天津市南开区2025届数学高二下期末监测模拟试题含解析

天津市南开区2025届数学高二下期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知经过，两点的直线AB与直线l垂直，则直线l的倾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．3．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A． B． C． D．4．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）A． B． C． D．5．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是.现在李某单独研究项目M，且这个人组成的团队也同时研究项目M，设这个人团队解决项目M的概率为，若，则的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．66．已知直线与抛物线交于、两点，若四边形为矩形，记直线的斜率为，则的最小值为（）．A．4 B． C．2 D．7．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（）A．300种 B．150种 C．120种 D．90种8．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．29．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（）种A．27 B．81 C．54 D．10810．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．11．设地球的半径为R，在纬度为的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为，则A,B两地之间的球面距离为（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在三棱柱中，底面，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．14．一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为________15．若对满足的任意正实数,都有,则实数的取值范围为____________.16．若，，，且的最小值是___.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在极坐标系中，直线，为直线上一点，且点在极轴上方以为一边作正三角形（逆时针方向），且面积为.（1）求点Q的极坐标；（2）写出外接圆的圆心的极坐标，并求外接圆与极轴的相交弦长.18．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，是的中点，点在上，且满足.（1）证明：.（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的正切值.（3）若平面与平面所成的二面角为，试确定P点的位置.19．（12分）已知函数在与时都取得极值．（1）求的值；（2）求函数的单调区间.20．（12分）设且，函数.（1）当时，求曲线在处切线的斜率；（2）求函数的极值点．21．（12分）已知椭圆C:的离心率为，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线：交椭圆C于A、B两点，0为坐标原点，求△OAB面积的最大值.22．（10分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径，上，C，D在圆弧上，；上，；区域为文化展区，长为，其余空地为绿化区域，且长不得超过200m.(1)试确定A，B的位置，使的周长最大？(2)当的周长最长时，设，试将运动休闲区的面积S表示为的函数，并求出S的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

首先求直线的斜率，再根据两直线垂直，求直线的斜率，以及倾斜角.【详解】，，，直线l的倾斜角是.故选B.本题考查了两直线垂直的关系，以及倾斜角和斜率的基本问题，属于简单题型.2、C【解析】

根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选：C.本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.3、D【解析】

对B选项的对称性判断可排除B.对选项的定义域来看可排除，对选项中，时，计算得，可排除，问题得解．【详解】为偶函数，其图象关于轴对称，排除B.函数的定义域为，排除.对于，当时，，排除故选D本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属于中档题．4、C【解析】试题分析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，故第二次也取到新球的概率为考点：古典概型概率5、B【解析】

设这个人团队解决项目的概率为，则，由，得，由此能求出的最小值．【详解】李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为，有个水平相同的人也在研究项目，他们各自独立地解决项目的概率都是0.1，现在李某单独研究项目，且这个人组成的团队也同时研究，设这个人团队解决项目的概率为，则，，，解得．的最小值是1．故选．本题考查实数的最小值的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6、B【解析】

设直线方程并与抛物线方程联立,根据,借助韦达定理化简得.根据,相互平分,由中点坐标公式可得,即可求得,根据基本不等式即可求得最小值.【详解】设,,设直线:将直线与联立方程组,消掉:得:由韦达定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的点,,可得:┄④由③④可得:,结合②可得:和相互平分,由中点坐标公式可得，结合①②可得:,，故，根据对勾函数(对号函数)可知时,.(当且仅当)时,.(当且仅当)所以.故选:B.本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.7、B【解析】分析：根据题意，先选后排.①先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案.详解：根据题意：分两步计算（1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2；①分成1，1，3三组的方法有②分成1，2，2三组的方法有一共有种的分组方法；（2）将分好的三组全排列有种方法.则不同的派出方法有种.故选B.点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。8、C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.9、B【解析】

以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果.【详解】甲在五楼有33甲不在五楼且不在二楼有C3由分类加法计数原理知共有54+27=81种不同的情况，故选B.该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.10、D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11、D【解析】

根据纬线圈上的弧长为求出A,B两地间的径度差，即可得出答案。【详解】设球心为O，纬度为的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=,∴O´A=OAcos∠O´AO=Rcos,设A,B两地间的径度差的弧度数为，则Rcos=,∴=,即A,B两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=,∴A,B两地之间的球面距离为．答案：D．本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。12、C【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：记中点为E，则，则直线与所成角即为与所成角，设，从而即可计算.详解：记中点为E，并连接，是的中点，则，直线与所成角即为与所成角，设，，.故答案为.点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．14、【解析】

设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积．【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，设球的半径为，则∴球的表面积.故答案为：．本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．15、【解析】分析：正实数满足，可求得，由可求得恒成立，利用双钩函数性质可求得a的取值范围.详解：因为，又因为正实数满足解得：由可求得根据双钩函数性质可知，当时有最小值所以的取值范围为点睛：（1）基本不等式是每年高考中必考的考点，要熟练掌握；（2）恒成立问题要注意首选方法是分离参数，将参数分离后让不等式的另一边构造为一个新函数，从而解决新函数的最值是这类问题的基本解题思路.16、9【解析】

根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可．【详解】∵，，，,当且仅当时“=”成立，故答案为9.本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），弦长为2【解析】

（1）设，由面积为，得，结合直线l方程可得解，由于为以为一边的正三角形，因此的极角为，结合可得解.（2）由于为正三角形，可得到其外接圆的半径，圆心，求解圆心到极轴的距离，即可得解.【详解】解：（1）直线，设，由面积为得，，故由于为以为一边的正三角形（逆时针方向）因此的极角为.且，所以，．（2）由于为正三角形，得到其外接圆的半径，圆心，圆心到极轴的距离，外接圆与极轴的相交弦长为.本题考查了极坐标几何意义的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】

（1）以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正线值；（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点P的位置．【详解】（1）证明：如图，以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，从而，，，所以．（2）平面ABC的一个法向量为，则（※）．而，当最大时，最大，无意义，除外，由（※）式，当时，，．（3）平面ABC的一个法向量为．设平面PMN的一个法向量为，由（1）得．由得，解得，令，得，∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为，∴，解得．故点P在的延长线上，且．本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．19、（1）；（2）增区间是和，减区间是．【解析】

⑴求出，并令其为得到方程，把与代入求出的值⑵求出，分别令，，求出的范围，即可得到函数的单调区间【详解】⑴，由解得⑵由⑴可知令，解得令，解得或的增区间是和，减区间为本题考查的是函数在某点取得极值的条件以及利用导数研究函数的单调性，较为基础，只要运用法则来求解即可。20、(1).(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由已知中函数，根据a=2，我们易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点．试题解析：(1)由已知得x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①当0<a<1时，当x∈(0，a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝a时f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．②当a>1时，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．综上，当0<a<1时，x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点；当a>1时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.21、(1);(2).【解析】分析：（1）由离心率和过点建立等式方程组求解即可