得解．【详解】（1）证明：如图，连接，

，，平分，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，设，则，，，，；（3）解：由（2）知：，，，，，，，，，，∽，．【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键．12．(1)见解析(2)【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出是的切线；（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．【详解】（1）证明：直线与相切，理由如下：连接，则：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的半径，∴直线是的切线；（2）解：∵，，的半径为3，∴，，∴，∴，∵，∴，设，，则：，∴，∴．13．(1)见解析(2)4(3)【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，证得，再利用等腰三角形三线合一性质证得，再用平行线性质可证得结果；（2）过点C作，先求得，当点D与点A重合时，最大，此时也最大，据此求解即可；（3）如图，分别延长相交于点P，过点D作，过点C作，连接并延长，交于点，连接，设，则，再分别用含有a的代数式表示出及的面积，再求解即可．【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，，，，，，，，，是的切线；（2）如图，过点C作，三角形是等边三角形时，，，在中，，，点在圆上运动．当点D与点A重合时，最大，为，此时也最大，得，的最大值为4；（3）如图，分别延长相交于点P，过点D作，过点C作，连接并延长，交于点，连接，由（1）结论得，,设，则，由勾股定理得：

，四边形是圆内接四边形，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质与判定定理、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．14．(1)详见解析(2)的长为或6(3)【分析】（1）利用对称的性质得到，利用圆周角定理得到，进而得到，最后根据直角三角形性质和等腰三角形性质即可解题；（2）根据点F关于直线的对称点正好落在的边上，分两种情况讨论，①当点F关于直线的对称点正好落在的边上G点时，连接，②当点F关于直线的对称点正好落在的边上I点时，设与交于点M，连接，结合等边三角形，解直角三角形，以及等腰直角三角形性质和判定求解，即可解题；（3）作交于J，连接，作于L，作于K，利用等腰三角形性质和圆周角定理得到，设，则，结合勾股定理推出，，进而推出，利用对称的性质和等腰直角三角形性质得到证明，利用相似三角形性质得到与，证明是等腰直角三角形，即可得到，进而得到，即可解题．【详解】（1）证明：点A、点F关于直线对称，，，，，又，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，分两种情况：①当点F关于直线的对称点正好落在的边上G点时，连接，如