重载机器人技术 课件 第3章 重载机器人运动学分析

重载机器人的运动学分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造目录CONTENTS3.1重载机器人位姿分析3.2机器人工作空间分析3.3重载机器人速度分析3.4重载机器人运动性能指标3.5误差模型与参数辨识3.1重载机器人位姿分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造1在现代工业生产中，重载机器人被广泛应用汽车制造、航空航天和金属加工等领域。与中轻载机器人相比，其设计和控制面临更多技术挑战，因此，运动学分析尤为重要。运动学分析主要研究机器人各构件间的位置、速度及加速度关系。重载机器人的运动学分析分为正运动学和逆运动学。正运动学是在给定关节变量下求解末端执行器的位置和姿态，而逆运动学则根据期望的末端执行器的位置和姿态求解关节变量。战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造2重载机器人在处理复杂任务时需要高精度和可靠性的运动学分析，通常采用优化技术进行参数辨识和误差补偿。本章将全面探讨重载机器人的运动学，主要包括以下内容：位姿表示、连杆参数与坐标系的建立，串联和并联机器人的运动学模型；求解工作空间，了解操作范围；详述速度雅可比矩阵及其在串联和并联机器人中性能分析的应用，分析关节速度到操作速度的映射关系；分析奇异性和灵巧性，评估机器人任务性能；进行误差分析、模型标定、参数辨识及精度补偿，提升机器人操作安全性和精准性。3.1重载机器人位姿分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造3在研究重载机器人运动学时，首要解决的问题是如何描述机器人末端的运动。在机器人的位姿描述和运动学分析时，坐标系的使用是不可或缺的。为了描述机器人的位姿，主要有两类坐标系：一类是世界坐标系{A}，另一类是物体坐标系{B}，如下图所示。用于描述机器人位姿的坐标系两类坐标系3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造4世界坐标系{A}：第一类坐标系是与地面或机器人基座相固定的坐标系，即世界坐标系，也叫做固定坐标系、全局坐标系或惯性坐标系。常用符号{A}或OA-xAyAzA表示，其中xA、yA、zA表示参考坐标系的三个坐标轴方向的单位向量。通常情况下，世界坐标系的原点选在机器人的基座处。3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造5物体坐标系{B}：第二类坐标系是与机器人末端固连并跟随其运动的坐标系，被称为物体坐标系或局部坐标系，常用{B}或OB-xByBzB表示，其中xB、yB、zB表示物体坐标系的三个坐标轴方向的单位向量。一般情况下，物体坐标系的原点选在末端执行器的某个重要标志点，如质心。无论是世界坐标系还是物体坐标系，都符合右手定则。3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示1.机器人的位置战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造6用Ap表示空间一点P在世界坐标系{A}中的位置，其坐标可以描述成三维向量的形式，即点的位置表示3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造7根据向量(与坐标轴)点积的几何投影意义，Ap三个分量的几何意义为该点在三个单位坐标轴上的投影，即式中3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造8由此可知，向量与某坐标系各坐标轴单位向量的点积，就是向量在该坐标系中的表达。类似地，若点P

在物体坐标系{B}中的位置用Bp表示，即则Bp三个分量的几何意义为该点在物体坐标系{B}的三个单位坐标轴上的投影，即3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示2.机器人的姿态战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造9机器人末端的姿态可通过描述物体坐标系{B}相对于世界坐标系{A}的姿态来进行表示。一个简单的方法是确定物体坐标系{B}的三个单位坐标轴在世界坐标系{A}中的方位。假设两个坐标系的原点是重合的，{B}坐标系的三个单位坐标轴相对于{A}坐标系的坐标分别用AxB、AyB、AzB表示。其中：AxB是{B}坐标系的xB轴在{A}坐标系中的向量表示，AyB是{B}坐标系的yB轴在{A}坐标系中的向量表示，AzB是{B}坐标系的zB轴在{A}坐标系中的向量表示。将AxB、AyB、AzB写成矩阵，这个矩阵被称为旋转矩阵或方向余弦矩阵，其矩阵的具体形式可表示为：3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示3.机器人的位姿战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造10要全面确定刚体B在空间中的位姿，必须明确其相对于某个参考坐标系的位置和姿态。为此，假定刚体B与坐标系{B}固接。通常，坐标系{B}的原点位于刚体的一个特征位置，例如其质心或对称中心。在参考坐标系{A}内，使用位置向量ApBo来表示坐标系{B}的原点在坐标系{A}相对位置，使用旋转矩阵

来表达坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态。因此，坐标系{B}相对于坐标系{A}的位姿可以通过ApB和

完整地确定则Bp三个分量的几何意义为该点在物体坐标系{B}的三个单位坐标轴上的投影，即坐标系的定义整合了对刚体位置和姿态的描述。在描述姿态时，式中的位置向量ApBo则为零向量。3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造11机器人的末端手爪可视为一个刚体，其空间位姿的描述方法与坐标系的描述方法一致。为了定义其位姿，我们选定一个参考坐标系{A}，并将手爪固定连接另一个坐标系，称为工具坐标系{T}。该坐标系的z轴指向手指接近物体的方向，其单位向量a称为接近向量；y轴沿两个手指的连线方向，其单位向量o称为方位向量；x轴根据右手定则确定，其单位向量n称为法向量，计算方式为n=o×a。如此一来，手爪的方位由旋转矩阵R确定。三个单位正交矢量n，o和a共同定义了手爪的姿态。手爪的位置由位置向量p确定，该向量表示工具坐标系原点相对于参考坐标系的位置。综合这些信息，手爪的位姿可以记为3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示4.坐标变换战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造12在空间中，点p的坐标表示依赖于所选用的坐标系。接下来将探讨点p如何从一个坐标系的表达转换到另一个坐标系的表达，这个过程称为坐标变换。假设坐标系{B}与{A}方向一致，但它们的原点不在同一点。位置矢量ApBo用来表示坐标系{B}相对于{A}的位置。ApBo被称为{B}相对于{A}的平移矢量。若点p在坐标系{B}中的位置矢量为Bp，则其在坐标系{A}中的位置矢量Ap可以通过矢量相加得到坐标平移3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造13设坐标系{B}与{A}有共同的坐标原点，但是两者的姿态不同。用旋转矩阵

