浙江省杭州市萧山三中2025届数学高二下期末调研模拟试题含解析

浙江省杭州市萧山三中2025届数学高二下期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z=2i1-i，则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为()A． B． C． D．3．若复数是虚数单位），则的共轭复数（）A． B． C． D．4．若，则()A．2 B．0 C．-1 D．-25．已知椭圆的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．6．如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（）A． B． C． D．7．在中，，若，则A． B． C． D．8．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（）A． B．-1 C． D．10．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”11．与复数相等的复数是（）A． B． C． D．12．已知a＝log34，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．b＞a＞c二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有人报名的方案有______．14．已知线段AB长为3，A、B两点到平面的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面所成角的大小为________.15．圆C1：在矩阵M＝对应的变换作用下得到了曲线C2，曲线C2在矩阵N＝对应的变换作用下得到了曲线C3，则曲线C3的方程为__________．16．如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点在椭圆C:上，A，B是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线CD的斜率为2，以E(1，0)为圆心的圆与直线CD相切，且切点为线段CD的中点，求该圆的方程.18．（12分）已知数列满足,且（1）求及；(2)设求数列的前n项和19．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据:）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．参考公式：，；相关系数；20．（12分）正项数列的前项和满足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.21．（12分）已知椭圆M的方程是，直线与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点满足，求的值.22．（10分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若，求证：当时，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数z，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．详解：由题意，复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)，位于复平面内的第三象限，故选C．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2、A【解析】

利用复数除法运算，化简为的形式，由此求得对应的点的坐标.【详解】依题意，对应的点为，故选A.本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题.3、D【解析】

根据复数除法运算法则可化简复数得，由共轭复数定义可得结果.【详解】本题正确选项：本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.4、C【解析】令可得：，令，可得：，据此可得：-1.本题选择C选项.点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．5、D【解析】

利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【详解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线的斜率为故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故选：D．本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).6、C【解析】

由独立事件同时发生的概率公式计算．把组成一个事整体，先计算它通路的概率．【详解】记通路为事件，则，所以灯泡亮的概率为．故选：C.本题考查相互独立事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．7、A【解析】

根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.【详解】即：本题正确选项：本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.8、A【解析】

代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.【详解】若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小题选A.本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.9、D【解析】

先对函数求导，根据是奇函数，求出，进而可得出曲线在点处切线的斜率.【详解】由题意得，.是奇函数，，即，解得，，则，即曲线在点处切线的斜率为.故选.本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.10、B【解析】

通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.11、C【解析】

根据复数运算，化简复数，即可求得结果.【详解】因为.故选：C.本题考查复数的运算，属基础题.12、B【解析】

得出，从而得到的大小关系，得到答案．【详解】由题意，根据对数的运算可得，所以，故选B．本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案．【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法，故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝1种选法，故答案为：1．本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．14、或【解析】

根据A、B两点与平面的位置分类讨论，再解三角形求线面角.【详解】A,B两点在平面同侧时，如图：为AB所在直线与平面所成角,因为A,B两点在平面异侧时，，所以AB所在直线与平面所成角为故答案为：或本题考查线面角以及直线与平面位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.15、.【解析】分析：先根据矩阵变换得点坐标关系，代入C1可得C3的方程.详解：设C1上任一点经矩阵M、N变换后为点，则因为，所以因此曲线C3的方程为.点睛：（1）矩阵乘法注意对应相乘：（2）矩阵变换注意变化前后对应点：表示点在矩阵变换下变成点16、【解析】

利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值.【详解】由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形的面积之比等于所求概率，记阴影部分面积为，长方形面积为，所以，，所以所求概率为.故答案为：.本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）联立方程解出ab（2）根据题意设出直线CD,联立方程得到两根之和与两根之积，再利用中点加垂直，解出参数．【详解】（1）依题意有：∴，∴（2）设CD：由得设，，CD中点则，∴，∴Q（，）又EQ⊥CD∴∴∴∴∴该圆的方程为.本题综合考查椭圆、圆、直线的位置关系，属于中档题．18、（1），；（2）【解析】

（1）由，得到数列{}是公比为的等比数列，进而可求得和；（2）由（1）知，根据等差数列的定义，得到数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可知，且，则数列{}是公比为的等比数列，又由，解得，.（2）由（1）知，又由，且，所以数列是首项为2，公差为-1的等差数列，所以.本题主要考查了等差、等比数的定义，以及等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.19、（1）见解析；（2）；（2）3【解析】分析：（1）计算出相关系数即得；（2）根据所给公式计算出回归直线方程的系数可得回归直线方程；（2）代入（2）中回归直线方程可得预测值．详解：（1）6×2＋8×2＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，＝＝3，62＋82＋102＋122＝1．，线性相关性非常强.(2)158，=9，＝3，1．＝＝＝0.7，＝－＝3－0.7×9＝－2.2，故线性回归方程为＝0.7x－2.2．（2）由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0.7×9－2.2＝3，故预测记忆力为9的同学的判断力约为3．点睛：本题考查回归分析，考查回归直线方程，解题时只要根据所给数据与公式计算相应的系数就可得出所要结论，本题考查学生的运算求解能力．20、（Ⅰ）（Ⅱ）猜想证明见解析【解析】分析：（1）直接给n取值求出，，.(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.详解：（Ⅰ）令，则，又，解得；令，则，解得；令，则，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想；下面用数学归纳法证明.由（Ⅰ）可知当时，成立；假设当时，，则.那么当时，，由，所以，又，所以，所以当时，.综上，.点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2)数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。②证明假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立.由①②得原命题成立.21、【解析】

设出点A,B的坐标，联立准线方程与椭圆方程，结合韦达定理和平面向量的坐标运算法则可得关于实数m的方程，解方程即可确定m的值.【详解】设，联立，得，，解得，，，在椭圆上，，解得.解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）依题意，的定义域为，，分类讨论可求的单调性；（2）当时，要证明，即证明，只需证明.设，利用导数研究其性质，即可证明详解：（1）依题意，的定义域为，，（1）当时，，在单调递减；