山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

山西省太原市某校2024−2025学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知平面向量，，若与共线，则实数（

）A． B．8 C． D．22．已知复数满足，则的虚部是（

）A． B． C． D．3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（

）A．16 B．12 C． D．4．在中，，则的面积为（

）A． B． C． D．5．已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（

）A． B． C． D．6．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（

）A． B．2 C． D．47．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．8．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（

）A．复数的共轭复数的模为1 B．复数在复平面内对应的点在第一象限C．复数是方程的解 D．10．已知，点是平面内一点，记，，则（

）A．当，时，则在方向上的投影向量为B．当，时，为锐角的充要条件是C．当时，点、、三点共线D．当，时，动点经过的重心11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（

）A．B．若，则有两解C．若为锐角三角形，则取值范围是D．若为边上的中点，则的最大值为三、填空题12．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为．13．若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为．14．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为.四、解答题15．如图所示，在四边形中，，，（1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积；（2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积.16．在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角；（2）若，且的面积为，求的周长.17．记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求；（2）求的最大值．18．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．即．试求解下列问题．（1）已知向量，满足，，，求的值．（2）向量，，，求的最小值．

参考答案1．【答案】D【详解】由题意可得，因为与共线，所以，即，解得，故选D2．【答案】A【详解】由，可得，所以的虚部是，故选:A.3．【答案】A【详解】在直观图中，，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，则另一边长为，所以原图形的周长为．故选A.4．【答案】D【详解】由题设，且为三角形的最大角，所以，则的面积为.故选D5．【答案】B【详解】该圆台的表面积.故选B6．【答案】B【详解】依题意，，由正弦定理得.移项可得.所以.所以，因为，所以，两边同时除以，可得，即，所以.由三角形面积公式可得，即，化简可得①.因为，所以.又因为平分，根据角平分线定理得，即，所以②.由①②解得.故选B7．【答案】B【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得.【详解】如图，设点在底面的射影为点，因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，连接，设球的半径为，则，由正弦定理，解得，在中，，则，在中，由，解得，则球的表面积为.故选B.8．【答案】B【详解】由对称性可得，连接，与的交点为，则为的中点，为的中点，故，，，，过点作直线的垂线，垂足记为，则向量在向量上的投影向量为，所以，如图过点作，，垂足分别为，所以，，观察图象可得，其中与同向，与反向，所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，所以的取值范围是.故选B.9．【答案】AD【详解】，，故A正确；复数在复平面上的对应点为，则该点在第四象限，故B错误；由，则，解得，故C错误；，故D正确.故选AD.10．【答案】ACD【详解】对于A选项，当，时，则在方向上的投影向量为，A对；对于B选项，当，时，角为锐角且、不共线，即，解得且，所以，为锐角的充要条件是，B错；对于C选项，因为，即，所以，，即，又因为、有公共点，故点、、三点共线，C对；对于D选项，设线段的中点为，则，因为，则，此时，动点经过的重心，D对.故选ACD.11．【答案】BCD【详解】因为，所以，，又，所以，A错；若，则，三角形有两解，B正确；若为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；若D为边上的中点，则，，又，，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选BCD．12．【答案】/【详解】因为，所以复数是纯虚数，则满足，则.13．【答案】/【详解】如下图所示：，所以，所以该四棱台的表面积为：.14．【答案】3【详解】因为，所以，得，又是的中点，，，所以因为三点共线，所以，且，，所以，即.故答案为：.15．【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体，过点作，垂足分别为，如下图所示：易知，所以，又，所以，可得；故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长；高，母线长，所以圆台的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为，所以几何体的表面积为．（2）易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积，即，所以几何体的体积为．16．【答案】（1）（2）12【详解】（1）由正弦定理知，在中，，所以.又，，可得，所以.（2）由题意可知的面积.因为，所以.由余弦定理，可得，即，所以，所以，故的周长为12.17．【答案】（1）（2）．【详解】（1）因为，所以．

又为锐角三角形，故，则．

因为，所以．又，故．（2）由正弦定理