描述{B}相对于{A}的姿态。同一点p在两个坐标系{A}和{B}中的描述Ap和Bp具有以下变换关系坐标旋转3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造14在一般的情况下，坐标系{B}与{A}不仅原点位置不同，而且它们的姿态也不一致。位置矢量ApBo用来描述坐标系{B}的原点相对于{A}的位置，旋转矩阵

用来表达坐标系{B}相对于{A}的姿态。复合变换3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造15任意一点p在这两个坐标系{A}和{B}中的位置矢量Ap和Bp遵循特定的坐标变换关系：上式右侧所表达的操作可以视为一个包含坐标旋转和平移的组合变换。实际上，我们可以定义一个过渡坐标系{C}，其原点与{B}重合，同时其方位与{A}的保持一致。点到过渡坐标系的变换关系：复合变换如下：3.1重载机器人位姿分析3.1.1机器人的位姿表示战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造16描述物体坐标系{B}相对于世界坐标系{A}姿态的另一种方法是使用3个角度的集合。理论上，存在27种不同的组合方式来表示这三个姿态角，但实际应用中，为了确保这些角度的独立性，需要避免出现连续旋转轴的平行情况，这限制了可行的描述方法至12种（3×2×2=12），具体包括X-Y-Z、X-Z-Y、Y-X-Z、Y-Z-X、Z-X-Y、Z-Y-X、Z-Y-Z、Z-X-Z、Y-Z-Y、Y-X-Y、X-Y-X、X-Z-X，接下来，我们将重点探讨这12种方法中的三种常用姿态角组合。3.1.2欧拉角与RPY角3.1重载机器人位姿分析1.Z-Y-X欧拉角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造17为描述{B}系相对于{A}系的姿态，假设{B}系在初始状态下与{A}系重合，将{B}系绕其zB轴旋转Φ角；再绕新的yB轴旋转θ角；最后绕新的xB''轴旋转φ角，得到{B}系的最终姿态。绕新的xB''轴旋转φ角绕新的yB轴旋转θ角绕zB轴旋转Φ角3.1重载机器人位姿分析3.1.2欧拉角与RPY角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造18在连续旋转的过程中，每次旋转都是相对于动态坐标系的坐标轴进行的，这意味着每次旋转轴的方位都是基于前一次旋转的结果确定的。如果使用旋转矩阵来表达这些连续的旋转，那么最终的姿态可以通过将三个旋转矩阵按照从左至右的顺序相乘来表示，即3.1重载机器人位姿分析注意：以上的旋转顺序不能随意调换（旋转矩阵不满足交换律）。3.1.2欧拉角与RPY角2.Z-Y-Z欧拉角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造19假设{B}系在初始状态下与{A}系重合，将{B}系绕其zB轴旋转Φ角（俗称进动角，precessionangle），再绕新的yB轴旋转θ角（俗称章动角nutationangle），最后绕新的zB''轴旋转φ角（俗称自旋角，spinangle），得到{B}系的最终姿态。3.1重载机器人位姿分析绕新的zB''轴旋转φ角绕新的yB轴旋转θ角绕zB轴旋转Φ角3.1.2欧拉角与RPY角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造20绕zB轴旋转的Φ角俗称进动角（precessionangle），绕新的yB轴旋转的θ角俗称章动角（nutationangle），绕新的zB''轴旋转的φ角俗称自旋角（spinangle）。最终的姿态可以通过三个旋转矩阵依次从左至右相乘来获得：3.1重载机器人位姿分析3.1.2欧拉角与RPY角3.Z-X-Z欧拉角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造21通过相似的推导过程，同样可以得到Z-X-Z欧拉角所对应的姿态矩阵，如下所示：3.1重载机器人位姿分析在欧拉角的众多组合之中，Z-Y-Z与Z-X-Z使用更为频繁。例如，工业机器人的末端执行器姿态常常通过Z-Y-Z欧拉角来定义，这样可与机器人手腕处三个垂直正交旋转关节的转角直接相匹配。3.1.2欧拉角与RPY角4.R-P-Y角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造22工程实践中还广泛采用R-P-Y[Roll-Pitch-Yaw，即翻滚(横滚)、俯仰、偏航(偏转)]角来描述空间姿态或三维旋转。事实上，R-P-Y角源于对船舶在海中航行时的姿态描述方式。通常以船行进的方向为z轴(做翻滚运动)，以垂直于甲板的法线方向为x轴(做偏航运动)，y轴依据右手定则确定。3.1重载机器人位姿分析3.1.2欧拉角与RPY角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造23与欧拉角采用动轴旋转不同，R-P-Y角采用的是基于固定坐标轴的旋转。为描述{B}系相对于{A}系的姿态，假设{B}系在初始状态下与{A}系重合，然后在三个旋转算子的作用下，使{B}系依次绕{A}系的三个坐标xA、yA、zA旋转ψ、θ、ϕ角，得到{B}系的最终姿态。将通过绕固定坐标系三个轴的三次转动得到的三个转角(ψ，θ，ϕ)称为X-Y-Z固定角。3.1重载机器人位姿分析3.1.2欧拉角与RPY角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造24由于以上所有旋转变换都是相对于固定坐标系进行的，因此应遵循矩阵左乘原则，即3.1重载机器人位姿分析3.1.2欧拉角与RPY角战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造25前面出现的上式所描述的复合变换对于点Bp是非齐次的，它可以被转换成等价的齐次变换形式：或表示成矩阵的形式：式中，位置矢量Ap和Bp是4×1的列矢量，这两个4×1的列矢量称为点p的齐次坐标。变换矩阵

是4×4的方阵，具有下面的形式：

称为齐次变换矩阵，其特点是最后一行元素为[0001]。它综合地表示了平移变换和旋转变换两者的复合。3.1.3齐次坐标和齐次变换3.1重载机器人位姿分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造26齐次变换式的优势在于其表达的简洁性和紧凑性，使得书写和表述更为高效。然而，将这种变换应用于编程时可能会遇到不便，因为在执行乘法操作时，所包含的1和0可能会导致耗费大量无用机时。位置矢量Ap和Bp究竟是3×1的列矢量(直角坐标)，还是4×1的列矢量(齐次坐标)，应根据与它相乘的矩阵是3×3的还是4×4的而定。在计算机视觉和计算机图学等领域，齐次变换有着广泛的应用。

