2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第3节等比数列

第3节等比数列高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.强基础•固本增分知识梳理

2同一个常数公比G2=ab

提示

不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=

(n∈N*);

[教材知识深化]当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.a1qn-1

自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(

)(2)当公比q>1时,等比数列{an}是递增数列.(

)(3)如果数列{an}为等比数列,那么数列{lnan}是等差数列.(

)×××

5

3.(人教A版选择性必修第二册4.3.1节练习第1(1)题改编)在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列,则这2个数为

.27,81解析

设该数列的公比为q,由题意知,243=9·q3,则q3=27,∴q=3.∴插入的2个数分别为9×3=27,27×3=81.二、连线高考4.(2021·全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(

)A.7 B.8

C.9 D.10A解析

设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠-1.根据等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.

C

研考点•精准突破考点一等比数列基本量的运算例1(1)(2022·全国乙,理8,文10)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(

)A.14 B.12

C.6 D.3D

(2)(2023·全国甲,文13)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为

.

[对点训练1](2024·全国甲,文17)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{Sn}的通项公式.

考点二等比数列的判定与证明例2已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}与{bn}的通项公式.

考点三等比数列的性质(多考向探究预测)考向1

项的性质例3(1)(2023·全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=

.-2

考向2

前n项和的性质例4(1)(2023·新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(

)A.120 B.85C.-85 D.-120C

(2)已知正项等比数列{an}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=

.2解析

设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇,由S2n=3S奇,得(1+q)S奇=3S奇,因为an>0,所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.[对点训练3](1)(2024·河北张家口三模)已知数列{an}为等比数列,a1=1,a2a3a4=27,则log3(a1a3a5…a17)=(

)A.28 B.32C.36

D.40C

(2)(2024·江苏苏州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,a5+a6=16,S6=21,则S2=(

)A.1 B.4

C.8

D.25A解析

因为S6=21,a5+a6=16,所以S4=21-16=5.因为{an}是等比数列,所以S2,