2026版步步高大一轮数学江苏基础一轮复习第一章§1.5基本不等式的综合应用

§1.5基本不等式的综合应用(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1A.13 B.12 C.9 D.42.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a5=b6，则()A.a3+a7≤b4+b8 B.a3+a7≥b4+b8C.a3+a7≠b4+b8 D.a3+a7=b4+b83.已知a，b为正实数，则“aba+b≤2”是“ab≤A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(pA.30° B.45° C.60° D.90°二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若mxym−1≤x+2y恒成立，则实数A.12 B.98 C.3 6.(2024·中山模拟)设a>0，b>0，已知M=a2+b2abA.M有最小值B.M没有最大值C.N有最大值为2D.N有最小值为2三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2025·南京模拟)若正实数x，y满足x+y=2，且1xy≥M恒成立，则M8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是.

四、解答题(共28分)9.(13分)已知函数f(x)=x+9x−1((1)求f(x)的最小值；(6分)(2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.(7分)10.(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=2x(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；(7分)(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8分)每小题5分，共10分11.(2024·德阳模拟)设双曲线x2a2-y2a2+1=1(a>0)的离心率为e，则当eA.2 B.2 C.3 D.312.(2025·昆明模拟)已知正实数a，b满足ea-1ea≥e1-b-1e1−b，则a2+b

答案精析1.C[因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤(MF当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.]2.B[a3＋a7≥2a3·a7＝2a52＝2a5＝2b6＝b4＋b8，当且仅当a3＝a7，即数列{an}的公比为1时取等号，所以a3＋a7≥b3.B[由a，b为正实数，∴a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，若ab≤16，可得aba＋b≤ab2当a＝2，b＝10，此时aba＋b但ab＝20>16，故充分性不成立.因此“aba＋b≤2”是“ab≤16”4.C[由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，则S＝6(6−≤12×6−a＋6−b当且仅当a＝b＝4时取等号，所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°.]5.ABC[由x>0，y>0，得xy>0，mxym−1≤x＋2即mm−1≤又2x＋1y＝2＝5＋2yx＋2x当且仅当x＝y＝13故mm−1≤9，即mm−1－9＝即(解得m<1或m≥98.6.ABD[a>0，b>0，M＝a2＋b2ab＝ab＋baM有最小值，无最大值，故A正确，B正确；又a>0，b>0，a＋b22＝a2＋b2＋2ab4≤a2＋b22，即a＋7.1解析∵正实数x，y满足x＋y＝2，∴xy≤(x＋y)24＝又1xy≥M恒成立，∴M≤1即M的最大值为1.8.0，解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以cosB＝a＝a≥3当且仅当a所以12≤cosB<1又y＝cosx在区间(0，π)上单调递减，所以0<B≤π39.解(1)f(x)＝x＋9＝x－1＋9x−1因为x>1，所以x－1>0，所以x－1＋9x−1＋1≥2(当且仅当x－1＝9x即x＝4时，等号成立，所以f(x)的最小值为7.(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，因为a2＋6a≤f(x)恒成立，所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，所以a的取值范围是[－7，1].10.解(1)由题意可得W(x)＝200所以W(x)＝−2(2)当0<x≤40时，W(x)＝－2x2＋140x－400，当x＝35时，W(x)取最大值，W(35)＝2050(万元)；当40<x≤100时，W(x)＝－x－3600x＋1＝－x＋3600x≤－2x·3600x＋1＝1580，当且仅当x＝60时，等号成立，因为2050>1580，故当该产品的年产量为35台时，所获年利润最大，最大年利润为2050(万元).11.C[双曲线x2a2－y2a2＋1e2＋a2＝2a2＋1a2＋a2≥2＋21a2当且仅当1a2＝a2，即a此时e＝2a2