广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名和座位号､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】当时，，则；当时，，则；所以集合，所以元素的个数为5个.故选:D.2.已知复数，则的虚部为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】，则的虚部为-2.故选：C.3.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称，有，即，即，即，故有，解得，故“”是“函数为奇函数”的充要条件.故选：C.4.一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据中位数的定义，该组数据的中位数是，根据极差的定义，该组数据的极差是，依题意得，，解得，，根据百分位数的定义，该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即.故选：A5.过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：由，得，该圆的圆心为，半径为1，如图所示，连接，易知，所以，解法二由，得，该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为，则，解得：或，所以．故选：B．6.菱形中，，点在线段上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如图所示坐标系，，B-2,0，，，设Ex,y，，，则，，，所以.故选：D．7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：时间1月2月3月4月5月6月编号123456百亿元11.1参考数据：.则下列说法不正确的是（）A.经验回归直线经过点B.C.根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元D.相应于点的残差为0.1【答案】D【解析】选项A：由题意得：，因为，，所以，得，因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确；选项B：由A知，，得，故B正确；选项C：由B得，则当时，，故该地2023年12月的GDP的预测值为百亿元，故C正确；选项D：当时，，相应于点的残差为，故D错误，故选：D.8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点，由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，则，，在中，，即，即，解得，而，故,.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.是奇函数 B.的最小正周期为C.的最小值为 D.在上单调递增【答案】ABC【解析】；对A：定义域为，，故是奇函数，故A正确；对B：，故的最小正周期为，故B正确；对C：由，则，故C正确；对D：令，则，故在上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：ABC.10.设函数，则（）A.当时，有三个零点B.当时，是的极大值点C.存在a，b，使得为曲线的对称轴D.存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【解析】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD11.半正多面体（）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（）A.平面B.异面直线和所成角为60°C.该二十四等边体的体积为D.该二十四等边体外接球的表面积为【答案】BCD【解析】对于A中，若平面，因为平面，所以，又因为为等边三角形，所以，所以A不正确；对于B中，因为，所以异面直线和所成角即为直线和所成角设角，在正六边形中，可得，所以异面直线和所成角为，所以B正确；对于C中，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，则该正方体的体积为，其中每个小三棱锥的体积为，所以该二十四面体的体积为，所以C正确；对于D中，取正方形对角线的交点为，即为该二十四面体的外接球的球心，其半径为，所以该二十四面体的外接球的表面积为，所以D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中的常数项为__________.（用数字作答）【答案】【解析】对有，令，解得，此时，即常数项为.故答案为：.13.某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在次之间的人数约为_________.【答案】500【解析】因为成绩服从正态分布，即正态曲线关于对称，因为成绩小于130的有300人，所以，所以，人数约为.故答案为:50014.已知在锐角ΔABC中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，即则，当且仅当时取到等号；故答案为四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若的角平分线交于点，求.解：（1）由正弦定理可得，即有，即，又，故，即，又，故；（2），即，即，即，即，由余弦定理可得，即，故.16.人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为.（1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为.（i）求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；（ii）若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率.解：（1）易知的所有可能取值为，此时，，，，所以的分布列为：0123则；（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C，则，，PC|B=0.5，，；（ii）若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为：.17.如图，在正方体中，分别是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）若点为棱的中点，试探究点是否在平面上，请说明理由.解：（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有，，，，，则，，，设平面的法向量为，则有，令，则有，，即，则有，故直线与平面所成角的正弦值为；（2）由轴平面，则平面的法向量可为，则有，故平面与平面的夹角的余弦值；（3）由点为棱的中点，则，则，由，则，又平面，故平面，故点在平面上.18.已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：.（1）求证：数列为等差数列；（2）试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由.解：（1）由数列为等差数列，则其公差，故，故，则，可得相邻两项差为常数3，故数列bn为等差数列；（2）假设存在，且为三项构成等比数列，则有，即有，即有，由、、均为整数，则有，即有，化简得，即，其与矛盾，故数列中不存在三项构成等比数列.19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的单调性；（3）若，其中且，求实数值．解：（1）由题意，即切点为，，，所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为即；（2）由，设，则，所以当时，，在上单调递减，当时，，在0,+∞上单调递增，又，所以对于任意的有gx>0，即f因此在单调递增，在单调递增，设，则，所以时，h'x<0，所以