若空间一点p的直角坐标为则它的齐次坐标可表示为3.1重载机器人位姿分析3.1.3齐次坐标和齐次变换战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造27值得注意的是，齐次坐标的表示具有多样性。如果将这些坐标的每个元素乘以同一个非零因子ꞷ后，仍然能够表示相同的点p，即式中，a=ωx，b=ωy，c=ωz。例如，点p=2i+3j+4k的齐次坐标可以表示为3.1重载机器人位姿分析3.1.3齐次坐标和齐次变换战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造28规定：列矢量[abc0]T(其中a²+b²+c²≠0)表示空间的无穷远点。把包括无穷远点的空间称为扩大空间，而把第4个元素为非零的点称为非无穷远点。无穷远点[abc0]T的三元素a，b，c称为该点的方向数。下面三个无穷远点分别代表x，y，z轴上的无穷远点，可用它们分别表示这三个坐标轴的方向。而非无穷远点[0001]T代表坐标原点。这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可规定矢量的方向。当第四个元素非零时，齐次坐标代表点的位置；第四个元素为零时，齐次坐标代表方向。3.1重载机器人位姿分析3.1.3齐次坐标和齐次变换战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造29利用这一性质，可以赋予齐次变换矩阵又一物理解释：齐次变换矩阵

描述了坐标系{B}相对于{A}的位置和姿态。

的第四个列矢量ApBo描述{B}的坐标原点相对于{A}的位置；其他三个列矢量分别代表{B}的三个坐标轴相对于{A}的方向。坐标系{B}相对于{A}的位姿如下图3.1重载机器人位姿分析3.1.3齐次坐标和齐次变换1.连杆参数战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造30右图表示连杆i-1和连杆i的连接关系。ai-1是连接连杆i-1的两关节轴线的公垂线，ai是连接连杆i的两关节轴线的公垂线。表示连杆i与连杆i-1连接关系的第一个参数是连杆偏距di，第二个参数是关节角θi。di和θi都带正负号。di表示ai-1与轴线i的交点到ai与该轴线交点的距离，沿轴线i测量。如果关节i是移动关节，则偏距di是关节变量。θi表示ai-1与ai的延长线间的夹角，可绕关节i的轴线测量。如果关节i是旋转关节，则θi是关节变量，di固定不变。3.1.4连杆参数与坐标系建立3.1重载机器人位姿分析2.前置坐标系战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造31(1)连杆i-1的长度ai-1连杆i-1的长度ai-1定义为关节i-1轴线si-1与关节i轴线si的公垂线(或公法线)长度，它实际反映的是相邻两关节轴线之间的最短距离。显然，当两轴线相交时，ai-1=0。(2)连杆i-1的扭角αi-1连杆i-1的扭角αi-1定义为关节i-1轴线si-1与关节i轴线si之间的夹角，其取值范围为-90°~+90°；方向则遵循右手定则，从轴si-1转到轴si为正。若关节轴线平行，则αi-1=0°。3.1重载机器人位姿分析3.1.4连杆参数与坐标系建立战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造32(3)连杆i的偏距di连杆i的偏距di定义为从ai-1与轴线si的交点到ai与轴线si的交点的有向距离。对于移动关节，di为变量；而对于旋转关节，di则为结构参数(常值)。(4)关节i的转角θi关节i的转角θi定义为两连杆公法线ai-1与ai之间的夹角，其方向是以di方向为转轴方向，遵循右手定则绕si旋转，从ai-1到ai为正。关节角θi实质反映的是连杆i相对连杆i-1的转角。因此，对于旋转关节，θi为变量；而对于移动关节，θi则为结构参数(常值)。3.1重载机器人位姿分析3.1.4连杆参数与坐标系建立3.后置坐标系战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造33在标准D-H参数法中，连杆坐标系{i}置于连杆的后端或远端，因此，又称其为后置坐标系下的D-H参数法。关节角θi：绕zi-1轴，xi-1旋转到xi的角度；偏置距离di：沿zi-1轴，xi-1移动到xi的距离；连杆长度ai：从xi轴，zi-1移动到zi的距离；连杆扭角αi：绕xi轴，zi-1旋转到zi的角度；对于连杆i-1，首先将连杆i-1的远端轴线(即关节轴i)作为zi-1轴，关节轴i-1与i轴的公垂线作为xi-1轴，右手定则确定yi-1轴。xi-1轴绕zi-1轴旋转θi角度，Si-1沿zi-1轴移动di，Si-1沿xi轴移动ai，zi-1轴绕xi轴旋转θi角度。3.1重载机器人位姿分析3.1.4连杆参数与坐标系建立战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造34通过以上变换就可以将坐标系Si-1转换到Si。通过依次右乘四个运动矩阵就可得到变换矩阵3.1重载机器人位姿分析3.1.4连杆参数与坐标系建立1.重载串联机器人正解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造35对于n自由度的串联机器人，在建立了各连杆坐标系及其对应的D-H参数后，便得到了相应的n个D-H矩阵，将所有矩阵按顺序相乘，即可计算出末端工具坐标系{n}相对于基坐标系{0}的位形。对于具有n个关节的串联机器人而言，其位移求解的一般计算公式为式中，

为机器人末端执行器的位姿，且满足3.1.5重载串联机器人运动学模型3.1重载机器人位姿分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造36利用D-H参数法对PUMA560机器人进行正向位移分析。首先建立各连杆坐标系，相关连杆参数及其几何参数的取值见表所示。机构示意图结构参数图3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造37连杆坐标系示意图3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造38根据所列的连杆参数，可求得各连杆的齐次变换矩阵为

将变换矩阵代入位移求解计算公式中，得到该机器人的闭环方程为

为各关节变量的函数。θi(i=1，2，…，6)取不同值时，将得到不同的变换矩阵

，即3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造39

式中的元素是θi(i=1，2，…，6)的函数，且满足3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造40

