高三一练数学试题及答案

高三一练数学试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)2.函数\(y=\log_2(x+1)\)的定义域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m=(\)\)A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=(\)\)A.9B.8C.7D.65.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)6.双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)的渐近线方程是（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)7.函数\(f(x)=x^{3}+x\)的奇偶性是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数8.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^{2}\)，\(c=\log_2{0.3}\)，则（）A.\(a>b>c\)B.\(a>c>b\)C.\(b>a>c\)D.\(c>a>b\)9.直线\(3x+4y-5=0\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定10.若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，则\(z=3x-y\)的最大值为（）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递增的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=2^{x}\)D.\(y=\log_{0.5}x\)2.以下说法正确的是（）A.若\(a>b\)，则\(ac^{2}>bc^{2}\)B.若\(a>b\)，\(c>d\)，则\(a+c>b+d\)C.若\(a>b\)，则\(a^{3}>b^{3}\)D.若\(a>b\)，\(c>d\)，则\(ac>bd\)3.已知复数\(z=1+i\)，则（）A.\(|z|=\sqrt{2}\)B.\(\overline{z}=1-i\)C.\(z^{2}=2i\)D.\(z\)在复平面内对应的点在第一象限4.关于椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，以下说法正确的是（）A.长轴长为10B.短轴长为6C.离心率\(e=\frac{4}{5}\)D.焦点坐标为\((\pm4,0)\)5.已知\(a\)，\(b\)为两条直线，\(\alpha\)，\(\beta\)为两个平面，下列命题正确的是（）A.若\(a\parallel\alpha\)，\(b\parallel\alpha\)，则\(a\parallelb\)B.若\(a\perp\alpha\)，\(b\perp\alpha\)，则\(a\parallelb\)C.若\(a\parallel\alpha\)，\(a\parallel\beta\)，则\(\alpha\parallel\beta\)D.若\(\alpha\perp\beta\)，\(a\perp\beta\)，\(a\not\subset\alpha\)，则\(a\parallel\alpha\)6.一个正方体的顶点都在球面上，已知球的体积为\(\frac{32\pi}{3}\)，则（）A.正方体的棱长为2B.正方体的棱长为\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)C.球的半径为2D.球的表面积为\(16\pi\)7.已知函数\(y=\sin(2x+\varphi)\)，\((-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2})\)的图象经过点\((0,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，则（）A.\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)B.函数\(y=\sin(2x+\varphi)\)的最小正周期为\(\pi\)C.函数\(y=\sin(2x+\varphi)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上单调递增D.函数\(y=\sin(2x+\varphi)\)图象的一条对称轴为\(x=\frac{\pi}{6}\)8.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^{2}\)，则（）A.\(a_1=1\)B.\(a_n=2n-1\)C.\(a_2=3\)D.数列\(\{a_n\}\)是等差数列9.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x^{2}-2x\)，则（）A.\(f(-1)=1\)B.\(f(x)\)的解析式为\(f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,x\geqslant0\\-x^{2}-2x,x<0\end{cases}\)C.\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)D.不等式\(f(x)>x\)的解集为\((-3,0)\cup(3,+\infty)\)10.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为\(\triangleABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边，下列条件能确定\(\triangleABC\)为等腰三角形的是（）A.\(a\cosA=b\cosB\)B.\(a=2\)，\(b=2\)，\(C=60^{\circ}\)C.\(\sinA=\sinB\)D.\(a=2\)，\(b=3\)，\(\sinA=\frac{1}{2}\)三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函数\(y=\tanx\)的最小正周期是\(\pi\)。（）3.若\(a\)，\(b\)为非零向量，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)。（）4.抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点坐标是\((1,0)\)。（）5.若\(x\)，\(y\)满足\(x+y=1\)，则\(xy\)的最大值为\(\frac{1}{4}\)。（）6.若直线\(l\)与平面\(\alpha\)内的无数条直线垂直，则\(l\perp\alpha\)。（）7.函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上一定是单调函数。（）8.等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，则\(S_3=7\)。（）9.若\(f(x)\)是偶函数，则\(f(x)=f(-x)\)。（）10.函数\(y=\sinx+\cosx\)的最大值为\(\sqrt{2}\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)。答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。由\(S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=5a_3=25\)，得\(a_3=5\)。又已知\(a_3=5\)，\(a_1+2d=5\)。\(S_5=5a_1+10d=25\)，即\(a_1+2d=5\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，所以\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。2.求函数\(y=\sin^{2}x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)的最小正周期及单调递增区间。答案：\(y=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。最小正周期\(T=\pi\)。由\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，即单调递增区间为\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。3.已知圆\(C\)的圆心在直线\(y=x\)上，且过点\((1,0)\)和\((0,1)\)，求圆\(C\)的方程。答案：设圆心坐标为\((a,a)\)，圆的标准方程为\((x-a)^{2}+(y-a)^{2}=r^{2}\)。将\((1,0)\)，\((0,1)\)代入得\(\begin{cases}(1-a)^{2}+a^{2}=r^{2}\\a^{2}+(1-a)^{2}=r^{2}\end{cases}\)，解得\(a=\frac{1}{2}\)，\(r^{2}=\frac{1}{2}\)，所以圆\(C\)的方程为\((x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{2}\)。4.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)以及\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影。答案：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times(-3)+2\times4=5\)。\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=5\)，\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影为\(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}=\frac{5}{5}=1\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论直线\(y=kx+1\)与椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\)的位置关系。答案：联立方程\(\begin{cases}y=kx+1\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}\)，消去\(y\)得\((1+2k^{2})x^{2}+4kx-2=0\)。\(\Delta=16k^{2}+8(1+2k^{2})=8+32k^{2}>0\)，所以直线与椭圆恒相交。2.已知函数\(f(x)=x^{3}-3x\)，讨论其单调性与极值。答案：\(f^\prime(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，\(f(x)\)递增；令\(f^\prime(x)<0\)，得\(-1<x<1\)，\(f(x)\)递减。\(x=-1\)时，\(f(-1)=2\)为极大值；\(x=1\)时，\(f(1)=-2\)为极小值。3.讨论在等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_n=66\)，\(a_2a_{n-1}=128\)，\(S_n=126\)时，