自考高数工本试题及答案

自考高数工本试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sqrt{x-1}\)的定义域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值为（）A.0B.1C.\(+\infty\)D.不存在3.函数\(y=x^3\)的导数是（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(6x\)4.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(3x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)5.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.1B.2C.4D.-46.二元函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1)\)处对\(x\)的偏导数为（）A.1B.2C.0D.47.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收敛的B.发散的C.条件收敛D.绝对收敛8.微分方程\(y'=x\)的通解是（）A.\(y=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(y=x^2+C\)C.\(y=\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(y=2x+C\)9.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(|A|=2\)，则\(|2A|\)等于（）A.4B.8C.16D.3210.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(0,1)\)，则\(P(X\leq0)\)等于（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(1+x^2)\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)3.下列函数中，在定义域内可导的有（）A.\(y=|x|\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\frac{1}{x}\)4.下列积分计算正确的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{-1}^{1}xdx=0\)C.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)D.\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1\)5.以下关于向量运算正确的是（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)C.\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\)D.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)6.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微的充分条件有（）A.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处偏导数连续B.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处两个偏导数都存在C.\(\lim_{\Deltax\to0,\Deltay\to0}\frac{\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay}{\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}}=0\)D.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续7.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)8.下列关于微分方程的说法正确的有（）A.\(y'+2y=0\)是一阶线性齐次微分方程B.\(y''+y=0\)是二阶常系数齐次线性微分方程C.\(y'=y^2\)是可分离变量的微分方程D.微分方程的通解包含了所有的解9.对于矩阵\(A\)和\(B\)，以下正确的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（当\(AB=BA\)时）C.\(|AB|=|A||B|\)D.若\(A\)可逆，则\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)10.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，则以下说法正确的有（）A.概率密度函数图象关于\(x=\mu\)对称B.\(P(X\leq\mu)=0.5\)C.当\(\sigma\)越大，图象越“矮胖”D.当\(\sigma\)越小，图象越“高瘦”判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)处连续。（）2.若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x_0\)处一定连续。（）3.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)。（）4.向量\(\vec{a}=(1,0)\)与\(\vec{b}=(0,1)\)垂直。（）5.二元函数\(z=x^2y\)的偏导数\(z_x=2xy\)，\(z_y=x^2\)。（）6.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）7.微分方程\(y'=y\)的通解是\(y=Ce^x\)。（）8.若\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(|A|=0\)，则\(A\)不可逆。（）9.随机变量\(X\)的期望\(E(X)\)一定存在。（）10.若\(A\)和\(B\)是两个互斥事件，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^3-3x^2+5\)的极值。答案：先求导\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\lt0\)时，\(y'\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)时，\(y'\lt0\)；\(x\gt2\)时，\(y'\gt0\)。所以\(x=0\)取极大值\(y(0)=5\)，\(x=2\)取极小值\(y(2)=1\)。2.计算定积分\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx\)。答案：\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=(\frac{1}{2}x^2+\lnx)\big|_{1}^{2}=(\frac{1}{2}\times2^2+\ln2)-(\frac{1}{2}\times1^2+\ln1)=\frac{3}{2}+\ln2\)。3.已知向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec{b}=(1,3)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)及\(|\vec{a}|\)。答案：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times1+(-1)\times3=-1\)，\(|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\)。4.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩阵。答案：先求行列式\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)。伴随矩阵\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，则\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)的单调性和凹凸性。答案：求导\(y'=-\frac{1}{x^2}\lt0\)，\(x\neq0\)，所以在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递减。再求二阶导\(y''=\frac{2}{x^3}\)，当\(x\gt0\)时，\(y''\gt0\)，函数下凸；当\(x\lt0\)时，\(y''\lt0\)，函数上凸。2.讨论级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的敛散性（\(p\)为实数）。答案：当\(p\leq0\)时，\(\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)不趋于\(0\)，级数发散；当\(0\ltp\leq1\)时，由莱布尼茨判别法知级数收敛，且为条件收敛；当\(p\gt1\)时，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收敛，原级数绝对收敛。3.举例说明矩阵乘法不满足交换律，并讨论满足交换律的条件。答案：例如\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\)，\(AB=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(BA=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\)，\(AB\neqBA\)。若\(A\)、\(B\)为同阶对角矩阵或\(A\)与\(B\)中有一个是单位矩阵时，\(AB=BA\)。4.讨论正态分布在实际生活中的应用及意义。答案：在实际生活中，很多数据都近似服从正态分布，如学生成绩、人的身高体重等。利用正态分布可进行质