为验证所得

是否正确，选取一组特殊参数θ1=90°，θ2=0°，θ3=-90°，θ4=θ5=θ6=0°，求对应的齐次变换矩阵

的值。直接给出计算结果3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型2.重载串联机器人逆解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造41串联机器人的逆运动学求解过程与正运动学求解过程相反，它涉及给定末端执行器期望的位置和姿态，然后确定达到这一目标所需的各个关节的配置。对于串联机器人，一旦关节变量被确定，末端执行器的位置通常是唯一的，这意味着正运动学的解是确定的，求解过程相对直接。然而，逆运动学的问题则更为复杂，以上面给出的运动学公式为例，重写如下式中，rij、pi是已知值，待求值为qi。换句话说，串联机器人位移反解的过程可以归结为求解其逆运动学模型的过程，即

q1-n=f1-n(r11，…，r33，p1，p2，p3)3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造42以PUMA560机器人为例，写出运动方程若末端连杆的位姿已经给定，即上式中

的元素均为已知，则求关节变量θ1，θ2，…，θ6的值称为求位移反解。对于关节变量较多的串联机器人，由于关节之间高度耦合，需要进行逐次消元，以达到简化求反解的目的。为此，可利用Paul反变换法来实现。具体而言，对于一般性的串联机器人运动学方程3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造43左乘

，得到从等式两边矩阵对应的元素中寻找含单关节变量的等式，进而解出该变量。不断重复此过程，直到解出所有变量。(1)求θ1：考虑到具体的关节数，上式可写成用逆变换

左乘方程式上式两边，得3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造44为进一步求解，不妨先把求解过程中要用到的几个中间变换矩阵求出，具体如下：3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造45由上式可得

，即令由左边两式可导出3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造46令上式两端第二行第四列(2，4)对应的元素相等，结合前面计算结果，可得(2)求θ3、θ2：在选定θ1的一个解后，令

式两端(1，4)和(3，4)对应的元素分别相等，可得两方程化简以上两式，消去θ2，得

a3cθ3-d4sθ3=k式中将θ3解出后代回，即可求出θ23.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造47(3)求θ4、θ5：写出相应的矩阵方程由于θ1~θ3的值已求出，因此，上式的左端为已知值(代入相关参数即可求解)；右端值为前述给出的再令

式两端(1，3)和(3，3)对应的元素分别相等，可得当sinθ5≠0时，便可求出θ4，即

θ4=Atan2(-axsθ1+aycθ1，-axcθ1c(θ2+θ3)-aysθ1c(θ2+θ3)+azs(θ2+θ3))当sinθ5=0时，机械手处于奇异位形。此时关节轴4和6重合，只能求解θ4与θ6的和或差。在奇异位形时，可任意选取θ4的值，再计算相应θ5的值。解出θ4后代回上式可求得θ5。3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造48(4)求θ6：写出相应的矩阵方程由于θ1~θ5的值已求出，因此，上式的左端为已知值(代入相关参数即可求解)；其右端满足齐次变换矩阵3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造49(4)求θ6：写出相应的矩阵方程由于θ1~θ5的值已求出，因此，上式的左端为已知值(代入相关参数即可求解)；其右端满足齐次变换矩阵再令式两端(3，1)和(1，1)对应的元素分别相等，即可求得θ6。3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造50求解过程中，发现该机器人的位移反解不是唯一的，理论上存在八组解。这意味着机器人到达一个确定的目标或者实现相同的位姿有八个不同的解。下图所示为其中四种。但由于关节运动等限制，这八组解中的一部分在实际中可能并不存在。3.1重载机器人位姿分析3.1.5重载串联机器人运动学模型1.重载并联机器人逆解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造513.1重载机器人位姿分析以6-SPS并联机构为例讨论并联机构的位置反解方法。6-SPS并联机构上、下平台以6个分支相连，每个分支两端是两个球铰，中间是一个移动副。驱动器推动移动副作相对移动，改变各杆的长度，使上平台在空间的位置和姿态发生变化。若给定上平台在空间的位置和姿态，求各个杆长，即各移动副的位移，这就是该机构的位置反解。在机构的上、下平台上各建立一坐标系，如右图所示。动坐标系PX'Y'Z'建立在上平台上，坐标系OXYZ固定于下平台上。3.1.6重载并联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造523.1重载机器人位姿分析在动坐标系中的任一向量R'可以通过坐标变换方法变换到固定坐标系中其中，式中的[T]为上平台姿态的方向余弦矩阵，其中的三列分别为动系的X'、Y'和Z'在固定坐标系中的方向余弦，P为上平台选定的参考点位置矢量，即动坐标系的原点在固定坐标系中的坐标。3.1.6重载并联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造533.1重载机器人位姿分析当给定机构的各个结构尺寸后，利用几何关系，可以很容易写出上下平台各铰链点(bi，Bi，i=1，2，...，6)在各自坐标系中的坐标值，进而可求出上下平台铰链点在固定坐标系OXYZ中的坐标值。这时6个驱动器杆长矢量li,(i=1，2，…，6)可在固定坐标系中表示为或从而得到机构的位置反解计算方程3.1.6重载并联机器人运动学模型战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造543.1重载机器人位姿分析重载并联机器人正解问题，即正运动学问题，是指通过已知的关节变量（如关节角度、长度等）计算出机器人末端执行器的位置和姿态。由于并联机构的复杂性，求解其位置正解相对困难。重载并联机器人正解问题的核心在于通过数学模型和求解方法，从已知的关节变量准确计算出末端执行器的位姿，其求解正解的方法可以分为数值方法和解析方法。数值法主要包括牛顿-拉弗森法、迭代法、数值积分法等。解析法主要包括代数解法和几何解法。在工业制造中，通过正解求解末端执行器位置，精确进行加工和装配操作。在航空航天领域，特别是在航天器组装和卫星调整中，使用正解计算来确保高精度的操作。在医疗设备领域，通过正解计算保证手术器械的精确定位和操作。通过掌握基本原理、建立精确的数学模型，并利用数值和解析方法求解，工程师和研究人员能够设计和控制高效、精准的并联机器人系统。3.1.6重载并联机器人运动学模型3.2机器人工作空间分析3.2.1工作空间定义战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造55在1975年，罗斯首次定义了机器人工作空间的概念，即机器人末端能够到达的所有空间点的总和，其范围大小是评价机器人性能的关键因素。在一般的多自由度机器人中，其工作空间主要分为两种类型：可达工作空间和灵活工作空间。可达工作空间是指机器人末端执行器能够以至少一种姿态到达的所有位置点的集合；灵活工作空间则是涵盖了机器人末端能够从任何方向、以任何姿态到达的位置点得集合。换言之，当机器人末端处于灵活工作空间的任意一点Q时，它可以沿着通过该点的所有直线轴线进行整周转动。显然，灵活工作空间是可达工作空间的子空间。以平面2R机器人为例。根据工作空间分类的定义，可以将它的工作空间划分为两类，当l1=l2=l

