云南省保山市腾冲市民族完全中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

腾冲市民族中学2024--2025学年下学期高一年级5月月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i为虚数单位，复数是实数，则的值是（）A2 B. C. D.2.在ABC中，．则取值范围是（）A.（0，] B.[，） C.（0，] D.[，）3.已知是平面内两单位向量，则（）A. B.C. D.与都是单位向量4.已知x，y为正实数，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.85.已知为非零平面向量，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.6.已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.7.设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时，（）A.λ先变小再变大 B.当M为线段BC中点时，λ最大C.λ先变大再变小 D.λ是一个定值8.在正方体中，分别是棱的中点，在对角线上，且，给出下面四个命题：(1)平面；(2)平面；(3)三点共线；(4)平面平面.正确的序号为()A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(3)(4)二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在空间四面体中，如图，分别是的中点，则下列结论一定正确的为（）A. B.C.与相交 D.10.设都是复数，i是虚数单位，则下列结论中一定成立的是（）A.方程无复数解 B.若，则C. D.11.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高为2，E是DD1的中点，则（）A.CE//A1BB.平面B1CE//平面A1BDC.三棱锥C－B1C1E的体积为D.三棱锥C1－B1CD1的外接球的表面积为6π第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数，且，若实数，则有序实数对可以是_________．（写出一个有序实数对即可）13.2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______．14.正方体的棱长为1.，分别是线段和上的动点.则长度的最小值为_______.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，角、、的对边分别为、、，且，，边上的中线的长为.（1）求角和角的大小；（2）求的面积．16.如图，边长为2的正方形中.（1）点是的中点，点是的中点，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求证：；（2）当时，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求三棱锥的体积.17.三个内角所对的边分别为，向量，，且.（1）求的大小；（2）求现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的面积.(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分).18.如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求；（2）当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；19.如图，在直角三棱柱中，、分别为、的中点，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.腾冲市民族中学2024--2025学年下学期高一年级5月月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i为虚数单位，复数是实数，则的值是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出复数的代数形式，然后令虚部为零可得答案.【详解】，复数是实数，，解得.故选：C.2.在ABC中，．则的取值范围是（）A.（0，] B.[，） C.（0，] D.[，）【答案】C【解析】【详解】试题分析：由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.3.已知是平面内两单位向量，则（）A. B.C. D.与都是单位向量【答案】C【解析】【分析】利用向量相等概念即可判断A，利用数量积定义计算数量积即可判断B，利用数量积及模的运算即可判断C，根据向量模长判断D.【详解】因为是平面内两单位向量，所以两向量模长相等，但是方向不一定一样，故不一定成立，A错误；，当时，有，当时，有，B错误；因为是平面内两单位向量，所以，所以，C正确；因为，，所以与不一定是单位向量，故D错误；故选：C.4.已知x，y为正实数，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】将原式变形，换元设，然后利用基本不等式可求得结果.【详解】由题得，设，则，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为6．故选：C．5.已知为非零平面向量，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.【答案】C【解析】【分析】利用数量积的定义，向量数乘的含义及共线向量基本定理即可判断.【详解】对于A，是与向量共线的向量，是与向量共线的向量，故A错误；对于B，当时，但与可以不相等，故B错误；对于C，若非零平面向量，则，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.6.已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，依题意可得向量为平面的法向量，利用向量法计算可得.【详解】由题意，，，，．所以点到平面的距离为．故选：B7.设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时，（）A.λ先变小再变大 B.当M为线段BC中点时，λ最大C.λ先变大再变小 D.λ是一个定值【答案】D【解析】【详解】由正弦定理得，设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为在△ABP中，；在△ACP中，为定值，选D点睛：1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．8.在正方体中，分别是棱的中点，在对角线上，且，给出下面四个命题：(1)平面；(2)平面；(3)三点共线；(4)平面平面.正确的序号为()A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(3)(4)【答案】C【解析】【分析】由题可得，可得三点共线，进而可得共面，可判断(1)(3)(4),利用线面平行的判定定理可判断(2).