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文档简介
§2.5函数性质的综合应用(分值:52分)一、单项选择题(每小题5分,共30分)1.已知f(x)是R上的偶函数,且f(x)+f(x+2)=0,当0≤x≤1时,f(x)=1-x2,则f(2025.5)等于()A.-0.75 B.-0.25C.0.25 D.0.752.已知函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3),且f(x)在(0,2)上单调递增,则f(1),f52,f7A.f(1)<f52<fB.f72<f(1)<fC.f52<f72<D.f72<f52<3.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则函数f(x)()A.在区间[0,1]上单调递增,在区间[-2,-1]上单调递减B.在区间[0,1]上单调递增,在区间[-2,-1]上单调递增C.在区间[0,1]上单调递减,在区间[-2,-1]上单调递减D.在区间[0,1]上单调递减,在区间[-2,-1]上单调递增4.(2025·西安模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+2),则下列说法错误的是()A.f(0)=0B.f(x)是周期函数,且2是其一个周期C.f(2025)=1D.f(3)=f(4)+f(5)5.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x+2)为奇函数,若f(1)=2,则f(2026)+f(2027)等于()A.-1 B.0 C.2 D.-26.(2024·济宁检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若∀a,b∈[0,+∞),且a≠b,都有af(a)−bf(b)a−b<0成立,则不等式f1A.(-1,0)∪1B.−12,0∪C.(-∞,-1)∪1D.−∞,−12二、多项选择题(每小题6分,共12分)7.若定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数,且对任意x1,x2∈[1,+∞),且x1≠x2,都有f(A.f(x)的图象关于点(-1,0)对称B.f(x)是R上的增函数C.f(x)+f(2-x)=2D.关于x的不等式f(x)<0的解集为(-∞,1)8.(2025·开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则()A.f(0)=2B.f(3-x)=f(3+x)C.f(x)是周期函数D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sinπ6三、填空题(每小题5分,共10分)9.(2024·杭州模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数,且是最小正周期为T的周期函数,则sinπ3+fT10.(2025·郑州联考)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈−1,1时,f(x)=ax+1,则f(2025)=.
答案精析1.A[由f(x)+f(x+2)=0,得f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2),则f(x+4)=f(x),所以4是f(x)的一个周期,故f(2025.5)=f(1.5)=-f(-0.5)=-f(0.5)=-(1-0.52)=-0.75.]2.B[由函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3),得函数f(x)的图象关于直线x=2对称,显然f
52=f
32,f
72=f
12,而12<1<32,f(x)在(0,2)上单调递增,因此f
12<f所以f
72<f(1)<f
523.B[∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴f(x)在区间[0,1]上单调递增,又∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),∴f(2-x)=f(-x),∴f(x)是周期为2的函数,∴f(x)在区间[-2,-1]上也单调递增.]4.C[选项A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,选项A正确;选项B,由f(x)=f(x+2),知f(x)是周期函数,且2是其一个周期,选项B正确;选项C,因为f(2025)=f(1+2×1012)=f(1),又f(-1)=f(-1+2)=f(1),f(-1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f(2025)=0,选项C错误;选项D,f(3)=f(1)=0,f(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0,选项D正确.]5.D[函数f(x+2)为奇函数,所以函数f(x+2)的图象关于点(0,0)对称,所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,又函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故函数f(x)的一个周期为4,因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故f(2)=0,f(3)=-f(1)=-2,所以f(2026)+f(2027)=f(2)+f(3)=-2.]6.D[令g(x)=xf(x),由题意知g(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为R上的偶函数,所以g(x)为R上的奇函数,所以g(x)在R上单调递减,①当t>0时,原不等式等价于1tf
1t>(2t-1)f(2t即g1t>g(2t-1所以1t<2t-1所以1<2t2-t,解得t>1;②当t<0时,原不等式等价于1tf
1t<(2t-1)f(2t即g1t<g(2t-1所以1t>2t-1所以1<2t2-t,解得t<-12所以t<-12或t7.BD[由定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数,得f(-x+1)=-f(x+1),因此函数f(x)关于点(1,0)对称,由对任意x1,x2∈[1,+∞),且x1≠x2,都有f(x得f(x)在[1,+∞)上单调递增,由函数的对称性知,f(x)在(-∞,1]上单调递增,又f(1)=0,因此f(x)是R上的增函数,B正确;显然f(-1)<f(1)=0,则f(x)的图象不关于点(-1,0)对称,A错误;由f(x)关于点(1,0)对称,得f(x)+f(2-x)=0,C错误;显然f(1)=0,又f(x)在R上单调递增,则由f(x)<0,得x<1,D正确.]8.ABC[由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0,有f(1)+f(1)=f(1)f(0),可得f(0)=2,故A正确;令x=0,则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y),则f(y)=f(-y),函数f(x)是偶函数,而f(x)=2sinπ6x为奇函数,故Df(1)=1,令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2),所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6),则f(x)的一个周期为6,C正确;由于f(x)为偶函数且周期为6,故f(3-x)=f(x-3)=f(3+x),B正确.]9.3解析因为f(x)的最小正周期为T,故f
T2=f
T2−T又f(x)为奇函数,故f
−T2=-f
故f
T2=-f
T即2f
T2=0,解得f
T2故sinπ3+fT10.2解析因为f(2x-1)为奇函
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