广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A B.C. D.【答案】C【解析】∵，，∴.故选：C．2.设为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B．3.已知，，且，则（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】因为，，且，所以，解得.故选：B.4.已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（）A.B.当时，C.D.随机变量落在与落在的概率相等【答案】D【解析】对于A，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，由正态分布密度曲线可知，故C错误；对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确．故选：D．5.已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（）A.11 B.13 C.19 D.17【答案】C【解析】，即，又因为，，成等比数列，则，即，整理可得，再与联立可得，，所以，，故选：C．6.已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，且当时，，因为函数在内恰有3个最值点和3个零点，所以，解得，故选：D．7.设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以.故选：A．8.已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（）A.（除去点）， B.（除去点），C.， D.，【答案】B【解析】由题可设，，则，解得或者（舍），设直线的方程为，与抛物线方程联立得，所以，故，故直线的方程为，所以直线过定点，又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆，因为中点坐标为，所以点的轨迹方程为（除去点），过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大，所以直线斜率最大值为．故选:B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.8【答案】ABD【解析】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，故平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C错误；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故D正确．故选：ABD10.如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（）A.B.平面与平面所成角的余弦值为C.若，则点轨迹的长度为D.若点在直线上，则的最小值为【答案】ABC【解析】如图1，连接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．又因为底面，所以，而平面，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；，，，所以为直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面积为，由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为，故B正确；如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，由直棱柱，所以平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形，可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确；由为直角三角形，且为等腰直角三角形，将与展开成一个平面图，如图4，则；由余弦定理得：，即，故的最小值为，故D错误．故选：ABC11.我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，，若把位进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，，可得，所以B错误；对于C中，由..，，因为，可得，即，所以C正确；对于D中，由，又由，函数，可得，所以在上单调递减，当时，，则，即，因此，即，则，所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中的常数项为______．【答案】【解析】展开式的通式为，令，得，所以常数项为．故答案为：13.已知函数，若，，且，则的最小值是________．【答案】4【解析】因为，所以，，所以函数为奇函数且为增函数，.由可得，即为.因为，所以．当且仅当，时取等号．故答案为：414.一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有________种．（用数字作答）【答案】9450【解析】质点第10秒末到达点共跳了10次，可分三类情况讨论：第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有种；第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有种；第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有种；根据分类计数原理得，共有（种）．故答案为：9450.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，外接圆的半径为2，求的面积．解：（1）因，且，所以，所以．又因为，所以，故，因为，所以.（2）由正弦定理得，则，由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，故的面积．16.已知数列的首项为，且满足．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和．（1）证明：数列满足，即，，即，又，数列表示首项为，公比为的等比数列．（2）解：由（1）知，，，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；综上可得，17.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．解：（1）椭圆的离心率为，则，解得.又因为在椭圆上，代入方程得，又因为，可得.故椭圆的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，联立，得，设，，则，，，当且仅当即时取等号．故所求直线的方程为或．18.如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．设平面平面．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若平面与棱交于点，求的值．（1）证明：连接，在中，因为，分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，又因为，所以．（2）解：设，连接，因为为正四棱锥，所以为正方形的中心，所以，平面．以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，，，，，，，，故，，，设平面的法向量为，则，即，令，则．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）解：连接，设，所以，因为，所以，由（2）知平面的法向量为，所以平面的法向量为，由平面，可知，即，解得．即．19.在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率．（其中，分别表示在点处的一阶，二阶导数）（1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；（2）求抛物线在处的