【详解】连接，由题可知，∴，又，即，∴，∴，即三点共线，故(3)正确；同理，三点共线，所以，且，所以，且共面，故(1)错误；所以平面平面，故(4)错误；取的中点，连接则，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，又平面，平面，∴平面，故(2)正确.所以正确的序号为(2)(3).故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在空间四面体中，如图，分别是的中点，则下列结论一定正确的为（）A. B.C.与相交 D.【答案】ABC【解析】【分析】由题易得四边形为平行四边形，即可得到结论.【详解】如图∵分别是的中点，∴且，且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴选项ABC正确；又由题可知，与不一定相等，故选项D错误.故选：ABC.10.设都是复数，i是虚数单位，则下列结论中一定成立的是（）A方程无复数解 B.若，则C. D.【答案】BC【解析】【分析】对于A，由求根公式即可判断；对于B，待定系数即可判断；对于C，由模的计算公式直接验算即可判断；对于D，举反例即可判断.【详解】对于A，方程有复数解，故A错误；对于B，设，则，解得，即，故B正确；对于C，设，，所以，故C正确；对于D，取，则，故D错误.故选：BC.11.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高为2，E是DD1的中点，则（）A.CE//A1BB.平面B1CE//平面A1BDC.三棱锥C－B1C1E的体积为D.三棱锥C1－B1CD1的外接球的表面积为6π【答案】CD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的平行判断A；求出两个面的法向量，进而判断B；利用等体积法求出体积判断C；根据棱锥和长方体的外接球相同求出球的表面积，进而判断D.【详解】如图，以点A为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，对A，，则，显然不平行，故A错误；对B，，则，设平面B1CE的法向量为，则，令z=1，则，设平面A1BD的法向量为，则，令c=1，则，显然不平行，故B错误；对C，由题意可知，，故C正确；对D，容易知道，三棱锥C1－B1CD1与长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球相同，易知长方体的对角线恰为外接球的直径，长度为，所以外接球表面积为，故D正确.故选：CD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数，且，若是实数，则有序实数对可以是_________．（写出一个有序实数对即可）【答案】或满足的任意一对非零实数对【解析】【详解】试题分析：是实数，则，由于，故．考点：复数的概念．13.2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______．【答案】【解析】【分析】在中，利用正弦定理求，，再根据直角三角形结合相应角度运算求解.【详解】因为，，分别过做，垂足分别为，在中，则，由正弦定理，可得，，在，，则，在中，，则，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：1.对于特殊角三角函数值常借助于三角恒等变换求解；2.高度测量问题，要注意利用相应的角度和高度，通过做辅助线转化运算.14.正方体的棱长为1.，分别是线段和上的动点.则长度的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】要求长度的最小值，即求异面直线和之间的距离，建立空间直角坐标系，利用向量法求出两异面直线的距离.【详解】解：要求长度的最小值，即求异面直线和之间的距离.如图建立空间直角坐标系，则，，，则，设异面直线和的法向量为即令，则，，故答案为：【点睛】本题考查异面直线之间的距离的计算，属于中档题.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，角、、对边分别为、、，且，，边上的中线的长为.（1）求角和角大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件可得，可求得的值，结合角的取值范围可求得角的大小，利用结合二倍角降幂公式得出，可求得角的大小；（2）利用余弦定理结合边上的中线的长为可求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．【详解】（1）由，可得，则，由余弦定理得，，.，即,即，，，，；（2）由（1）知，且，在中，由余弦定理得，.因此，的面积为.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形的面积公式解三角形，考查计算能力，属于中等题.16.如图，边长为2的正方形中.（1）点是的中点，点是的中点，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求证：；（2）当时，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）折叠过程中，，保持不变，即，，由此可得线面垂直，从而有线线垂直；（2）由（1）知面，即是三棱锥的高，求出底面积可得体积．【详解】（1）证明：由，.可得：，，，面又面（2）解：在三棱锥中，，，面，由，，可得．【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求棱锥的体积．立体几何中证明线线垂直，通常由线面垂直的性质定理给出，即先证线面垂直，而证线面垂直又必须证明线线垂直，注意线线垂直与线面垂直的转化．三棱锥中任何一个面都可以当作底面，因此一般寻找高易得的面为底面，常用换底法求体积．17.的三个内角所对的边分别为，向量，，且.（1）求的大小；（2）求现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积.(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分).【答案】（1）（2）条件选择见解析，【解析】【分析】（1）利用向量的垂直条件，可得，再利用三角函数的和差公式即可求；（2）选择①②，利用余弦定理由（1）知带入求解整理可得，即可求得面积；选择①③，根据、求解出，然后根据借助正弦定理求解出，然后带入面积公式即可完成求解；选择②③，不能确定三角形，故无法求解面积.【小问1详解】

，即：，，，【小问2详解】方案一:选择①②，可确定，由余弦定理，得：整理得：;方案二:选择①③，可确定，因为又由正弦定理所以方案三:选择②③不能确定三角形，故无法求解面积.故的面积为.18.如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求；（2）当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）设，建立空间直角坐标