时，则机器人的可达工作空间构成一个半径为2l的完整圆；当l1≠l2时，可达工作空间则变为一个环形区域。3.2机器人工作空间分析3.2.1工作空间定义战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造56可达点okABCO可达空间3.2机器人工作空间分析3.2.1工作空间定义战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造57灵巧点ABO灵巧空间3.2机器人工作空间分析3.2.2重载串联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造581.几何法确定关节约束：首先，分析每个关节的运动约束，包括关节的旋转范围和连杆的长度限制，从而确定关节约束情况。

建立工作空间模型：根据各关节的特定约束条件，构建机器人末端执行器的工作空间模型。此过程通常需要考虑机器人的物理尺寸和关节的运动范围。CAD软件辅助：利用计算机辅助设计(CAD)软件，根据输入杆长或关节限制条件，直接描述工作空间的边界点。3.2机器人工作空间分析3.2.2重载串联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造59设置杆长和关节范围：给定各个输入杆长和关节的变化范围，确保它们满足最小值和最大值的限制，即rmin≤ri≤rmax，φmin≤φi≤φmax。计算参考点坐标：通过给定不同的输入杆长，依次取极值、变化值或一系列固定值，利用CAD软件计算出动平台参考点O的位置坐标(Xo，Yo，Zo)。构建工作空间：将计算得到的坐标点通过样条曲线连接，通过放样命令将这些曲线组成一系列的曲面，最终构成整个机构的工作空间。3.2机器人工作空间分析3.2.2重载串联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造60几何方法在串联机器人的工作空间分析中展现出了其独特的价值，它以直观性和高效性著称，为初步评估与理解提供了便捷途径。然而，几何法也存在一定的局限性，主要体现在以下方面：一是难以全面融入所有物理与几何约束条件，缺乏完备的数学模型支撑，这在一定程度上制约了后续深入分析与优化的可能性；二是精确度局限，尤其是在面对结构复杂或对精度有极高要求的应用场景时，几何法可能无法提供足够的精确度保证。几何法可以快速评估机器人的工作空间，适用于初步设计阶段和概念验证，可以为后续的详细设计和分析提供基础。然而，对于需要精确控制和优化的应用，还需要结合更复杂的数学模型和算法。3.2机器人工作空间分析3.2.2重载串联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造612.离散法（蒙特卡洛法）针对串联机器人，考虑到驱动关节的运动限制和连杆潜在的相互干涉现象，关节空间可以被划分成多个离散点。通过应用正运动学的原理，可以计算出机器人所有可能的姿态，从而获得该机器人的离散工作空间。该方法具有普适性，适用于各类机器人，但仍需要进行大量的计算，且其精确度依赖于这些离散点的分布。具体的计算步骤包括：3.2机器人工作空间分析3.2.2重载串联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造62根据机器人的运动学正解方程，计算出机器人末端执行器在参考坐标系中的位置向量。利用随机函数RAND(j)(j=1，2，…，N)产生N个0~1之间的随机值，由此产生一个随机步长(qmaxi-qmini)RAND(j)，从而确定机械臂各个关节的伪随机值qi=qmini+(qmaxi-qmini)RAND(j)3.2机器人工作空间分析3.2.2重载串联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造63将N个关节变量伪随机值组合代入运动学方程，计算出末端的坐标值，并将其对应的x坐标、y坐标、z坐标分别存于矩阵X、Y和Z中；坐标值数目越多，越能反映机器人的实际工作空间。通过在图形设备上绘制所有位置向量的点，可以形成机器人工作空间的点集的云图。3.2机器人工作空间分析3.2.2重载串联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造64下面是蒙特卡洛法在matlab中部分编译程序及运行结果图：3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造65并联机器人的工作空间计算方法主要分为数值法和解析法两种。数值法基于并联机器人的逆运动学求解，由于逆运动学求解过程相对简单，因此使用数值法计算并联机器人的工作空间较为容易。解析法则基于并联机器人的正运动学求解，由于正运动学求解过程较为复杂，并且并联机构在结构、运动等方面存在多种限制条件，以及奇异位形问题，这使得解析求解并联机器人工作空间的问题变得极为复杂，求解过程十分困难。并联机器人的工作空间受到杆长、铰链转角和连杆间距的限制，求解并联机器人的工作空间要满足这些限制条件。3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造66图示为具有操作器的6-SPS并联机构。操作器固定在动平台上，建立定坐标系O-XYZ

并用{A}表示，建立动坐标系P-xyz

并用{D}表示，建立连杆坐标系B-xiyizi并用{Bli}表示，d点为操作器的工作点，在动坐标系P-xyz

的z

轴上。1.杆长的限制条件各连杆的杆长变化受到并联机构结构尺寸的限制，存在极限杆长，第i

根连杆的杆长li

满足

limin≤li

≤limax式中，li

min为第i

根连杆的最小杆长，li

max为第i

根连杆的最大杆长。3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造67最低位置最高位置3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造682.铰链转角的限制条件在6-SPS并联机构中，动、定平台通过6根可伸缩的连杆相连，每根连杆的两端为两个球铰，而球铰的运动范围实际上是有限制的。铰链Bi

的转角受其最大转角的限制。在6-SPS并联机构中，过铰链Bi

的中心作平行于Z

轴的矢量ZBi，第i

根连杆的zi

轴与矢量ZBi

夹角为θBi

。Z

轴与矢量ZBi

平行，其单位矢量相等，e3为Z

轴的单位矢量，Wi

为第i

根连杆的单位矢量，也是第i

根连杆的z

轴的单位矢量，Wi

=Li

/li；根据两矢量之间的夹角计算公式及铰链Bi

的最大转角，得铰链Bi

的转角的限制条件为3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造69关节转角限制3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造703.杆间距的限制条件由于连接上下平台的连杆是有一定的尺寸大小的，因此，各杆之间有可能发生干涉。为了简化分析，假定所有的连杆都是圆柱形，其直径为D，若Di，(i

=1，2，…，6)为任意两个相邻连杆中心线之间的最短距离，那么，两杆不发生干涉的条件为Di

≥D若ni

表示相邻两杆向量li

和li+1之间的公法线向量，用Δi

表示两向量li

和li+1之间的最短距离，3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造71需要强调的是，连杆之间的最短距离Di；不一定等于两杆向量之间的最短距离Δi，这两者之间的关系取决于连杆向量与它们的公法线之间的交点Ci

和Ci+1的位置，其中交点Ci

的坐标ci；可以用下式计算：mi

则由下式定义:同理可以计算ci+1，根据交点Ci

和Ci+1的位置可以有下列3种不同的情况：3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造72第一种情况，两交点都在连杆上。这时Δi

=Di，若Di

＞Δi，则连杆发生干涉。3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造73第二种情况，其中的一个交点不在连杆上。这时Di

可以根据交点的位置来计算，若交点Ci

超过关节Pi，但Ci

+1在连杆i

+1上，如左图所示，则Di

为Pi

到连杆i

+1的距离若交点C超过关节Pi+1，但Ci是在第i连杆上，如右图所示，则Di为Pi+1到连杆i的距离3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造74第三种情况，两个交点都不在连杆上。则这时的Di取决于Mi，和Mi+1的位置，Mi是li和通过Pi+1且垂直于li的直线的交点，而Mi+1是li+1和通过Pi且垂直于li+1的直线的交点，这时有下列3种可能性：①若Mi+1在连杆Pi+1Bi+1上，且Mi是在连杆PiBi之外，如图1所示，则Di为②若Mi在连杆PiBi上，且Mi+1是在连杆Pi+1Bi+1之外，如图2所示，则Di为③若Mi、和Mi+1都在连杆的外边，如图3所示，则Di为Pi和Pi+1之间的距离。1323.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造75杆间干涉限制3.2机器人工作空间分析3.2.3重载并联机器人工作空间求解战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造764.奇异位形的限制条件在并联机构的奇异姿态下，机构将无法正常工作或无法进行确定的运动。因此，在并联机构的运动空间中，应避免出现奇异姿态。奇异姿态可以通过直观判断机构的姿态，或者通过速度雅可比矩阵J(q)来识别。当雅可比矩阵的行列式detJ(q)为零时，表明机构处于奇异姿态。因此，为确保机构不产生奇异姿态，需要满足的条件是雅可比矩阵的行列式不为零。即

detJ(q)≠03.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造77这里给出一个简单的例子来引出雅可比矩阵的概念。RP平面机械手如图所示，它由两个关节构成：一个为旋转型关节，其关节变量记作θ；另一个为移动关节，其关节变量记作r。该机械手的运动学方程为：RP平面机械手将方程的两侧分别对时间t进行求导，得到操作速度与关节速度之间的关系：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造78表达为矢量矩阵的形式：

代表末端手爪的操作速度矢量；

代表机械手关节速度矢量。而速度雅可比矩阵J(q)则描述了从关节速度矢量

到操作速度矢量

的线性映射关系。给定操作速度矢量

，可以通过以下公式求解对应的关节速度矢量：

被称为逆雅可比矩阵。若r=0，此时逆雅可比矩阵

无法定义，导致与给定的操作速度

相关的关节速度

可能趋向无穷大，此时雅可比矩阵行列式为：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造79在特定条件满足时，机器人会进入奇异状态，某些运动能力会受限。通过计算雅可比矩阵是否为0，可以轻松判断机器人是否处于奇异状态。这个例子说明了机器人的速度雅可比矩阵通常不是常数矩阵，广义的传动比也并非一个固定值，它会随着机器人的形位q的变化而变化。如前所述，速度雅可比矩阵J(q)定义为关节速度矢量

向操作速度矢量

的线性映射，表示为：需要强调的是，雅可比矩阵J(q)与机器人的形位紧密相关，它是一个随q变化的线性变换矩阵。雅可比矩阵J(q)并非总是一个方阵，它可能是一个长矩阵或者高矩阵，其行数对应于操作空间的维数，而列数则对应于机器人的关节数。例如，平面机械臂的雅可比矩阵有3行，而空间机械臂则有6行。对于一个关节数为n的机器人，雅可比矩阵J∈ℜ6×n通常是一个6×n的矩阵。矩阵的前三行与末端执行器的线速度相关，后三行则与角速度相关。同时，矩阵的每一列都反映了相应的关节速度

i

对末端执行器线速度和角速度的传递比。3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造801.求解雅可比矩阵的矢量积方法如图所示，末端执行器的微分移动和微分转动分别用矢量d和δ来表示。线速度和角速度分别用矢量υ和ω来表示，υ和ω与关节速度

i相关。对于移动关节i，在末端执行器上产生与zi相同的线速度ʋ：对于旋转关节i，在末端执行器上产生的角速度ω为：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造81同时在末端执行器上产生的线速度为矢量积，即：因此，雅可比矩阵的第i列可以表示为：有时需要沿着工具坐标系的某轴进行控制，这就需要将线速度和角速度转换到工具坐标系{T}中。因此，需要在υ和ω前乘以3×3的旋转矩阵

，以实现坐标系的变换，表达式为3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造822.求解雅可比矩阵的微分变换法对于旋转关节i，当连杆i相对于连杆i-1绕坐标系{i}的zi轴做微分转动，其旋转量为dθi时，相对连杆i-1的微分运动矢量为：因此，对于旋转关节，末端执行器相应的微分运动矢量为：对于移动关节i，当连杆i沿zi轴相对连杆i-1做微分移动，移动量为ddi时，则产生微分运动矢量为：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造83末端执行器相应的微分运动矢量为：由此得出雅可比矩阵TJ(q)的第i列为：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造84雅可比矩阵自动生成步骤1）计算各连杆变换矩阵

，

，…，

。2）计算末端连杆至各连杆的变换矩阵：3）计算TJ(q)的各列元素，第i列TJi由所决定。计算

和

。3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造853.求解雅可比矩阵的指数积方法根据机器人运动学方程的指数积公式，可以得到末端执行器的瞬时空间速度为：根据运动学方程指数积公式的特点，得到：可见，末端执行器的速度与各个关节速度呈线性关系，则运动旋量坐标可写成：矩阵

∈ℜ6×n为操作臂的空间雅可比矩阵，具有以下特性：它将关节速度矢量映射为相应的末端执行器的运动旋量坐标。设[Vi]∈se(3)为单位运动旋量，则空间雅可比矩阵的每一列可以表示为：

3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造86转化为运动旋量坐标，即：则得到机器人的空间雅可比矩阵为：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造87显然，

将关节速度映射为末端执行器的运动旋量坐标。它与机器人的形位有关。根据雅可比矩阵各列的定义式可以看出，雅可比矩阵的第i列V'i仅与θ1，θ2，…，θi-1有关。实际上，第i个关节的运动旋量坐标Vi经伴随变换即得到雅可比矩阵的第i列V'i。用相似的方法可以得到机器人的物体雅可比矩阵：雅可比矩阵的各列是相应关节运动旋量坐标在当前形位的工具坐标系中的表示。为计算简单起见，通常取

。机器人的空间雅可比矩阵与物体雅可比矩阵之间的关系可用伴随变换表示：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造88根据关节速度矢量

，利用机器人的空间雅可比矩阵和物体雅可比矩阵，可以计算末端执行器上任一点的瞬时速度：两者分别为在物体坐标系和空间坐标系中表示的瞬时速度。注意，工具坐标系原点

，而在参考系中

，表示运动学方程的位置分量。由此得到原点空间速度的齐次坐标：3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造89对于机器人的规划与控制而言，重要的是由末端执行器的速度求解关节速度。如果雅可比矩阵可逆，则可以通过以下方式求解：对于给定的空间速度，末端执行器的起始和终止位姿分别为T(0)=T1和T(τ)=T2，则可以利用关于θ的常微分方程对其进行积分求解。3.3重载机器人速度分析3.3.1重载串联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造90以SCARA机器人的雅可比矩阵为例，介绍串联机器人的雅可比矩阵如何求解。SCARA机器人的显著特征在于其每个关节的旋转运动方向是预先设定的，如图所示。各个旋量轴的线矢量上的一点是θ的函数，取为计算各个关节的运动旋量坐标，可得3.3重载机器人速度分析3.3.2重载并联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造911.位移方程直接求导法下面以平面3-RRR机器人为例，说明位移方程直接求导法的应用。由图所示为3-RRR机构简图中的向量关系，可以得到：或者表达为：

两边求导，可得到该机构的速度关系表达式，即：两边再点乘bi(消掉中间变量ωBi)，可得：3.3重载机器人速度分析3.3.2重载并联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造92将上式改写为矩阵形式，如下所示：考虑到该机构只输出平面运动，因此有vc=(vx，vy，vz)T=(vx，vy，0)，且ωc=(ωx，ωy，ωz)T=(0，0，ωz)。此外，机构中转动副Ai、Bi、Ci的转轴方向为(0，0，1)T，因此，ωAi=(0，0，)T。另外，从机构简图中可以看出，向量

沿z轴的方向矢量为0，而ri×bi沿x轴、y轴的方向矢量均为0，只存在z轴的方向矢量，即

。因此，上式可简化为因此可以得到平面3-RRR并联机器人的一阶运动学方程为：3.3重载机器人速度分析3.3.2重载并联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造932.旋量法典型的并联机构由m个分支构成，每个分支通常至少包含一个驱动关节(主动关节)，而其他关节则为从动关节。为了简化描述，需要将多自由度的运动副转换为等效的单自由度运动副的组合。通过这种方式，可以将每个分支视为由多个单自由度运动副构成的开环运动链，其末端与动平台相连。因此，动平台的瞬时速度旋量可以表示为：3.3重载机器人速度分析3.3.2重载并联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造94式中，与消极副相对应的运动副旋量可以通过互易旋量系理论被消除。假设在每个支链中最先g个关节作为驱动副，那么在每个支链中至少有g个反旋量与该支链内所有消极副构成的旋量系互易。因此，可以将它们的单位旋量表示为

。对上式两边与

进行正交运算，可以得到以下关系式式中，矩阵上式包含m个方程，矩阵形式可表示为：3.3重载机器人速度分析3.3.2重载并联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造95以Stewart-Gough平台为例，介绍如何求解并联机构的速度雅可比矩阵。在Stewart-Gough平台中，每个支链的等效运动链为UPS，意味着每个支链配备了六个具有单一自由度的运动副，从而对应产生六个运动副旋量。在这些旋量中，第三个运动副为驱动副，负责实现移动功能。鉴于所有消极副的轴线在支链中与驱动副的轴线相交，因此，可以直接得到消极副旋量系的一个反旋量，即3.3重载机器人速度分析3.3.2重载并联机器人速度分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造96满足以下关系：

矩阵形式可表示为：

也可表示为：式中，3.4

重载机器人运动性能指标3.4.1奇异性分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造97奇异性在机构学中是一个重要的概念，它指的是机构在某些特定位置时出现的特殊状态，这些状态可能对机构的正常工作产生不利影响。奇异位形具有两面性：为人类所利用的，比如增力机械和自锁机械。然而，奇异位形的存在往往对机构控制不利，可能导致机构在特定位置出现特殊现象，如死点、稳定性丧失或自由度变化，甚至受力状态变差，从而影响机构的正常工作。例如，汽车发动机由多个曲柄滑块机构组成，每个活塞都有自己的死点位置。设计人员通过错开各个活塞的死点位置，确保发动机能够正常工作。按机构运动状态战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造981.奇异性类别极限位置奇异死点奇异剩余自由度奇异瞬时几何奇异连续几何奇异自由度瞬时变化奇异自由度变化奇异按奇异形成原因运动学奇异约束奇异3.4

重载机器人运动性能指标3.4.1奇异性分析（1）极限位置奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造极限位置奇异是指机构在主动件的推动下，从动件到达其运动极限位置时发生的一种奇异状态。在这种情况下，机构无法继续沿原方向运动，只能反向运动。四连杆机构曲柄滑块机构串联机器人3.4

重载机器人运动性能指标3.4.1奇异性分析99（2）死点奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造当机构的原动件变为从动件，从动件变为原动件，以曲柄摇杆机构为例，当滑块为原动件，在这种特殊位形时，在滑块施加的作用力不管多大，也不能推动末端执行器运动，机构此时处于死点位置。死点奇异死点的利用（工夹具)3.4

重载机器人运动性能指标3.4.1奇异性分析100（3）剩余自由度奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造并联机构在特定位形下，如果所有主动件被锁住，理论上动平台应受6个独立约束，若这些约束线性相关，无法对自由度进行完全约束，会出现剩余自由度，机构将不稳定，这种现象称为剩余自由度奇异。剩余自由度通常为1，但也可能多于1。平面五杆机构Stewart机构3.4

重载机器人运动性能指标3.4.1奇异性分析101（4）瞬时几何奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造在特定的几何条件和位形下，机构所有主动件被锁住时，6个约束可能线性相关，导致机构保留自由度并具有瞬时性。瞬时几何奇异当3作用线平行时，机构表现为瞬时移动(平动)自由度。3个作用线交于一点，3个约束力线性相关，仅剩两个约束有效，机构表现为瞬时转动自由度。3.4

重载机器人运动性能指标1023.4.1奇异性分析（5）连续几何奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造在特定几何条件和位形下，即使所有主动件被锁住，机构仍可连续运动，这种位形称为连续几何奇异。四杆机构五杆机构三自由度八杆机构Stewart平台ADBCABCDEB’P3.4

重载机器人运动性能指标1033.4.1奇异性分析（6）自由度瞬时变化奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造在特定位形下，机构可能经历自由度的瞬时变化，这种现象称为自由度瞬时变化奇异。平行四杆机构在特定位形下可能突然增加一个自由度，从而具有两个自由度。平行四杆机构3.4

重载机器人运动性能指标1043.4.1奇异性分析（7）自由度变化奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造机构在特定几何条件和输入参数下可能发生自由度变化，形成变自由度机构。如图所示的3-UPU机构，自由度在不同位形下从5变至3，奇异点即为过渡点。3-UPU机构3.4

重载机器人运动性能指标1053.4.1奇异性分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造当3-UPU瞬时五自由度并联机构发生水平移动后，变为三维移动并联机构。3-UPU机构3.4

重载机器人运动性能指标1063.4.1奇异性分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造当3-UPU瞬时五自由度并联机构发生转动后，变为两转一移并联机构。3-UPU机构3.4

重载机器人运动性能指标1073.4.1奇异性分析运动学奇异战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造在特定位形下，机构的运动副螺旋线出现线性相关，导致输出构件自由度减少，这种现象被称为机构的运动奇异。（又称静止位形奇异、运动学逆解奇异、运动奇异或速度反解奇异）。运动学奇异极限位置奇异死点奇异自由度瞬时变化奇异约束奇异在特定位形下，并联机构锁住所有主动件后，如果作用于机构或输出构件的约束螺旋线性相关，独立约束数减少，机构将保留部分未被约束的自由度，即使所有输入变量被锁定，平台仍可移动。（又称不定位形奇异、静力学奇异或运动学正解奇异）。约束奇异约束相关性奇异几何奇异自由度瞬时变化奇异自由度变化奇异3.4

重载机器人运动性能指标1083.4.1奇异性分析战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造3.4.2串联机器人的奇异性分析方法串联机器人在工作空间边缘及内部普遍存在奇异位形。串联机器人关节独立驱动，关节空间通常无奇异位形。奇异主要是因关节空间到操作空间的映射产生，奇异位形时，速度雅可比矩阵降秩，末端执行器自由度减少。控制上，奇异位形导致末端无法运动，关节速度可能无限大。分析速度雅可比矩阵设定速度雅可比矩阵行列式det(J)=0解方程确定奇异位形代数法3.4

重载机器人运动性能指标109战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造1.典型奇异情形共轴转动副平行且共面转动副共点转动副共面转动副3.4

重载机器人运动性能指标1103.4.2串联机器人的奇异性分析方法战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造2.求平面2R机器人的奇异位形（a）分析速度雅可比矩阵（b）设定速度雅可比矩阵行列式det(J)=0（c）解方程确定奇异位形当θ2=0°或180°时，机器人处于奇异位形。1)如果θ2=0°，则机器人属于全部展开状态。2)如果θ2=180°，则机器人属于折叠状态。机器人末端只能沿图所示的y3方向移动，而不能沿x3方向移动。3.4

重载机器人运动性能指标1113.4.2串联机器人的奇异性分析方法战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造3.求平面3R机器人的奇异位形（a）分析速度雅可比矩阵（b）设定速度雅可比矩阵行列式det(J)=0（c）解方程确定奇异位形3.4

重载机器人运动性能指标1123.4.2串联机器人的奇异性分析方法战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造（c）解方程确定奇异位形1)当θ2=0°时，机器人的自由度减少一个，此时机器人的形态达到完全展开状态；2)当θ2=180°时，机器人同样会减少一个自由度，其形态变为折叠状态。3.4

重载机器人运动性能指标1133.4.2串联机器人的奇异性分析方法战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造除代数法外，还可通过几何方法直接识别奇异状态，即当三轴出现平行共面的情况。3.4

重载机器人运动性能指标1143.4.2串联机器人的奇异性分析方法战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造3.4.3并联机器人的奇异性分析方法（1）代数法（2）旋量理论与线几何3.4

重载机器人运动性能指标115战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造1.对平面3-RRR并联机构进行奇异性分析解法一：根据封闭向量多边形法建立以下三个独立的闭环方程对上式关于时间求导，可以得到以下关系式式中，输入变量

；输出变量3.4

重载机器人运动性能指标1163.4.3并联机器人的奇异性分析方法战略性新兴领域教材建设团队-重型高端装备制造